斑马的条纹是如何形成的？
天体的运行轨道为什么呈椭圆形？
蜂窝的结构为什么是六边形？
雪花的形状是如何产生的？
自然界中存在许多迷人的图形，小至一个分子，大至整个宇宙，你都可以发现无处不在的数
本书从一个简单常见的问题入手——雪花的形状是如何产生的，探讨这种既规则又不规则的图形为何会存在。石榴、海星、花瓣中也隐藏着形形色 色的图形，在这些图形背后，是主宰着自然甚至整个宇宙的数学法则。
数学可以帮助我们理解这些形态各异又令人着迷的图形，隐藏在这些图形中的数学原理也是人类社会科学研究和技术发展的基础。我们可以用数学解释自然界中的法则，这些法则也可以为我们所用，帮助我们理解自然、社会和人类自身。

伊恩·斯图尔特（Ian Stewart），生于1945年，英国沃里克大学数学系荣退教授。在专业研究之余，他也积极致力于向公众传播数学。从1991年至2001年，他在《科学美国人》上撰写“数学娱乐”专栏。他还著有大量通俗数学读物，包括《改变世界的17个方程式》《对称的历史》《给年青数学人的信》《迷宫中的奶牛》《数学的故事》《如何切蛋糕》《数学嘉年华》《二维国内外》《第二重奥秘》《上帝掷骰子吗？》《自然之数》等。

前言
第一部分 图形的原理
第1章 雪花是什么形状的？
第2章 自然界中的图形
第3章 宇宙中的图形
第二部分 图形中的数学世界
第4章 一维世界的图形
第5章 镜像对称
第6章 旋转对称
第7章 镶嵌图形
第8章 斑点与条纹
第9章 三维世界的图形
第10章 缩放与螺旋
第11章 时间的对称性
第三部分 简单与复杂的图形
第12章 复杂性和突变
第13章 大自然中的分形
第14章 混沌中的秩序
第15章 自然法则的秘密
第16章 答案终于揭晓了！
术语索引
扩展阅读

