一部另类数学思想史，多少江湖恩怨情仇！

数学天才们在智力巅峰上，以笔为剑、捉对厮杀，直到双方凄凉离世，一生一世也较量不出胜负。本书仿佛是一部数学的“五月争锋”与“华山论剑”。同行相争、师生反目、兄弟阋墙、父子成仇，演绎了一幕幕数学的人性悲剧。

天才是人类的福祉，却是自己苦难。

伟大的数学头脑思考问题的方式不止一种，数学中的争端为这个说法提供了无可争辩的证据。受贪婪、嫉妒、野心和自私的驱使，这些争端有着肥皂剧一般的情节，使兄弟反目、父子成仇、学生和导师势同水火。

16世纪，为了争得三次方程和四次方程解法的首先发现权，卡尔达诺和塔尔塔利亚大战一场；当塔尔塔利亚利用卡尔达诺的儿子作告密者，将卡尔达诺交给了西班牙宗教裁判所，他们之间的阴谋和对抗才宣告结束。接下来的几个世纪，在解析几何和光学的问题上，笛卡儿和费马争论不休；在微积分的首创权上，牛顿和莱布尼兹之间产生了激烈的争端；在微积分问题上，伯努利兄弟针锋相对；在数学的逻辑基础问题上，庞加莱和罗素战斗不休。在20世纪一场令人瞩目的数学冲突中，希尔伯特和布劳威尔卷了进来，爱因斯坦采取了中立的立场，形容他们之间的论战是青蛙和老鼠的战争。

在这本引人入胜的揭示数学家之间争端的书中，哈尔·赫尔曼既探讨了数学，又探讨了时代的精神。从提出或反驳这些有争议观点的信件、文章和书籍中，从对这些数学家的贡献作出过评价的历史学家的著作中，他酝酿出了这本书。在今天的数学中，很多激起这些争端的观点都很引人注目。例如，希尔伯特的证明理论是一个强有力的数学工具，在计算机科学中尤其如此。罗素的逻辑主义在现在不乏支持者。康托尔的集合论成为现代拓扑学和分形学的基础，它所导致的进步，为无穷小量微积分打下了坚实的基础。

让我们洞见数学和历史，品味其中的狡智、欺瞒和遁辞。这本书向我们展示了在数学中，巨大的争端是如何推动数学的伟大进步。

致谢

绪论

1 塔尔塔利亚vs卡尔达诺 求解三次方程

2 笛卡儿vs费马 解析几何与光学

3 牛顿vs莱布尼兹 微积分发现之争

4 伯努利vs伯努利 数学巅峰上的伯努利家族

5 西尔维斯特vs赫胥黎 数学：象牙塔还是真实世界

6 克罗内克vs康托尔 数学的欺骗

7 波莱尔vs策梅洛 声名远扬的公理

8 庞加莱vs罗素 数学的逻辑基础

9 希尔伯特vs布劳威尔 形式主义与直觉主义

10 绝对主义者/柏拉图主义者vs易误论者/建构主义者 数学进步是发现还是发明？

尾声

参考书目

中英文对照

跋

1 塔尔塔利亚vs卡尔达诺

求解三次方程

1545年，意大利物理学家和数学家吉罗拉莫·卡尔达诺，以一本代数学方面的书在数学界掀起了一场轩然大波。这本书在今天被称为《大衍术或代数学的规则》。直到现在，它仍然被众多学者认为是文艺复兴时期的科学杰作之一。

一本代数书，是什么东西如此重要呢？

《大衍术》(Arts Magna)以一些介绍性的材料开头，这些材料包括标准的线性和二次方程的解法。但是它很快就跃进到未知的领域，首次展示了求解三次和四次代数方程的完整过程。

这本书的确有着惊人的成就，在16世纪余下的大部分时间里，它将为推动欧洲数学的发展扮演重要角色。直到像弗兰索瓦·韦达(Francois Viete，1540—1603)和勒内·笛卡儿(Rene Descartes，1596—1650)这样水平的数学家出现后，这本书的贡献才被取代。

