独享天下美味可能吗
在我们生活的三维世界，关于一个平面对称的两个物体，分别称为“左手性”和“右手性”。不同手性的分子称为“L型分子”和“D型分子”，它们正是镜像对称的，称为“彼此的对映体”。它们的物理性质非常一致，但是生物体一般只接受具有单一手性的分子。比如，蛋白质中的氨基酸都是L型的，D型氨基酸只存在于细菌的细胞壁和某些抗菌素中。
一种手性物质是无毒的，而它的对映体就可能有毒；一种手性物质是甜的，而它的对映体就可能是苦的。L型生物若是生活在D型世界是要饿死的。在1960年代，一种镇静药“反应停”曾将L、D型两种物质混合，其实只有D型有效，而L型则对胎儿有致畸的作用，结果造成了很大的医疗事故。
所以，对称的东西看上去无异，却未必能吃。同样道理，二维世界中的“食物”也是由“二维原子、分子”组成的，那么它也有“手性”。一个二维分子通过翻转后，原来的“左手分子”变成了“右手分子”，原来的“右手分子”变成了“左手分子”，它们关于一个平面对称；除非它本身就是对称的，就如三维空间的水分子那样。
明白了这个道理，就可以知道，如果按照第一种方法翻转4块羌饼，构成羌饼的分子变成另一种手性的分子，当然会变味，甚至有毒呢！而按照第二种方法平移、旋转4块羌饼，对小丸子就没有任何影响了。
对此，有人马上就说，若是存在四维空间，一个人带着地球上所有的食物到第四维翻转一下回到地球，没人敢吃她的东西了。那人爽啊！慢慢吃！别人再也不敢跟他争抢了，这是一个很聪明的想法。不过事实上是，食物经过“对称”后，它的所有手性分子尽管都改变了，很多情形下物理、化学属性还是比较接近，未必达到有毒的地步，说不定更好吃也有可能。
比如，柠檬和橙子里都有一种“柠檬苦素”，但橙子里的“柠檬苦素”是左手性的，而拧檬里的“柠檬苦素”则是右手性的。如果柠檬和橙子结构就这么简单，那么翻转一下后柠檬尝起来就像橘子，自然也不错。当然，柠檬和橙子还有其他的成分，没那么简单。
对称和空间维数
对称，既是数学、也是物理中非常深刻的主题。
维数，是另一个数学和物理都关心的课题，对于这个概念我们也不陌生。比如平面就是二维的，只要一个平面直角坐标系就可以表示；而我们生活的空间则是三维的，它有上下、左右、前后三个方向，这时两根直线不够了，需要用到空间直角坐标系。
对称与维数究竟有什么关系（前述已有所示）？这要从刚体的运动谈起。
所谓刚体，就是指在机械运动中不变形的物体，日常生活中比较坚硬的固体，都可以看成近似的刚体。所有的剐体只能做两种基本的机械运动，一种是平移。一种是旋转。人体当然不是严格意义上的刚体，但可以看成一种“准刚体”，他的运动在本质上仍然是平移与旋转。
镜中人是不会来到这个世界的，因为对方虽然在表面上与自己差不多，那只是因为人的外表本来就比较对称而已，但肚子里就决然不同了：我们的心脏是靠左边的，镜中人如果来到这个世界，他的心脏是长在右边的。总之，他的五脏六腑的位置与我们普通人的完全相反。
没有人能够变成镜中的自己，除非空间是四维的。这句话究竟是什么意思？让我们先来看看二维平面。二维平面中，所有的东西都紧紧地“贴”在上面，它们整天做的无非是平移和旋转，不能完成翻转而变成对称的自己。即使它的边界是对称的，比如等腰三角形，但内部结构如果不对称（比如一个二维生物的“心”长在左侧），它也没法自己变成对称的自己。如果想变成完全对称的自己，只有到第三维空间去翻转一下，就像一本书的一页翻过去一样。
