“现在我说的是一句假话。”这句话是真是假?假定它为真，将推出它是假；假定它为假，将推出它是真。这个以“说谎者悖论”而闻名的命题自公元前4世纪就开始流传，迄今仍然以其特有的魅力吸引着为数众多的人们。本书通过对三个在数学发展中产生了巨大影响的悖论(毕达哥拉斯悖论、贝克莱悖论、罗紊悖论)的介绍，让读者既能充分了解悖论对数学发展所起到的巨大作用，又能对数学中欧几里得几何、无理数、微积分、集合论等的来龙去脉获得更清晰的认识。还穿插数学家的逸事，融知识性与趣味性于一体。

本书将对毕达哥拉斯等悖论产生前的背景做出详尽介绍。在此基础上，再对它们所引发的数学危机、危机之解决、悖论解决过程中产生的各种数学成果、悖论解决后产生的深远影响等做出透彻阐述。读者朋友将会注意到，在这次数学之旅中对悖论的介绍只占全书内容的不多部分。事实上，悖论在书中起的是引线的作用，我们围绕着它们将更多地介绍悖论之花得以绽放的数学土壤和悖论之花结出的数学之果。希望读者既能充分了解悖论对数学发展所起到的巨大作用，又能对数学中欧几里得几何、无理数、微积分、集合论等的来龙去脉获得更清晰的认识，并理解枝繁叶茂的数学大树是如何一步一步成长起来的。

第1编 毕达哥拉斯悖论与第一次数学危机

第一章 几何定理中的“黄金”：勾股定理

 第一节 古老的定理

 第二节 勾股定理的广泛应用及其地位

第二章 秘密结社：毕达哥拉斯与毕达哥拉斯学派

 第一节 智慧之神：毕达哥拉斯

 第二节 毕达哥拉斯学派的数学发现

 第三节 毕达哥拉斯学派的数学思想

 第四节 勾股定理证法赏析

第三章 风波乍起：第一次数学危机的出现

 第一节 毕达哥拉斯悖论

 第二节 第一次数学危机

 第三节 根号2是无理数的证明

第四章 绕过暗礁：第一次数学危机的解决

 第一节 欧多克索斯的解决方案

 第二节 同途殊归：古代中国的无理数解决方案

第五章 福祸相依：第一次数学危机的深远影响

 第一节 第一次数学危机对数学思想的影响

 第二节 欧几里得和《几何原本》

 第三节 第一次数学危机的负面影响

第2编 贝克莱悖论与第二次数学危机

第一章 风起清萍之末：微积分之萌芽

 第一节 古希腊微积分思想

 第二节 微积分在中国

第二章 积微成著：逼近微积分

 第一节 蛰伏与过渡

 第二节 半个世纪的酝酿

第三章 巨人登场：微积分的发现

 第一节 牛顿与流数术

 第二节 莱布尼兹与微积分

 第三节 巨人相搏

第四章 风波再起：第二次数学危机的出现

 第一节 贝克莱悖论与第二次数学危机

 第二节 弥补漏洞的尝试

第五章 英雄时代：微积分的发展

 第一节 数学英雄

 第二节 分析时代

第六章 胜利凯旋：微积分的完善

 第一节 分析注入严密性

 第二节 分析的算术化

第3编 罗素悖论与第三次数学危机

第一章 走向无穷

 第一节 康托尔与集合论

 第二节 康托尔的难题

第二章 数学伊甸园

 第一节 反对之声

 第二节 赞誉与影响

第三章 一波三折：第三次数学危机的出现

 第一节 罗素悖论与第三次数学危机

 第二节 悖论分析与解决途径

第四章 兔、蛙、鼠之战

 第一节 逻辑主义

 第二节 直觉主义

 第三节 形式主义

第五章 新的转折

 第一节 哥德尔的发现

 第二节 数理逻辑的兴起与发展

参考文献

通过我国清朝著名数学家梅文鼎(1633～1721)的几段话，我们可以进一步体会这一点。在其第一部数学著作《方程论》中他写道：“数学一也，分之则有度有数；度者量法，数者算术，是两者皆由浅入深。是故量法最浅者方田，稍进为少广，为商功，而极于勾股。”其中的量法指的是几何学。这段话强调了直角三角形的有关性质和算法在中国式几何学中的位置。在《几何通解》中他又写道：“几何不言勾股，然其理并勾股也。故其最难通者，以勾股释之则明。……信古《九章》之义，包举无方。”又在《勾股举隅》中说：“勾股之用，于是乎神。言测量至西术详矣。究不能外勾股以立算，故三角即勾股之变通，八线乃勾股之立成也。”当西方几何学传人后，梅文鼎错误地认为西方几何学，无非就是中国的勾股数学，没有什么新鲜的东西。但如他所指出的，要想搞清中国古代几何学的原貌，就得从勾股定理及勾股形的有关性质谈起，这是不错的。

