旅游和数学有关系吗？当然有！出国要换钱、还价，你就会用到数学；搭乘国际航班，得换算时差；在英国和日本开车，还会遇到左右对称及平移的几何问题。

这本《从旅游学数学》由曹亮吉所著，打开你的数学感官，从旅游中轻松学数学！

这本《从旅游学数学》由曹亮吉所著。

写过不少理性的数学科普好书的“阿草”曹亮吉教授，这回要和大家分享自己踏遍世界的旅游经验。曹老师多年来去过世界上不少地方，有热门的京都、维也纳、普罗旺斯，也有冷门的伯尔尼、斯洛伐克、塞尔维亚。这本《从旅游学数学》不仅仅是旅游札记，还记录了旅行途中遇到的各种数学故事：写着梵文数字的车牌、没有666号房的辛巴威饭店、对正五边形装饰情有独钟的伊朗人，等等。

打开你的“数学”感官。你的旅行见闻也会变得不一样。想知道世界各地的“数学”风土人情，追随曹老师的足迹就对了！

Part Ⅰ 数字与数量

 美女与国王的算术

 阿拉伯数字，东西大不同！

 野兽的房间

 解读罗马数字

 规矩

 赤道国家为什么不热？

 居鲁士的陵墓有多高？

 税金该怎么算？

Part Ⅱ 时间与空间

 入乡随俗

 伊朗有三种历法！

 波斯数学家偏爱五边形？

 时差换算

 飞行时间只有10分钟？

 宿与驿

 想用哪条线路绕世界一周？

 哪两个国家的首都距离最近？

 方圆指数

Part Ⅲ 几何与规范

 坐哪边才不会晒到太阳？

 反其道行之

 靠左开车有学问

 传统与变化

 隘口与鞍点

 局部与整体

 看瀑布，想河流

 由方而圆

 建筑的几何美

Part Ⅳ 追随名家

 法布尔的家园

 爱因斯坦在伯尔尼

 花刺子模的家乡

 追随美洲王蛛的行踪

美女与国王的算术

在京都乘坐东西线地铁，到东南方山科地区的小野站下车，步行不到10分钟，就能在住宅区中找到随心院。

9世纪时，日本出现了一位美女小野小町，擅长诗歌舞蹈，名列六诗仙之首，也成为宫廷内的舞姬，得宠于仁明天皇。

仁明天皇死后，小野小町曾长期住在山科地区，随心院就建在旧址上。以筑地摒围起来的随心院，里头有库里、表书院、本堂、奥书院等建筑可以参观。另外，院子里有梅园，有井户(小町的化妆井)，有文冢，充满美人文学气息。

随心院有座小町年老时的雕像，及一张想象中小町百年时的画像(她实际活到92岁)，表示了美人也终会有迟暮的时候。

随心院院子里还有一条道路，称为“少将通路址”，它述说了一段小町的情史。话说在隔着一个山头的伏见深草地区，有一位名叫深草少将的男子，爱慕小町，每夜翻山而来，出现在小町住处的窗外。小町承诺约定在第100夜，少将出现时接见他。不幸到了99夜，少将却倒地死在窗外的雪地中。随心院里有一片榧树林，相传小町就用榧树果，来计数少将到来的次数。

小町为什么要以百夜为期呢？如果约定改为99夜，那么整个故事是否就有完全不同的结局呢？只来少数几夜，不足以表示少将的诚心；次数要够多，一百是个适当的选择。“百”的说法简单，且有圆满完整之意。改用99，不但复杂，而且马上产生“为什么不是98”的困扰。

俗语说“行百里半九十”，“百”是目标，九十实在不够看。“百”之为完整，之为目标，已深入语言，成为文化的一部分。百年画像的“百”也是这种意义下的设定。

一个榧树果对应于一夜，小町的故事呈现出人类最原始的计数方法。不过用这种方法，小町还是要把榧树果弄成5个或10个一堆，一五一十才可能数到一百。那么小町难道不会进一步用画“正”字之类的方法来数夜数？