假定二维平面上的二维人的“心脏”都长在左侧，突然某一天，其中一个可怜的二维人被三维的我们拎了出来，在空间翻一下再放回平面。那么，对于其他二维人来说，整个过程比变魔术还要不可恩议：先是这个二维人彻底失踪，然后再次出现，“心脏”长在右侧。
有人持有异议说，如果这个二维世界不是平面而是莫比乌斯带，那么二维人只需要贴着带子移动一圈，就可以让左侧心驻变为右侧心脏了，哪里需要第三维？这是大错特错，因为莫比乌斯带显然必须存在于三维空间，在平面上是无法弄出来的。因此，对称操作必须高出一维。
同样道理，我们三维世界的人尽管不是严格的刚体，但只能做平移和旋转，不可能变成对称的自己。除非我们到第四维里去翻转一下。这也就意味着，空间的维数不断地提高，它的对称性就不断地增强。对称揭示了空间维数的本质。
原来对称和维数的关系是如此奥妙啊！
P83-85
本书是在同事十余年的静晓英的策划下写就的。晓英对我的兴趣、专长比较了解，不因我寂寂无闻而转身向他人组稿。有了这么好的出版社作为平台，欣喜万分，亦不敢怠慢。完稿之后顺便闲话几句。
科普的目的在于培养兴趣，不是为了应试。众所周知，目前的应试教育存在诸多问题。教育的目的是什么？是“育人”，是让人成长为健全的人，对社会有贡献的人，这个道理孔夫子不可能不懂，后世的教育家也不可能不明白，但为什么“唯分数论”在今天仍然那么有市场呢？不错，“唯分数论”是应该被彻底否定，但这不表明分数和成绩不重要。关键在于，建立在数学和科学基础上的实证主义，在很多场合出现了难以克服的困难。人的一些能力和素质，比如品德、社交能力、动手能力、抗压能力等，固然很重要，不过都很难量化；更何况如果让学生过早接触社会以考察其社交能力，这种做法本身也会产生问题，可能会让幼小心灵产生认知偏差。因此，在世界各国的学校里，都是以学习知识为主，学习能力本身也应该得到肯定。由于量化指标是衡量一个学校“好坏”的标志，因此，分数和成绩被利益集团“绑架”了，上升为“唯分数论”，中国式奥数就是它的一个突出表现。所以，我们不能“走极端”，彻底否定分数，而是要认识到它的不足之处，不要去强化它的重要性。此外，也要培养兴趣，科普就是其中的一种手段，后面还会提到。
在历史上盛行过的科举，大概是应试教育的“负资产”。科举制度曾起到过积极作用，但它也造成了一种知识分子急功近利的观念，并向全社会辐射。于是几千年来，似乎只有在中国出现了“怪象”：在文艺、科学、思想等领域取得成就的精英人士，绝大多数都不是科举的成功者。今天不也一样么？到处都是考试、竞赛，大多数学生十年寒窗不是出自兴趣，不是为提高思维和修养，而仅仅是为了通过考试或在竞赛中胜出，其目的是进入名校，将来找到好工作，而我们的教育模式也无法激起学生的兴趣。功利本身并不算大错，但过于急功近利，目的如此之鲜明和单一，人们就会变得目光短浅，见识低下，缺乏创造力，以致心胸狭隘，少有乐趣；说大了，就是会成为整个民族发展的绊脚石。
最近若干年来，教育界特别为人诟病的是奥数。由于本书以数学普及教育为主题，又由于笔者本人也算是半个“圈内人士”，所以不妨在这里说几句。
我在做学生时，对数学产生一种强烈而持久的兴趣，特别是自打学了平面几何之后。因此，我既参加数学比赛，也喜欢购买数学科普著作。对我来说，两者不过是一张纸的正反面而已。
渐渐地，就有不少人知道我数学学得比较好，经常就来问“数学有什么用”？我回答了也没用，所以为此而感到恼火。我十分反感把博大精深的数学与升官发财挂钩。我不在乎自己能在比赛中取得什么成绩，只是喜欢思考一些比较困难的问题，体验一下解出难题的成就感。
