一位天才的“数学魔术师”，12堂神奇的数学课，15个开脑洞的数学魔术，带你体验数学翻转课堂的妙趣横生，治愈你的数学恐惧症！

如果你在即将到来的6、7、8月份有一个假期，你又正在寻找一本能在假期里阅读并且对你有所启发的书籍，《12堂魔力数学课》绝对是你很难拒绝的选择。

美国数学协会推荐学生阅读：美国每个学生都应该有一本！

本书作者跻身《普林斯顿评论》杂志评选的“美国TOP300教授”

美国数学人才选拔赛负责人、美国数学协会，以及多位校长、数学教师、热卖书作者超好评推荐

10,000,000爆高点击率的TED演讲人和数学翻转教育大师

《纽约时报》热卖书

阿瑟·本杰明：拥有约翰·霍普金斯大学的博士学位，任美国哈维姆德学院的数学教授。本杰明长期从事写作与教学工作，荣获多个奖项。他还是美国数学协会主办的《数学地平线》（Math Horizons）杂志的编辑。他做过三次TED演讲，演讲视频的观看人数超过1 000万。美国《读者文摘》（Reader’s Digest）称他为“美国最杰出的数学专家”。他与妻子及两个女儿住在美国加利福尼亚的克莱蒙特市。

读完本书，你定会为你上学期间没机会读到这样的数学书而感到懊恼不已！

本书作者阿瑟·本杰明是享誉全球的“数学魔术师”，他独创性地将许多人避之不及的数学与许多人津津乐道的魔术结合在一起，为众多数学恐惧症成人患者、正在学习数学的学生们开启了一个奇妙美丽的数学魔法世界。

本书堪称“12堂极简数学课”，囊括了我们从小学到中学到大学必须掌握的12个*重要的数学概念，比如算术、代数学、几何学、三角学、微积分、圆周率、无穷大等。更重要的是，本杰明既是一名优秀的数学教授，更是一位高明的魔术师，他的魔术棒所指之处，会让我们茅塞顿开。他在书中为我们准备了神奇精彩的数学魔术、开脑洞的智力问题，让我们在这趟数学的魔法世界之旅中，从大自然中领略斐波那契数列之美，从小幽默中领会到无穷大的奥秘，从《达·芬奇密码》中窥见黄金比例的魅力，从诗歌中找到圆周率的记忆方法。

引言 V

第1章数字之舞 001

数字的神奇规律 003

又快又准的心算法 011

第2章有魔法的代数学 027

一个与代数有关的魔术 029

代数的黄金法则 030

奇妙的FOIL法则 036

求解未知数x  043

方程式的图像 048

魔术背后的代数定理 056

第3章神奇的数字“9” 059

世界上最神奇的数字 061

弃九法与加减乘除运算 064

书号、互联网金融与模运算 071

你出生那天是星期几？ 076

第4章好吃又好玩的排列组合 085

数学中的感叹号 087

加法法则和乘法法则 090

冰激凌、彩票与扑克牌游戏 093

帕斯卡三角形和圣诞节礼物 103

第5章超酷的斐波那契数列 117

大自然中随处可见的数字 119

兔子音乐与拼图 125

质数、黄金比例与《达·芬奇密码》 134

第6章永恒的数学定理 147

紫牛、俄罗斯方块与数学定理的证明 149

有理数和无理数 156

棋盘覆盖

数学学习始于数字。在我们学会数数，以及利用文字、数字和实物来表示数的概念之后，学校老师就会教我们通过加、减、乘、除等运算程序摆弄这些数字，而且这个过程会持续多年。但是，我们往往不会注意到这些数字本身就具有某些神奇的魔力，稍加研究，便会给我们带来无穷的乐趣。

以数学家卡尔·弗里德里希·高斯（Karl Friedrich Gauss）小时候遇到的一个问题为例。一天，为了在自己处理其他事务时也让学生们有事可做，高斯的老师给全班同学布置了一个繁重的计算任务，要求他们求出从1至100的所有数字的和。结果，高斯很快就写出了答案——5050，让老师和其他同学大为震惊。他是怎么得出这个答案的呢？高斯默想着把从1至100的所有数字分成两行，1至50按从小到大的顺序位于第一行，51至100按从大到小的顺序位于下面一行，如下图所示。高斯发现，每一列的两个数字的和都等于101，因此所有数字的总和就是50×101，等于5050。