也许小町画过“正”字来数夜数，不过这样就太数学，太没情调了。还是让小町数着一颗颗的榧树果，等着百夜的到来吧！这样就增强了少将故事的可信度，后人到访随心院，也多了一份亲切感。

小町数数用的是十进制。大多数的民族用十进制的方法数数，原因是人类有10根手指。不过有10根手指。不必然就用十进制来数数目。北美印地安人有很多种族，有用三进制的、四进制的、六进制的、八进制的，甚至十二进制的，但他们不是怪人，都有10根手指。

八进制版的小町故事就会变成：以8个8夜(64夜)为期。那么故事的男主角在还没有倒地死于雪地之前，早就获得了美人的接见！或者，故事要说，他在7个8夜又7夜(63夜)时就倒地不起了！

小町用榧树果一一数夜数的故事，使我想起了在非洲肯尼亚看到的风俗：住在那里的马赛族女孩，每年都要往脖子套上一个铜环。她们是以铜环一一数着年龄的。

我又想起了伊朗国王的故事。

“居鲁士是古代波斯帝国的开创者。在1971年，前巴列维王朝的国王就在这个广场，举办了波斯建国2500周年纪念大会。”在帕萨尔加德(Pasargadae)的居鲁士坟墓前，导游说起了波斯的光荣历史。  大家忙着照相，我却在回味2500周年的意义。1971年庆祝建国2500周年，那么哪一年建国？公元前529年(或530年，如果算实岁)！在那之前的公元前546年，居鲁士已经在波斯帕萨尔加德城。公元前539年已经攻下巴比伦的巴格达。在公元前529年之前，波斯帝国早已威震四方，而公元前529年正是居鲁士逝世之年，怎么会成为建国之年呢？

巴列维国王在位时，力求伊朗西化及现代化。但为了不与传统历史脱节，才兴起了建国纪念大会的念头，用来肯定现代伊朗是继承古代波斯的。他要广邀世界各国领袖与会，总不能说建国2517年(以公元前546年起算)或2510年(以公元前539年起算)——大家对“零碎”数目的兴趣不大。

人是很奇怪的：创造了十进制，对10及其倍数就特别重视。10周年比9周年重要，100周年比10周年更重要，2500周年更更重要。用2500这个数字可说动各国政要来与会；2517和9一样。没有什么特别，恐怕客人就来得少了。所以化零为整，就用约数2500。

在伊朗首都德黑兰机场附近的路口，中间有一大圆环。立有一巨大的纪念塔，就是1971年为纪念建国2500年而建的。

尾巴带0的数字往往是约数，这成了语言的一个特色。你说某人活了一百岁，听者会认为大约一百岁；你要说活了刚好一百岁。他才会相信一百不是个约数，一定是准确的数字。不过有人说101大厦其实没有101层楼，果真如此，数目的变相用法又多了一种。P10-14

666不见了

去过世界上不少的地方，有人就半开玩笑要我写一本旅游的书。我并不是没有这样的念头，不过我比较理性，对于旅游中遇到的人、事、地、物并不敏感，写不出感性并吸引人的旅游文章。

当然，我在旅游中也碰到过一些有趣的事情，在我写过的数学科普书中，也引述过一些。譬如，西班牙人入侵前，南美的印加帝国只有静态的圆(没有车轮)；公元前6世纪，工程师在毕达哥拉斯的家乡，利用三角学，成功挖了山洞引泉水来饮用。譬如，淡水祖师庙墙上的题字是哪一年撰写的；缅甸一个星期有8天，与8个方位、8个星球、8种动物相对应。譬如，陆龟“孤独的乔治”所引起的7/8=1的疑问；在东京，有地址也不一定找得到地方。譬如，厄瓜多尔南部大城昆卡的旧天主堂，是一批科学家测量赤道附近一纬度长的起点；在巴塞罗那的港口，有座哥伦布的铜像，所面对的方向是东方，右手所指的方向是南方，都不是他西航的方向。