当然，也经常失败并为此感到沮丧。特别是，有些高手老是“高高在上”，怎么也超不过，于是不免感叹自己“技不如人”。我并非妒忌任何一个人。只是觉得自己为什么还不够行。20多年来，我一直纠结这件事。
最近，顾森兄的《思考的乐趣》卖得很火。这本书写得非常精彩，稍微翻一下就欲罢不能。有意思的是，作者并非数学专业，而是中文系出身。显然，顾森写这本书没有什么功利因素，就是出于一种强烈的兴趣，包括普及的兴趣。顾森的数学能力很可能不及那些国家队的金牌选手，但对数学特有的感情使他的确做了那些选手没有做的事。
去年夏天在杭州遇到多年未见的陈计老师，就聊了几句。在谈到数学的时候，他说，如果发现有外星人数学做得比我们好得多，唯一的选择就是赶快向他们学习，把他们的知识吸收过来，而不是自己再浪费时间钻研。这番话给了我这样的启示：数学是人类乃至宇宙普适的语言，数学研究与其说是个人英雄主义，不如说是群体智慧的结晶。数学家搞数学的根本目的是为了发展数学，其中一部分数学家还找到了数学的应用；决不是一决胜负，为了比谁更“聪明”，谁的能力更“强”。
陈老师说，大家都认为我写的《圆》很难。其实他的《代数不等式》何尝不是？我和他的数学能力固然不容置疑，但这些书的内容多数也非原创，而是集体智慧的汇聚。推而广之，数学家在研究过程中，也是需要依靠集体智慧的。我看到过怀尔斯证明费马大定理的论文，他在开头用了一两页的篇幅提到约44位菲尔兹奖与沃尔夫奖得主，这还是与他直接相关的，间接的就不计其数了。即使是佩雷尔曼这样的独行侠，其实也是在学习、合作、交流的基础上解决庞加莱猜想的。只不过怀尔斯躲在顶楼、佩雷尔曼独来独往，给人的印象是与世隔绝的样子。
在历史上，数学家之间的竞赛其实是一个不太好的现象。在15、16世纪的意大利，数学家费罗隐藏了自己发现的三次方程求根公式，至死不宣。后来，塔塔格利亚独立发现了这个求根公式，在一场数学竞赛中大获全胜，但他也打算秘而不宣。当时的风气就是学者们都喜欢对自己的成果保密，以作为“秘密武器”战胜对手，从而获得更多的弟子和金钱。后来，经不住卡丹的“引诱”，塔塔格利亚说出了自己的研究成果，并要卡丹务必保密。卡丹在得知费罗早就发现了这个公式，便不再信守诺言，将公式公布天下。塔塔格利亚大怒，再次要求比赛，结果落败，郁郁而终。尽管后来三次方程的求根公式被命名为“卡丹公式”，似乎有点不公，但卡丹对扭转当时的风气、对数学的发展作出了重要贡献，确实超过了费罗和塔塔格利亚等人。后来，数学家们吸取教训，再也不窝藏“秘密武器”，搞类似的竞赛了。
至于中小学生奥林匹克数学的目的，只能是培养学生对数学的兴趣，发现好的数学苗子。尽管我们在IMO上取得了如此优异的成绩，却常在组合题上栽跟斗。这是为什么？因为与代数、数论和几何不同，组合问题很杂，难以进行“标准化”训练。而有些外国选手就很有悟性。可惜那些对数学有感觉却不适应标准化训练的中国学生，或许是数学的好苗子，就可能被埋没了。而且，标准化的问题常常很“人为”，不够自然，缺乏欣赏的美感。
也许有人会问，照这样说，奥数对个人天赋和能力的宣扬完全是错误的吗？我认为应该这样理解，所谓的奥林匹克精神，就是只有胜利者，没有失败者（前提是必须公正）。也就是说，成功者应该喜悦，而失败者则不必沮丧。实际上这并不容易做到。