我6岁那年，在一个朋友那里看到了一些稀奇古怪的小
五角星。朋友说，那是海百合化石碎片，是他在海滩上拾
到的。随后的几个星期里，我经常跑到海滩上试图寻找五
角星形状的化石，但再也没有看到。然而，我找到了一些
漂亮的螺旋形菊石化石。五角星形、螺旋形……我不由得
疑窦顿生：自然界为什么会有这么多图形呢？
与之不同的是，我刚刚开始接触数学时，它却给我一
种寡淡无味的感觉。学习数学似乎就意味着摆弄数字。虽
然代数略有不同，但也仅是用符号来代替未知数罢了。如
果有人告诉我化石雅致、美妙的几何形状与数学之间有着
紧密的联系，我肯定会觉得不可思议。
大多数孩子在刚开始接触数字时都有浓厚的兴趣，但
他们随后就会发现计算是一种折磨，而且有的计算似乎毫
无意义，因此在若干年之后，很多孩子就会逐渐丧失对数
学的兴趣。我与大多数孩子都不同，因为我一直对数学感
兴趣，而且随着学习的深入，我有了两个发现：第一，数
字本身蕴含着无穷的魅力；第二，数学是一门博大精深的
学科，数字仅是冰山一角，除此以外，它还涉及形状、概
率、运动，更重要的是，它与图形有关。事实上，人们经
常说数学提供了研究各种图形的系统性理论。
有的数学图形是“无形”的，例如，所有平方数的个
位数都是0、1、4、5、6 或9，而不可能是2、3、7 或8。
从某种意义上讲，这就是一种“图形”，但我们无法在笔
记本上工整地把它画出来。有的图形一目了然，例如菊石
化石、蜗牛、旋涡、星系全部呈现螺旋形。蜂窝是由成百
上千个小六边形构成的，而形状相同的硬币紧密排列时也
会形成同样有规律的结构。这种相似性令人吃惊，因为硬
币是圆形，而不是六边形。冰晶中的原子也具有同样的排
列结构，因此雪花通常有六条边。有的图形还是动态的，
例如运动表现出来的规律性。动物的运动尽管有各种各样
的表现形式，例如蛇的滑行，马的快步行走，但是归根结
底都具有数学的统一性。
这些例子都说明了一个深刻的道理：数学图形具有普
遍性，不同的情境中经常会出现同一个图形。这就是我创
作本书的目的。数学（“数字”）是如何揭示我们周围世
界（“自然界”）中蕴藏的秘密的？自然界的各种图形以
及解释这些图形的数学原理引发了人类的审美意识（“美
”）。自然界的美直接、直观，而数学的美则蕴含于逻辑
结构以及深刻的数学发现之中。但由于现代计算机制图技
术的发展，数学同样具备了直观表现美的能力。
对图形的数学研究可谓源远流长：古希腊人对毕达哥
拉斯及其门徒奉若神明，对数字顶礼膜拜，认为数字是整
个宇宙的哲学基础；1202年出版的一本书把兔子问题列入
其中；一位伟大的数学家因为小提琴可以演奏美妙的乐声
而感到困惑不解；一位专利局的职员发现了时间和空间有
着千丝万缕的联系；一位离经叛道的数学家因为锯齿状的
闪电、枝叶参差不齐的大树和绵延起伏的山脉而感到奇怪
，想知道为什么大自然不喜欢球形、圆柱体这类规整的几
何形状。
本书首先讨论了一个有代表性的简单问题：漫天飞舞
的雪花都是对称的六角形，但每一片雪花的形状又各有不
同，这是为什么呢？雪花其实就是由水结成的一小团冰，
它是如何将规则性与不规则性融为一体，形成了这种奇怪
的混合体的呢？在本书结尾，我将就这个问题给出一个算
不上圆满的答案，并告诉大家一个事实：数学“图形”千
变万化，有的甚至根本看不出是一个图形。有时候，大自
然遵循的法则会呈现出某种图形，但大自然本身的表现却
看不出任何规律。
本书从普普通通的雪花开始讲起，带领大家展开对数
学与自然界之间的关系的广泛而深入的讨论。数字在两者
之间扮演着重要的角色，六角形等规整形状的作用同样不
容忽视，但除此以外，还有一个隐藏得更深的因素，那就
是结构形态这个概念，尤其是对称的概念。
自然界中的图形不计其数，但成因只有一个，即物理
基本定律的对称性，而有的对称性（尽管不一定是所有对
称性）会以图形的形式表现出来。例如，沙漠中沙丘形成
的平行线与老虎身上的条纹，都产生于相同的对称性破缺
过程，但前者是作用在沙子上，而后者是作用于化学色素
上。
这个问题还涉及动态研究：物体是如何运动的，物体
的形状、大小与位置是如何随着时间的迁移而发生变化的
。借助研究动态的数学，艾萨克?牛顿发现，只要理解了一
个简洁而巧妙的数学法则——万有引力定律，太阳系各大
行星纷繁复杂的运动就会变得一目了然。数学告诉我们，
解释自然界中各种图形的关键不在于这些图形本身，而在
于产生这些图形的基本法则。混沌理论认为，有规律的法
则有时会产生无规律的行为或表现。
现代科学技术全部建立在这个深刻发现的基础之上。
自然界遵从各种各样的规则，而数学可以帮助我们发现并
描述这些规则。雪花之所以表现出六方对称，并在这个基
础上形成了各种各样的形态，原因很简单，那就是它们需
要遵从化学与动态变化法则。有人认为揭示这些规则会破
坏美，并用魔术做类比：如果我们知道舞台上的魔术师是
如何从帽子里变出一只兔子的，魔术就会失去它的魅力。
但是，自然界的图形可不是舞台上的魔术，了解这些图形
的起源，可以进一步揭示图形中蕴含的特点与关系，让我
们得到更多美的感受。

本书从普普通通的雪花开始讲起，带领大家展开对数学与自然界之间的关系的广泛而深入的讨论。数字在两者之间扮演着重要的角色，六角形等规整形状的作用同样不容忽视，但除此以外，还有一个隐藏得更深的因素，那就是结构形态这个概念，尤其是对称的概念。

斯图尔特对当代数学的介绍精准到位，信息量丰
富，达到了众多数学科普作家梦寐以求的高度。
——《自然》
斯图尔特拥有敏锐的历史感，在介绍数学概念时
善于借助类比，旁征博引，很少有数学家可与之媲美
。
——《新科学家》
斯图尔特的语言清晰易懂……
——《书单》
斯图尔特是一位伟大且多产的数学科普作家。
——《泰晤士报》