当然，这些旅游所遇到的故事都和数学有关，才会出现在数学科普书里。其实，回想起来，在我的旅游经历中，碰到过不少与数学有关的故事，值得说出来和大家分享。

旅游中最常碰到的数学，是和数字或数量有关的。换钞票、讨价还价等场合固然会遇到数字或数量，而且它们在文化中的角色也值得一提。

维也纳旧城区的地标圣史蒂芬大教堂，它的墙上有一个四分之一圆及其圆心的刮痕，旁边还钉有两根铁杆，这些是古时候这个地方的规与矩。规用来规范面包的大小，矩用来规范长度的大小。大家遵照这样的规矩，市场交易就不会出问题。

在津巴布韦的维多利亚市有一间旅馆，有665和667号房间。居然没有666号房间，却多出了665A号房间。拿到666号房间钥匙的旅客，找不到六六六大顺的房间，但打开了665A号房间。我知道在圣经中，666是个“野兽数”，想不到这间旅馆真的避开不用。

俗话说“入乡随俗”，跟团旅行，领队、导游都会事先叮嘱。譬如参加伊朗团，领队事先再三提醒，在公共场合，女士要包着头巾。下了飞机，导游来接，马上送给女性团员一人一条头巾。

如果自助旅行，除了注意特殊的风俗礼仪外，还要注意当地的节日。有一年去加拿大东部观赏枫叶，没注意到他们正在放劳动节的假期，大家都出门度假，害得我们差一点租不到车，差一点找不到住宿的地方，狼狈不堪。

我曾经碰到过航班时间表上，从里斯本到摩洛哥卡萨布兰卡的国际航线，只要飞10分钟的怪事。仔细一想，才明白这是时差在作怪。这些都是在不同的时空背景中所出现的问题。

在伊斯兰国家，看得最多的是清真寺。除了墙面及圆顶的华丽镶嵌外，下方上圆的造型也让我着迷。仔细看其内部，原来在下方与上圆之间，还经过正八边形、正十六边形，甚至正三十二边形、正六十四边形的逐渐转变，这不就是数学中“以正多边形逐渐逼近于圆”的想法吗？

到了英国，你敢租车上路靠左吗？开车靠左走和靠右走，单纯是左右对称、左右互换的几何问题吗？不尽然。驾驶者不能左右脚互换，只能双脚平移。左右对称及平移是使问题变得有点复杂的关键。这些都是旅游中遇到的几何与规范的例子。

除了数字与数量、时间与空间、几何与规范这三类旅游中会碰到的数学问题外，还有一类是与人物有关的。我曾在法国普罗旺斯地区的大城阿维尼翁附近，追寻法国诗人昆虫学家法布尔的足迹，只因他常用数学的眼光描述昆虫的行为。我曾在瑞士的伯尔尼造访爱因斯坦住过的公寓，只因他在那里写下了E=mc2。我曾在中亚乌兹别克斯坦的古城希瓦，离队跑到城外，与花刺子模这位古代伟大数学家的铜像合影。我曾在墨西哥去保护区欣赏美洲王蝶，对它们在春秋两季迁移的故事深为着迷，回来后查阅大量文献，发现它们居然是天生的天文学家。追随名家的足迹，也是旅游的一大乐趣。

阿草的旅游数学，就以这四个方向，和大家见面。

阿草

谁是名家？是不是对数学有极大贡献的数学家？

花刺子模的确对数学有极大的贡献，但我之所以追随他的行迹，完全是因为与他相关的故事充满浓厚的人文气息。法布尔与爱因斯坦并不是数学家，而是把数学应用到专业，给他们的专业注入了新活力；更重要的是，当我重蹈他们人生旅途上的一些足迹，他们的成就让我倍感亲切。至于王蝶，它们不但不是数学家，更不是我们的人类同胞，不过它们迁移认路的本事超过我们人类。人类应用数学才能成就天文，但我在墨西哥旅行时，深深感受到王蝶似乎是天生的天文学家。