但这本书的影响不止在数学领域，因为文艺复兴也是科学世界的一个形成期，卡尔达诺的书在这方面同样起了重要作用。正如杰出的数学家和学者莫里斯·克莱因所说，“很多人把现代科学的出现主要归功于实验方法的引进，并相信数学只是作为一个方便的工具偶尔起点作用。真实的情况……恰恰相反，文艺复兴时期的科学家是作为数学家进入自然科学研究领域的……实验提供的帮助很小，甚至没有。科学家在当时指望从这些原理推导出新的定律。”

激活了长期潜伏的数学领域，卡尔达诺也为科学的发展提供了动力。比如，数学史家罗纳德·卡林格(Ronald calinger)就视卡尔达诺为文艺复兴时期新科学的奠基人之一。于是，人们把《大衍术》和维萨里(Vesalius)的《人体构造》(On the Structure of the Human Body)及哥白尼(Copernicus)的《天体运行论》(On the Revolutions of the Heavenly Spheres)相提并论，后两者几乎和《大衍术》同时出现。

然而，维萨里是比利时人，哥白尼是波兰人。很显然，看到他们中的一位对数学的发展作出如此非凡的贡献，意大利的数学家们充满了自豪。

确实，他们是这样表现的，但出现了一个大大的例外。《大衍术》刚刚出版，一位意大利数学家塔尔塔利亚(他通常以这个单名为人所知)开始攻击卡尔达诺。虽然卡尔达诺在书中和好几个场合清楚地声明过，书中一个基本的三次方程解法应归功于塔尔塔利亚。但塔尔塔利亚说，这不是问题所在。在他看来，卡尔达诺背信弃义。义愤填膺的塔尔塔利亚坚持说，当他向卡尔达诺展示他的解法时，卡尔达诺——作为一个基督徒和绅士——信誓旦旦地承诺会在塔尔塔利亚的书之后出版自己的书。

要理解塔尔塔利亚的抗议和因之而起的争端的奇怪后果，我们应该回到16世纪初看一看。

重生

实际开始于14世纪的欧洲文艺复兴，是欧洲智慧在沉睡了一千年后的苏醒和重生。艺术家和学者们，特别是在意大利，不断地发现着过去的富矿，并发扬光大之。科学家、工程师和数学家们也开始苏醒了，虽然慢了点，但毫不逊色。

临近15世纪末时，代数学里出现了数学史上第一个激动人心的时刻。正如文艺复兴的其他方面一样，这些成果在很大程度上是先前工作的再发现。这些辉煌的成就都是古代希腊、阿拉伯和印度的数学家们创造的。他们在很多个世纪以前就找到了线性方程和二次方程(形如ax+b-c和ax2+bx+c=d的方程)的解法。

阿拉伯的数学家们早在9世纪(或许更早)就解决了某些三次方程，但都是针对某些特别数字问题的几何解法，甚至是猜想的解法。极度需要解决的是普通三次方程(ax2+bx2+cx+d=0)的解，这也是大家积极寻求的。在《大衍术》之前意大利数学界最有影响力的书的作者卢卡·帕乔利(Luca Pacioli)在1494年主张，这样的解法不会被找到。

然后，在1510年到1515年之间的某个时候，博洛尼亚(Bologna)大学的数学教授希皮奥内·德尔·费罗(Scipione delFerro，1465—1526)提出了第一个三次方程的代数学解法。他发明了一个解决“压缩的三次方程”(缺少二次项的三次方程)的代数公式。换句话说，他找到了形如x3+ax=b的方程的通用解法，这里a和b是正数。这是一个真正的突破，但他保密得相当严实，坚持了至少十几年。如何解释这种奇怪的行为呢？

首先，16世纪之初不是一个“发表或者消失”的时代。当时，没有同行评议的期刊，没有互联网。实际上，对于一个新发现的主人来说，最有可能的做法就是将其严格保密，并且只在能设法证明它确实有利时才公开地用它(如果他确实要这样做的话)。

例如，任期制的想法在很久以后的将来才出现，所以数学上的学术职务会很微妙。席位是依据地位和名望来安排的，随时都要迎接公开的挑战。论战有时会引起公开的、有规模的争辩，争议者的学生和支持者通常会参与。在有些事例中，论战吸引了很多人，甚至掺入了激动人心的打赌。德尔·费罗显然相信，如果有人挑战他，拿着一堆问题要他解答，他能一直用他的解法作为有效的还击手段。