雪花是什么形状的？一片雪花静静地躺在我的衣袖上，在街灯的照射下微微闪着光。天空中还有一片片一碰就碎的雪花，轻轻地飘落下来。天气非常寒冷，但这正合我意，因为这样我就可以在雪花融化之前，认真地观察它们的形状了。但我的两只耳朵已经冻得有点儿麻木了。
单凭肉眼也可以看出我衣袖上的这片雪花呈现出一个明显的形状，而不是毫无规律的一团。我专门买了一个放大镜，在它下面，这片雪花绽放出一种摄人心魄的美。它看起来就像用洁净的水晶制成的蕨草，更准确地说，它像是由六棵根部相连、形态一致的蕨草组成的。规律性与随意性、有序与无序、图形与无意的随性集中在这片雪花上，形成了一个奇怪的混合体。它呈现出堪称完美的六方对称，六个部分的形状一模一样，而这种形状从未出现在欧几里得几何中。这不是一种毫无规律的形状，但是你也无法在任何词典中找到这种形状的名称。
你可以找到“树枝晶体”（dendrite）这个词，但是科学家用这个词指代某一类形状，而不是某一个具体的形状。这个词来源于希腊语中表示“树”的词。树是什么形状？答案是：树形。但是，雪花不是树，不是蕨草，也不是羽毛。
雪花就是雪花，它的形状呈雪花形。
接着，又一片雪花飘落下来。这片雪花也是六方对称的形状，神奇的是，它与蕨草的形状有所区别，与第一片雪花不太一样。看起来，“雪花形”这个表达会导致一个问题。据说，任何两片雪花的形状都不会完全相同。但是，作为一名专业从事数学研究的人，我可能会认为这句话要么毫无价值，要么有些夸张。如果深入研究，自然界中任何两个事物都会有所不同。或许，你可以找到两个一模一样的电子，但我认为这种可能性也不大。如果仅考虑低倍放大镜下可以观察到的差异，考虑到地球40亿年历史中曾经飘落下来的不计其数的雪花，那么在某时某地出现两片完全相同的雪花应该是可能的吧？但是，如果计算一下可能性，你就会发现答案未必那么肯定。假设我的眼睛可以分辨100个细微特征，每片雪花可能具备也可能不具备这些特征，那么一共可以形成1030种不同的形状。可见，无论如何，我都难以在这么多片不同形状的雪花中找出完全相同的两片来。
同大多数人一样，我从可以看懂百科全书的时候起，就对雪花的形状有所了解。但在这之前，我只是在书本上看过雪花的照片，或偶尔看过真实的雪花。这天晚上，我第一次掏出放大镜认真观察。我惊奇地发现，百科全书说得不错，这些雪花有点儿像蕨类植物的叶子，轮廓呈清晰的六角形。在数学家的眼中，它们就是典型的六角形。有的雪花是标准的六角形，六条线都是直线，因此它们具有相同的形状。我想，那句形容雪花形状千变万化的经典说辞要么是没有把这些雪花包含进去，要么本身就是一种诗意的破格。但其他雪花怕是只能算作与六角形相差几个辈分的远亲了，而这正是我要研究的对象。
雪花这样的形状到底是如何形成的呢？整个过程非常神秘。但是，站在这个寒冷彻骨的冬夜里，我清楚地知道它肯定与冰有关。雪花是由冰形成的，所以这个过程肯定与冰有关。
我用冰箱制成的冰都是方块状的。当然，我们虽然称之为方块，但实际上它们只是大致呈现出方块的形状。它们没有变成六角形，也不像羽毛状的蕨类植物的叶片。而且，这些冰都是用模具制成的。只要买到合适的模具，你可以制成满满一冰箱的泰迪熊状或六边形冰块，但这样做其实是在自欺欺人。云层上方是没有制作雪花的专用模具的。在那里，冰在没有人干预的情况下聚集到一起，呈现出了某种图形。但是，无论云层上方发生了什么，都肯定与冰有着某种关系。
杰克冻人
小时候，我的卧室窗户内侧玻璃上的杰克冻人a——因为结冰而形成的羽毛状和树叶状图案，是冰雪留给我的最早记忆之一。
我家住的是带飘窗的房子，位于联排住宅的末端。冬天，我们用煤炭取暖。到了晚上，炉火逐渐变弱，最终熄灭。空气中的水遇到冰冷的窗户就会冷凝，到了深夜还会结冰。因此，每天早晨，窗玻璃上就会布满树叶状的冰，给人一种置身卢梭b笔下超现实丛林的感觉。
当然，那时候的我肯定不会有这种感觉。但是这些冰真的很好看，也令我困惑不已。现代家庭大多采用中央供暖系统，因此我们不大可能在窗户上看到这样的冰。但是，如果在结冰的天气里将车停在户外，第二天你就可以看到车窗，甚至整个车身上都有这样的图案。看来，在不受干扰时，冰很容易形成这种树叶状的图案，而它需要的条件就是寒冷。但是，云层中没有窗户，雪花又是怎样形成的呢？而且，窗玻璃上的杰克冻人也不是六角形，而是一堆乱蓬蓬的树叶状图案。然而，我们仍可以从这些树叶状的冰开始研究，这似乎是一个好主意。下面我们来看看它们到底是如何形成的。
冰可以形成各种各样的形状。即使在天上的云层中，也有针状、管状和三角形（尽管比较少见）的冰，更不用说金字塔形、子弹形和冠柱形的冰块了。此外，云层中还可以形成冰雹。竟然还有冰雹！几年前，我们曾经在明