他们的事业与数学相关，他们的故事很有人文气息，我在旅途中追随他们的足迹能有所感受。这些就是我认定的名家。

有人说阿基米德、牛顿、高斯是历来最伟大的数学家。想要了解阿基米德，必须了解他在第二次布匿克战争(公元前3世纪后半)中，帮助叙拉古对抗罗马人围城的故事。你可以造访叙拉古，参观曾被包围的城墙，从高处俯瞰，一面想象罗马人的舰队从海面围城，叙拉古人用石头孥炮攻击船舰及登陆的士兵，一面回想阿基米德畅游于纯数学与应用数学之间怡然自得的情景。阿基米德绝对是在我的名家名单上。

牛顿呢？1665及1666两年，二十三四岁的牛顿在伍索普(Woolsthorpe)他出生的农庄躲避瘟疫。在那里，他从事棱镜分光及万有引力学说等工作。一座不起眼的两层农舍孕育了科学史上的巨人。他当学生及教授的剑桥大学，当造币局局长、皇家学院院长、还有死后归葬地西敏寺所在的伦敦，也都是追随牛顿行迹的重要地方。

至于高斯，我会认为他的数学研究的确伟大，但其内容(正十七边形作图、代数基本定理、最小差方法、曲面几何学、非欧几何学等)一般人不容易了解，只有少数几个故事带有人文风味，会引起大家的兴趣，如小时候计算1加到100，出道时计算谷神星的运行轨道，去世后纪念碑上刻有正十七星形而不是他希望的正十七边形。所以高斯要不要列在我的名单上，着实让我犹豫不决。

随着时代的进步，数学的发展愈来愈深奥，愈来愈不是常人所能理解的。晚高斯一个世纪，即19世纪末、20世纪上半叶数学界第一把交椅的希尔伯特(研究遍及不变量、代数数论、几何基础、函数空间、数学基础等)，虽然有人写过他的传记，但我从中榨不出能让一般读者欣赏的精华，也没能让我想去他的出生地加里宁格勒(现属俄罗斯)，或他的工作地蒂宾根(在德国)，去追寻他的足迹。有名的数学家不一定就是我名单上的名家。

数学用得好而会在我的名单上的还有谁？首先想到的是开普勒及伽利略。开普勒的行星运动定律、伽利略的落体运动定律。都建立了变星之间的关系；他们使用数学，让物理学进入了动力学的时代。我们可以在格拉茨(教书的地方)及布拉格(做天文官的地方)追寻开普勒的行迹，在比萨(以脉搏计时及落体实验)追寻伽利略的行迹。

制图学家墨卡托、做豌豆实验的孟德尔等人，都是把数学用到专业用得很好的人，他们的事迹也很吸引人，也都是名单上的人。物理学家狄拉克在20世纪上半叶导出电子适用的方程式，发现电子可有正负相反但大小相等的能量(都满足方程式)，而预测正电子的存在(他因此获得诺贝尔奖)。狄拉克数学用得好，但他的数学物理太高深，一时也嗅不到人文气息，所以没能进入我的名单。

王蝶是自然界进入名单者，还有吗？蜜蜂是候选者，它的蜂室符合最少耗材、最大容积的几何原理，它会跳舞告诉伙伴，什么方向有多远可采到花蜜。蜘蛛也是候选者，法布尔不是告诉我们，它有怎样的数学才能吗？

那么狗又如何？有位老师告诉我们，草地上会有很多人走出来的快捷方式，这是人具有某种天生功能的结果；他强调说这一点也不稀奇，狗也会走快捷方式！除此之外，我不知道狗还有什么其他的数学本事。

当然希望我的名单愈长愈好。哪一天当我知道狗真的能变出新的数学把戏，能感动我，我当然乐意把它列到名单上。