当然，勾股定理不仅仅对中国传统数学如此重要。实际上，勾股定理与它的推论、推广除在现实世界中有着广泛的应用外，还在数学理论的发展中发挥着极其重要的作用。

在平面几何中，这个美妙、著名且有用的定理像一颗明珠，光彩夺目。天文学家开普勒曾把它喻为几何定理中的“黄金”，应该说勾股定理实在是受之无愧的!不仅如此，更重要的是，勾股定理作为一条十分重要而又很著名的数学基本定理，还深人到数学的许多分支中，数学中的许多数学公式和命题都是由它推导出来或是建立在它的基础之上的。

可以说，在数学上，勾股定理曾经是并且至今仍是贯穿许多数学领域的一个不可缺少的工具。如果要举一条数学中最重要的定理，恐怕非他莫属。以下趣闻可为佐证。

1955年希腊为了纪念2500年前古希腊在勾股定理上的贡献，发行了一张邮票，图案由三个棋盘排列而成。

1971年，尼加拉瓜政府发行了名为世界上“最重要的10个数学公式”的一套邮票，各枚邮票的插图上都印有选定的公式，邮票的背面简略说明了该公式的重要性。这套邮票中第二张就是勾股定理。

我国著名已故数学家华罗庚还曾想到用勾股定理来作为与外星文明进行第一次谈话的语言。在《数学的用场和发展》一文中他写道：“如果我们宇宙航船到了一个星球上，那儿也有如我们人类一样高级的生物存在。我们用什么东西作为我们之间的媒介?带幅画去吧，那边风景特殊，不了解。带一段录音去吧，也不能沟通。我看最好带两个图形去。一个‘数’，一个‘数形关系，(勾股定理)。”

P10-11

“现在我说的是一句假话。”这句话是真是假?假定它为真，将推出它是假；假定它为假，将推出它是真。

这个以“说谎者悖论”而闻名的命题自公元前4世纪就开始流传，迄今仍然以其特有的魅力吸引着为数众多的人们。悖论所具有的非凡吸引力由此可见一斑!

“悖论是有趣的!”——每一个接触过悖论的人都会对此深有同感。

“悖论是极其重要的!”一一接受这一点的人却要少得多。

在这本书中，我们就是要通过对三个在数学发展中产生了巨大影响的悖论(毕达哥拉斯悖论、贝克莱悖论、罗紊悖论)的介绍，使读者明了悖论不但迷人，而且是数学的一部分，并为数学的发展提供了重要而持久的助推力。

然而，什么是悖论?

对这个看似简单的问题，我们却不能给出一个普遍适用的答案。因为，悖论之悖是因人因时而异的。比如，现代一般读者在“根号2是无理数”这一数学命题中很难看到古怪之处。然而，这一命题正是我们在第一编中所要介绍的毕达哥拉斯悖论，也正是它在古希腊成为一场巨大数学风波的导火索，从而引发了第一次数学危机，并进而引导古希腊数学走向一条迥异于其他古代民族数学的发展道路。一或许，对我们而言，如此平常的命题竟会导致数学危机并产生如此深刻影响才是真正的古怪之事!

由此得到的教益是，我们必须将悖论放在特定的背景下进行考察，才能透彻地明白其悖之因。鉴于此，在这本书中我们将对毕达哥拉斯等悖论产生前的背景做出详尽介绍。在此基础上，再对它们所引发的数学危机、危机之解决、悖论解决过程中产生的各种数学成果、悖论解决后产生的深远影响等做出透彻阐述。

于是，读者朋友将会注意到，在这次数学之旅中对悖论的介绍只占全书内容的不多部分。事实上，悖论在书中起的是引线的作用，我们围绕着它们将更多地介绍悖论之花得以绽放的数学土壤和悖论之花结出的数学之果。通过这种视野更为宽阔的阐述，希望读者既能充分了解悖论对数学发展所起到的巨大作用，又能对数学中欧几里得几何、无理数、微积分、集合论等的来龙去脉获得更清晰的认识，并理解枝繁叶茂的数学大树是如何一步一步成长起来的。本书还将数学思想融于其中，并注意穿插数学家的逸事，融知识性与趣味性于一体，既增加读者的兴趣，又有助于增进读者对“数学家是什么样的人”、“数学是什么”的了解。

本书在写作过程中参考了大量的数学书籍(书后附有主要的参考文献)，谨向这些书的作者和译者表示真诚的谢意。

此外，我还要感谢我的父母与妻子，感谢他们对我一贯的支持。特别是我的妻子张红女士负责绘制了本书中的许多几何图形，为本书的早日完成提供了直接帮助。

最后需要说明的是，书中不足或错误在所难免，我真诚期望能得到读者朋友的指正。如果您有什么意见或建议，可以通过我的电子信箱zhhxt@163．com与我联系。

韩雪涛

2006年3月