后来，高斯成了19世纪最伟大的数学家，这并不是因为他善于心算，而是因为他可以让数字展现出优美的舞姿。我们将在本章探

讨很多有趣的数字规律，以了解数字是如何跳出美丽的舞蹈的。其中，有的规律可以帮助我们提高心算的速度，有的则会给我们带来美的享受。

数学魔术1：

请在心中默想一个在20和100之间的数字，想好了吗？现在，将这个数字的十位和个位相加，再用这个数字减去得到的和。然后，将得到的差的十位与个位数字相加。

你得到的和是数字9吗？

数学魔术2：

第一步：在1到10中选择一个数字（你也可以选择一个大于10的数字）。

第二步：把这个数字加倍。

第三步：然后加上10。

第四步：再除以2。

第五步：最后减去你一开始选的那个数字。

我猜你得到的数字一定是5，对吗？

数学魔术3：

第一步：选择一个任意的两位数或者三位数。

第二步：把各个数位上的数字相加。

第三步：用最初的数字减去第二步得出的和。

第四步：将差的各个数位上的数字相加。

第五步：如果和是偶数，就乘以5。

第六步：如果和是奇数，就乘以10。

第七步：减去15。

你得到的那个数字是75吧？

一直以来，我都对魔术情有独钟。无论是观看魔术师的表演，还是我自己动手变魔术，当看到观众目瞪口呆的神情时，我都会因为魔术的神奇而心折不已。此外，我还热衷于探索魔术的奥秘。在掌握了几条简单的秘诀之后，我甚至还设计出了一些属于我自己的魔术。

我在数学方面也有类似的经历。很小的时候，我就发现数字本身具有神奇的魔力。举一个你或许会感兴趣的例子。请在心中默想一个在20和100之间的数字，想好了吗？现在，将这个数字的十位和个位相加，再用这个数字减去得到的和。然后，将得到的差的十位与个位数字相加，你得到的和是数字9吗？（如果不是9，请检查前面的运算是否出错了。）有意思吧？数学中有无数类似的神奇现象，但是我们大多数人在学校里却无缘接触它们。本书将告诉读者，数字、图形和纯逻辑可以产生令人惊喜的效果。此外，只需掌握一点儿代数或

几何学知识，你就会发现这些神奇现象背后的奥秘并非那么复杂，你自己甚至也有可能发现一些数学之美。

本书涉及数学领域中的数列、代数、几何学、三角学、微积分等基础科目，同时还涉及某些我们不常接触的内容，包括帕斯卡三角形，无穷大，9、π、e、i等数字的神秘属性，斐波纳契数列和黄金分割等。由于受篇幅限制，本书不可能帮助你全面了解任何一个主要数学科目，但我仍希望你在读完本书之后可以掌握主要的数学概念的含义及其作用原理，能够领略各个科目赏心悦目的雅致美感，了解它们相互之间的关联性。即使某些内容对你而言可能并不陌生，我也希望你可以换一个角度去思考、欣赏它们。随着你的数学知识不断增多，这些神奇现象将变得越发迷人。我以下面这个方程式为例：

eiπ+1=0

这是我最喜爱的方程式之一。有人称为“上帝的方程式”，因为这个神奇的方程式使用了数学中最重要的一些数字。具体来说，方程式中的0和1是算术的基础，π=3.14159…是几何学中最重要的数字，e=2.71828…是微积分中最重要的数字，i是–1的一个平方根。我们将在本书第8章中详细介绍数字π，在第10章中详细介绍数字i和e，在第11章中我们将解释这个神奇方程式的数学含义。

本书适用的阅读对象是将要或正在学习或已经学完某种数学课程的人。换言之，我希望所有人（包括有数学恐惧症的人和热爱数学的人）都能读读这本书。为方便大家阅读本书，我特意制定了若干规则。

规则1：灰色方框里的内容可以跳过不读（本段文字除外）！每个章节都有一些“延伸阅读”，涉及与当前阐述主题关系不大却值得关注的内容。在每个方框中，我可能会针对当前内容再举一例，或者给出某个证明过程，或者稍加深入讲解，以

满足求知欲较强的读者。第一次阅读本书时，你可能希望略过这些内容（在第二次、第三次阅读时，你可能仍然希望略过）。我希望你不要只读一遍就把这本书扔到一边，毕竟，数学知识值得我们反复咀嚼。

规则2：阅读本书的过程中你尽可以略过某些段落、章节。除了可以不读灰色方框里的内容，在阅读过程中当你遇到“拦路虎”时，也尽可以略过。对于有的内容而言，你必须形成自己的认识，才能全面地掌握。有的难题则可以暂时放下，一段时间之后，当你重新考虑这个问题时，也许会惊奇地发现难题已经迎刃而解了。因此，你一定要坚持读完这本书，如果半途而废，就会遗憾地错过大量精彩的内容。

规则3：本书最后一章你非读不可。最后一章介绍的是数学中的无穷大，其中有许多你在学校里可能学不到的精彩内容，而且不要求你必须先阅读前面的章节。不过，我在这一章里提到的很多观点与概念在前面的章节里都出现过，因此阅读第12章可能会激励你回顾前面章节的内容。

规则π：做好迎接惊喜的心理准备。尽管数学是一门严肃的重要学科，但这并不意味着数学教学工作必须一本正经、枯燥无味。作为美国哈维穆德学院的一名数学老师，为了活跃课堂气氛，我在上课时偶尔会讲笑话、朗诵诗歌、唱歌或者表演魔术。我在创作本书的过程中，也经常使用这些手段。不过，这不是在我的课堂，因此我就不唱歌了。（恭喜你的耳朵逃过一劫！）

请记住这些规则，然后跟我一起去领略数学的神奇！