竞技体育就做得比较好。奥运会是优秀运动员的舞台，但若是没有一大群人去欣赏他们，分享他们的成功，理解他们的失败，奥运会还有何意义？艺术也同样如此，有人说，我们可以欣赏莎士比亚和贝多芬，但不要求自己也要创作出同样的作品。
说穿了，任何人即使再优秀，也不过是人类的“代表”而已。博尔特、刘翔这些人，尽管个人努力很必要，但他们极度依赖于偶然的基因遗传或突变，以及较好的机遇，想到这些，就明白他们尽管很了不起，但也没那么伟大。
“中国达人秀”中很多有创意、有绝活的人，赢得了观众的阵阵掌声，但这也如竞技体育一样，是“大数效应”的一个体现——只要人足够多，就会出现非比寻常的玩家，这无非是个概率统计问题。
当然，有些事业的“复杂度”较高，例如我国本土至今未有人获得科学的诺贝尔奖，这不能用简单的“大数效应”进行解释；但不意味着“大数效应”在科学发展中就不起作用，科学巨人如牛顿、爱因斯坦。数学天才如欧拉、高斯，个人素质即使再高，贡献即使再大，也不过是大量人群中的少数杰出代表，只要有条件就能冒出来，为科学发展添砖加瓦。而科学或数学本身的发展，对于具体某个人而言是无关紧要的，力学定律既可以是牛顿发现，也可以是其他人发现。这就是奥林匹克精神，它承认个人能力，但不把他像高高在上的皇帝、圣人与一般人割裂开来那样，更不是神，只是认为他仅仅作为人类的代表，没有一大批人的欣赏或继承，他的存在没有意义。
学校里的普通数学与奥数相比，有如端碗和顶碗。前者是生活中人^都做的，后者是杂技中的高难度动作。如果你不是专门干杂技的，不会顶碗这一绝活当然没关系，要是连碗都端不了，那就要到医院去查一查，是不是得帕金森病了。那么数学普及又是什么呢？这就好比欣赏顶碗。
在顾森的书中，多次提到两位“数学大神”：爱尔特希（书中译为“埃尔德什”）与康韦，以及其他几位高手。这些牛人的数学能力是我们无法企及的，就像我们无法与刘翔比跨栏一样。那么我们的存在于数学意义如何？
欣赏他们漂亮的证明就是了！就像欣赏刘翔、博尔特比赛一样。
我终于领悟到，自己学习奥数，固然没有将奥数与升学就业这些功利的东西挂钩，但却没有很好地思考过一张纸的两面——奥数与数学普及的关系。换句话说，就是没有很好地思考过数学的“多功能”——竞争、参与和欣赏等。过去强调了竞争的一面，而忽略了参与和欣赏的重要性。
如果你到了一个陌生的城市，它的所有路牌都要求你猜谜语，谜底是你要去的地方的方向，你肯定为自己的寸步难行而火冒三丈。生活中很多东西就是平淡，没有必要跌宕起伏，处处都是挑战。但在电子游戏里要是有这样一座城市，就截然不同。电子游戏具有极大的参与性，但有人指出它过于耗费时间，影响到身体和其他事情。
竞技体育带给人们美、力量和激情，现在有人提出，仅仅欣赏还不够，普通人也应该在生活中多参与一些运动。
奥数强调的是竞争，其实也可以参与和欣赏，数学科普可以弥补它参与性和欣赏程度的不足。
感谢顾森写了一本精彩的书，除了中文系的文字功底之外，他对数学的见解也给我上了很好的一课。让我知道，人生要学会甘于平淡，也需要竞争，但并不仅仅限于平淡和竞争，如何突破“自我”，除却所有的“羡慕妒忌恨”，忘我地参与一次，忘我地欣赏一次。谁说在数学中，我们不能做到竞争、参与和欣赏这三点呢？
不使用公式的数学几乎是不存在的，但是少用公式甚至不用公式的数学思维是存在的。此外，我不认为科学无涉于价值问题。数学，特别是逻辑概率和博奔那部分，可给人生以新的角度的解释，甚至比心理励志更为深刻和生动。
从这一点来说，明白了做数学的全部意义，也就理解了人生的真谛。
笔者写作此书得到了张奠宙教授与胡毓达教授的大力支持，在此深表感谢。
