孤子(孤立子)是一种很特殊的孤立波，它与同种类型的波碰撞以后并没有遭到破坏，这种现象可以通过数值模拟观察到。但是，孤子发生碰撞以后真的能够完全恢复到最初的形状吗？在对这种数值模拟结果进行详细分析的过程中，发现孤子碰撞以后可以观察到一些波纹，因而看起来好像最初的形状并没得到完全恢复。为了说明孤子在碰撞以后是否被破坏，有必要找到孤子方程的精确解。

一般来说，寻找非线性偏微分方程(包括孤子方程)的精确解是一件非常困难的事情。而且，即使能找到求解某个偏微分方程的一种方法，通常这一方法也不适用于其他方程。那么，是否存在这样一种统一的方法，它既不需要高深的数学知识，又能够使我们成功地求解多种非线性偏微分方程呢？基于这个目的，作者研究了直接方法。

关于孤子(也称孤立子)理论中双线性方程的研究，国际上十分活跃，本书主要介绍处理双线性方程的技巧——“直接方法”。作者结合自己多年的研究成果，细致深入地阐述了求解非线性偏微分方程的精确解的过程，“广田方法”的要点，以及如何用Pfaff式统一显式表示多孤子解，由此提出了孤子方程可以看成Pfaff式恒等式的新观点。全书共分4章。第1章详细地描述“直接方法”的要点，以及用“直接方法”求解偏微分方程精确解的过程。第2章引入需要使用的数学工具，特别是行列式和Pfaff式理论，通过实例，深入浅出地介绍这些方面所涉及的技巧。第3章从直接方法的角度，讨论孤立子方程的数学结构。第4章详细讨论双线性Backlund变换。

本书可供高等院校和科研机构的数学、物理、力学、光学等专业高年级大学生、研究生和教师阅读，也可供从事非线性科学、理论物理、数学物理和工程等方面的科技人员参考。

前言

第1章 孤子方程的双线性化

 1.0 孤立波和孤子

 1.1 非线性和色散

 1.2 非线性微分方程的解

 1.3 非线性微分方程的线性化

 1.4 直接方法的本质

 1.5 一种新的微分算子，D-算子

 1.6 非线性微分方程的双线性化

 1.7 双线性方程的解

 1.8 双线性形式到非线性形式的变换

第2章 行列式和Pfaff式

 2.0 引言

 2.1 Pfaft式

 2.2 外代数

 2.3 一般行列式和Wronski行列式的Pfaff式表示

 2.4 行列式的Laplace展开式和Plucker关系式

 2.5 行列式的Jacobi恒等式

 2.6 特殊行列式

 2.7 Pfaff式恒等式

 2.8 Pfaff式(a1，a2，1，2，…，2n)的展开公式

 2.9 Pfaff式的加法公式

 2.10 Pfaff式的微分公式

第3章 孤子方程的结构

 3.0 引言

 3.1 KP方程：Wronski行列式解

 3.2 KP方程：Gram行列式解

 3.3 BKP方程：Pfaff式解

 3.4 耦合KP方程：Wronski型的Pfaff式解

 3.5 耦合KP方程：Gram型的Pfaff式解

 3.6 二维Toda晶格方程：Wronski行列式解

 3.7 二维Toda晶格方程：Gram行列式解

 3.8 二维Toda分子方程：双向Wronski行列式解

 3.9 二维Toda分子方程：双重Wronski行列式解

第4章 Backlund变换

 4.0 什么是Backlund变换？

 4.1 KdV-型的双线性方程的Backlund变换

 4.2 KP方程的Backlund变换

 4.3 BKP方程的Backlund变换

 4.4 变形BKP方程的解

 4.5 二维Toda方程的Backlund变换

 4.6 二维变形Toda方程的解

后记

参考文献

索引