德尔·费罗是否曾经这样用过他的解法，历史没有记载。但我们确知，在1526年他去世的时候，他写有这种解法的论文传给了他的女婿兼继任者安尼贝勒·德拉·纳夫(Annibale della Nave)。更重要的是，传给了他一个学生安东尼奥·玛丽亚·费尔(Antonio Maria Fior)。

费尔认为他现在掌握了一个无价之宝，于是他回到家乡威尼斯，希望成为一位数学老师。他让公众知道他在解三次方程方面有特殊才能。但他经常听人说这也许算不了什么，别的人也有这种能耐。他听到的名字是塔尔塔利亚，一位威尼斯的数学老师。后者做过几次声明，声称也会解三次方程。

费尔考虑向塔尔塔利亚发出公开的挑战。如果塔尔塔利亚夸大其词(这看起来非常有可能)，那么这次挑战将是撕下对手的伪装并为自己树立名声的绝好途径。

P8-11

本书对数学家人性的残酷描述，可能会对普通人，尤其是那些对数学、数学家怀有莫名崇敬的年轻学子的某些观念造成颠覆性的冲击。一直认为，搞数学的人要更加单纯，眼神纯净、凝定——讲逻辑认死理的，往往如此；不像大多数人眼珠子滴溜溜的，复杂、混浊而游离。这个看法固守了N年之后，渐渐被消蚀、瓦解。

武侠大师古龙云：有人群的地方就有江湖，有江湖就有是非恩怨。数学家、数学界岂能例外？为了在数学界的主导地位，为了谁是首创者、谁是第一数学高手，同行相争、师生反目、兄弟阋墙、父子成仇。没法子，皆人，人性如此——我只能这样来解释本书中揭示的“恶”。

虽然作者说他要写出数学家们的“后厨房”，也就是要把冠冕堂皇的背面揭示给读者，实际上，作者还是笔下留情，点到即止。毕竟wiley是一个卓有声誉的出版社，作者也是科班出身，受过正规的学术训练，八卦不是目的，主要还是着眼于梳理数学思想的发展流变，剖析数学方法论的演进更替，还原数学史真相，这就决定了作者的写作态度，是相当严肃严谨的。作者在史料上花了很大的工夫；持论也很平和，并不特别倾向哪一边；文字修养也很好，叙述也很清楚。作者能把集合论、数理逻辑等如此复杂深涩的问题讲得深入浅出，让我这个外行也能看出点门道，这真是不容易。国内的学者在很多方面比欧美学者强，但有一个软肋：母语。本书是一部视角独特、别开生面的数学思想史，我抱着严肃的态度向读者推荐此书。

期待的读者对象也包括非数学专业的一般读者。数学知识不够不要紧，不妨就当小说来读，其感染力一点也不比虚构小说逊色，而且里面的情节都是真实的、可靠的，并非“大话”、“戏说”。作者的章节安排，也有些类似于中国传统章回体小说，各自独立成篇，却也相互勾连，上下呼应。说实在的，略知具体的数学知识，把这本书当作数学江湖恩仇录来读，或者滋味更好。

不少数学家喜爱读武侠小说，沉浸在江湖波澜和刀光剑影中，得到莫大的愉悦。数学史的历史真实，其精彩与残酷甚于武侠小说。通览全书，仿佛看到天才们在智力的巅峰上，以笔为剑、捉对厮杀，直到双方凄凉离世，一生一世也较量不出胜负。其情其景惊心动魄，多么壮观多么悲凉。我不是一个轻易为文本所打动的人，当看到全书的一半时，粗厉的情感神经还是绷不住了，不禁动容。为康托尔，也为克罗内克，为书中所有不幸的数学天才。天才是人类的福祉，却是自己的苦难。