田廷彦
2013年7月
世界亟待发现，发现改变世界。
人类虽是万物之灵，但对客观世界的了解，直至今天仍然有限，尚未发现的新规律和新事物还太多太多。而一旦发现了一条新规律、一个新事物，并合理地利用它们，世界的面貌就会有所改变，人类的生活就会更加幸福。
发现和发明的重要性，怎样强调也不过分。发现，是科学的华彩乐章，是科学的美妙景致，是科学中最振奋人心的一座座丰碑。科学工作者，包括我自己在内，当初选择这一职业，多因受到科学发现的巨大魅力的感召，和追求科学发现的巨大喜悦的诱导；不从事科学工作的人士，对科学的最直观印象，也是科学发现和发明带来的生活方式的变化。
亲爱的青少年读者们，科学的未来在你们身上，你们将来都有可能获得或大或小的发现，做出或大或小的发明！在此之前，除了在课堂上学习必要的科学知识外，再读一点有关前人如何获得发现、利用发现的故事，想必大有裨益，更充满乐趣。
由上海辞书出版社推出的“发现世界丛书”，为大家准备了数学、物理、化学、生物、医学、工程技术等学科中的大量发现故事。其中，有妙用无穷的《诡谲数学》，围绕着一些中小学的基本数学概念，谈文化，谈历史，谈生活，谈应用，谈思想，说明数学的思维方式在生活中无处不在，尤其是逻辑、概率、统计、博弈等数学分支中的发现，不仅实际应用广泛，而且对人们看问题的思路也会带来深刻的启迪；有“点石成金”的《惊奇化学》，涵盖早期化学发展历程、化学经典理论、化学新发现、人类健康与环境问题中的化学等四大主题，用全面真实的化学图景，激发读者对有趣又有用的化学的探究热情；有梦想成真的《发明奇观》，从众多的现代技术门类中，选取了十多个侧面，把这些技术诞生的情景真实再现给读者，说明技术绝非冷冰冰的，而是深度融入了现代人的生活，对人类更亲切，对环境更友善，通过展示技术的魅力，激发人们对技术科学的兴趣……所有这些，都能让读者领略到不同学科的发现之美。
当然，学科其实只是我们对知识的一种分类方式。它们的本质都是从不同的侧面揭示客观世界。因此，不同学科中的发现故事，都蕴含了类似的道理：面对大干世界，如何寻找发现的突破口；站在十字路口，如伺确定发现的大方向；遇到重重障碍，如何走好发现的荆棘路；关乎芸芸众生，如何开掘发现的正能量。
我一向认为，科普固然要把科学道理说清楚，更重要的是，要传播科学思想，弘扬科学精神。时下，科普书种类繁多，令人目不暇接，它们都试图努力给读者的人生带来深远而积极的影响。本丛书是其中独具特色的一个范本：时尚的表述方式、有趣的科学故事、清晰的逻辑线条；从科学发现、技术发明，到如何促进人类文明、社会生活……都有准确的描述。
衷心希望广大青少年读者，以及中学教师朋友们，多提宝贵意见，以利科普作品水平的提高。
褚君浩
2013年7月
《诡谲数学》围绕着一些中小学的基本数学概念，谈文化，谈历史，谈生活，谈应用，谈思想，说明数学的思维方式在生活中无处不在，尤其是逻辑、概率、统计、博弈等数学分支中的发现，不仅实际应用广泛，而且对人们看问题的思路也会带来深刻的启迪。
《诡谲数学》由田廷彦编著。
田廷彦编著的这本《诡谲数学》精选十八个基础数学概念展开话题，将数学知识与人类历史文化、现实生活有机结合，讲述了数学发现过程中的许多生动有趣的科学故事，淋漓尽致地揭示了数学与人类文化历史、数学思维与美的关系。每篇文章仅数千字，以点带面、点到即止，可以成为数学课堂教学的有益补充。读者对象为初高中的学生、中学数学教师，数学爱好者。