其实，这本书就是一部数学的“五岳争锋”与“华山论剑”。

本书中所叙及的人物，个个都是顶尖的数学家，不世出的天才，好比江湖武林中的各路英豪。笛卡儿、费马、牛顿、莱布尼兹、伯努利父子兄弟、康托尔、克罗内克、歌德尔、罗素等等，令人想起金庸笔下的武学大师。大约与《鹿鼎记》相当的时代，并世两位巨人——牛顿与莱布尼兹，各踞海峡两岸，双峰并峙。一个是英伦三岛的科学盟主，“天才中的天才”；一个是欧洲大陆科学与哲学的旷世高人，亚里士多德以来最博学的“全能型的天才”。为了谁是“微积分第一人”，较量几十年，难分胜负。但彼此于对方的盖世科学“神功”和数学“内力”，也是相互敬佩，暗挑大拇哥。像极了《雪山飞狐》中胡一刀与苗人风，一为天下第一刀，一为天下第一剑，因误会结下世仇，以生死互博，又惺惺相惜。牛顿与莱布尼兹之争，大半是身边人的撺掇。要知道撺掇的人也是一流的数学高人。牛顿这边的沃利斯，数学名家，身怀破译密码的绝技；莱布尼兹那边主要是瑞士伯努利家族，家学渊深，微积分的造诣更是炉火纯青。

武林中有五岳剑派争盟主。类似地，20世纪起，数学界分化为几个相互敌对、竞争的群体和学派，最后逐渐形成三个主要学派争高下较短长(详见本书作者绪言)。逻辑主义学派——掌门人是罗素，经过与世界级的数学家庞加莱(数学功法路数纯正，反对符号逻辑，堪比洪七公)苦战之后，其“江湖地位”终于得以确立，为数学界一大门派。形式主义舵主希尔伯特与直觉主义掌门人布劳威尔打得不可开交，希望“江湖大佬”爱因斯坦能援手，爱因斯坦却作壁上观，保持中立。还嘲讽地说，你们这是青蛙和老鼠打架。像不像桃花岛上东邪西毒琴箫大战，在一旁说风凉话的老顽童周伯通？

武学深不可测，武林秘籍玄奥，一部《九阴真经》，使得多少武林高人走火入魔，陷入癫狂。数学亦如此，天才级的数学家往往要遭受精神疾病的折磨，本书已有涉猎，此不例举。一个费马大定律，近三百六十年问，耗尽多少数学痴迷者的生命；康托尔创立的集合论，是数学中的《九阴真经》，让多少数学才俊误人歧途，魂荡魄散；数理逻辑是数学中的《葵花宝典》，谁要练这个，事前得掂量掂量，问问你父母和女朋友答应不答应。

本书描述的十大论争，可不是从猎奇的角度选取的，实际上，这十大争论所涉，都是数学史上最基础、最关键、最根本的问题，紧绕数学根基的动摇和新数学的建立而展开的。数学丧失了确定性后，如何夯实数学基础，如何建立“基础而统一的”数学理论，可以视作本书的主线。在作者看来，无论是正方还是反方，无论是出于纯粹的数学目的还是挟带个人私怨，数学家们的所做所为实际上都是在捍卫数学、拯救数学，这也是在拯救科学、拯救人类文明。

责任编辑梁玲博士以极大的耐心再三再四催稿——校样和跋，压了很久，我今天必须抓紧。连着伏案几个小时，腰酸背痛，起身在书架问徜徉、浏览。看见一册上个世纪80年代出版的《数学哲学译文集》。很惊讶一个区图书馆会藏有这类艰深的著作，顺手抽出翻阅。看过书封和目录，再打开正文，却是一本居家生活指南——书芯被调包了。随即告知管理员，一起琢磨分析系何种人所为。数学高深，亦如武林，也有屑小鼠辈，不足为奇。

汪宇

2009年3月4日于长宁图书馆

这本书是关于数学人性化方面一次十分投入的探讨和相当出色的介绍。

——美国数学协会

这本书对科学发展有着非同寻常的见解。

……

它让我兴奋，强烈推荐给那些对科学感兴趣的人，乃至广大公众。

——《美国科学家》

赫尔曼组织了一系列富有娱乐性的故事。

……

许多攻讦非难在我们这个时代已经销声匿迹了。

——《自然》

读赫尔曼这本关于数学中发生的冲突的书，那些认为数学家足冰冷、死板的证明机器的人会深深受益。书中的主角和我们身边的任何一个人一样容易激动、难以相处。但赫尔曼的故事也向我们展示了：科学的争斗怎样带来更明确的阐述和更可靠的论据。

……

那些认为数学是冷冰冰、机械证明工具的人，应该好好读读这本书。

——德克·范·达伦，荷兰乌德勒支大学

赫尔曼令人着迷的著作表明，当伟大的学者们运用数学杀伤性武器时，究竟会发生些什么？

——威廉姆·顿汉，美国穆伦堡学院，《数学宇宙》的作者