《微积分(上）》是大学数学考研清华经典备考教程之一，大学数学考研清华经典备考教程的前身是《大学数学——概念、方法与技巧》,经过整编与改版后的本书，进一步加强了可读性，增加了部分新型例题。全书主要是为大学非数学类本科生与全国硕士研究生人学统一考试应试者系统地复习大学数学内容、以求巩固提高所学知识，取得良好考试成绩而编写的。

本书中讲述一元微积分的基本概念、基本定理与知识点．从基本概念、基本定理的背景及其应用入手，延伸到解题的思路、方法和技巧，并通过一法多题、一题多解的方式兼顾到知识的综合与交叉应用。在内容的安排上，既体现出各知识点间承上启下的关系，保持学科结构的系统性，又照顾到各知识点问的横向联系，为读者从全局上、总体上掌握所学的知识提供平台．为了巩固所学的基本概念和基本定理， 安排了基本题与综合例题，并且给出分析过程及难点注释．每章配有练习题，为读者提供自我训练的 空间．  本书可供高等院校理工、农、医、经管各专业的学生及准备参加全国研究生入学考试的各类考生使 用，也可作为相关课程的教学参考书．

第1章预备知识……………………………………………………………………………1

1．1 引言………………………………………………………………………………1

1．2基本不等式…………………………………………………………………1

1．3基本不等式应用技巧……………………………………………………………2

1．4不等式思想………………………………………………………………………3

1．5邻域与点集………………………………………………………………………4

1．6实数点集的有界性与公理………………………………………………………6

1．7函数及其初等性质………………………………………………………………6

练习题…………………………………………………………………………………12

第2章序列极限…………………………………………………………………………15

2．1 引言………………………………………………………………………………15

2．2极限定义及其等价性描述………………………………………………………15

2．3极限、聚点与子列………………………………………………………………17

2．4极限性质…………………………………………………………………………18

2．5极限存在的四个准则……………………………………………………………19

2．6标准极限及其应用技巧…………………………………………………………26

练习题………………………………………………………………………………27

第3章函数极限…………………………………………………………………………31

3．1 函数极限定义及等价性描述……………………………………………………31

3．2极限的运算性质及复合极限定理………………………………………………34

3．3 两个标准极限及等价无穷小量………………………………………………35

 第4章连续函数…………………………………………………………………………41

4．1 引言………………………………………………………………………………41

4．2函数在一点处连续的概念一微观性态………………………………………4l

4．3 函数在闭区间上连续的概念～宏观性态……………………………………44

练习题………………………………………………………………………………50

 第5章导数定义与微分概念……………………………………………………………55

5．1 引言………………………………………………………………………………55

5．2导数定义及其等价性(变形)描述………………………………………………55

5．3导函数与导数零点定理…………………………………………………………61

5．4导数公式与微分法………………………………………………………………63

练习题………………………………………………………………………………71

 第6章用导数研究函数性态……………………………………………………………75

6．1 引言………………………………………………………………………………75

6．2微分学基本定理…………………………………………………………………75

6．3函数的极值、凸性与渐近线……………………………………………………80

6．4洛必达法则与泰勒公式…………………………………………………………86

6．5用导数研究函数性态的综合例题I……………………………………………93

6．6用导数研究函数性态的综合例题Ⅱ——不等式证明技巧…………………112

6．7与微分学有关的经济数学……………………………………………………120

练习题……………………………………………………………………………124

 第7章原函数概念与积分技巧…………………………………………………………129

7．1引言……………………………………………………………………………129

7．2原函数概念……………………………………………………………………129

7．3原函数的存在性与表示法变上限积分……………………………………132

7．4积分方法与技巧………………………………………………………………136

7．5有理分式与三角有理分式的积分……………………………………………147

7．6综合例题与递推方法…………………………………………………………153

练习题…………………………………………………………………………………157

 第8章定积分概念与性质………………………………………………………………161

8．1引言……………………………………………………………………………161

8．2可积性概念与性质……………………………………………………………162

第9章定积分计算与技巧………………………………………………………………171

9．1 引言……………………………………………………………………………171

9．2凑微分法与变数替换…………………………………………………………171

9．3分部积分……………………………………………………………………175

9．4区间变换、区间拆分与合并……………………………………………………178

练习题…………………………………………………………………………………185

第10章基于定积分的函数性态分析及定积分应用…………………………………189

10．1 引言………………………………………………………………………189

10．2定积分综合问题与变限积分的应用……………………………………194

10．3定积分应用…………………………………………………………………219

练习题………………………………………………………………………………235

第11章广义积分概念及判敛方法…………………………………………………241

11．1引言…………………………………………………………………………241

11．2第一类广义积分概念与判敛………………………………………………241

11．3第二类广义积分概念与判敛………………………………………………244

11．4广义积分综合问题…………………………………………………………246

练习题……………………………………………………………………………249

第12章数项级数及判敛方法…………………………………………………………251

12．1 引言…………………………………………………………………………251

12．2一般性概念…………………………………………………………………251

12．3正项级数……………………………………………………………………256

12．4任意项级数与交错级数……………………………………………………261

12．5级数综合例题………………………………………………………………264

练习题………………………………………………………………………………269

第13章函数项级数……………………………………………………………………273

13.1引言…………………………………………………………………………273

13．2收敛性的一般问题…………………………………………………………273

13．3一致收敛问题………………………………………………………………275

13．4幂级数的一般性概念………………………………………………………279

13．5幂级数的代数运算性质与解析运算性质…………………………………282

13．6泰勒级数与麦克劳林级数……………………………………………284

13．7级数展开与求和综合例题………………………………………………286

13．8傅里叶级数…………………………………………………………………294

13．9傅里叶级数例题…………………………………………………………296

练习题………………………………………………………………………………300

练习题答案与提示…………………………………………………………………………303

本套教材的前身是《大学数学——概念、方法与技巧》．经过整编与改版后的本书，进一步加强了可读性，增加了部分新型例题．全书主要是为大学非数学类本科生与全国硕士研究生人学统一考试应试者系统地复习大学数学内容、以求巩固提高所学知识，取得良好考试成绩而编写的．这套书包括《微积分(上)》、《微积分(下)》、《线性代数》及《概率论与数 理统计》四本书．选材原则与教学要求是按照清华大学非数学类本科生数学教学大纲与教育部颁发的全国硕士研究生入学统一考试大纲而确定的．本教材的教学目标是为考生 提供跨跃130～150分成绩的强化训练与保证，同时，本教材也可作为大学数学的教学参考书．

本书是编者数十年教学经验的积累，是编者依据对课程内容的研究理解，并在综合分 析学生认识规律的基础上编写而成的．许多教学资料是第一次向外公开．这些教师不但有丰富的教学经历，同时也多从事科研工作，对数学基本概念、基本方法的灵活运用特别重视．对全国硕士研究生入学统一考试大纲的要求与题型结构均有深入的研究．因此，本书的编写风格与内容取舍充分体现了他们注重知识的基础性、系统性、交叉性与技巧性的教学风范．同时，本书在整体内容上把平时的教学要求与考研复习的需要结合起来，既突 出了基础，又具有较强的针对性，希望能对这两类读者都有全方位的指导意义，为他们训 练数学思维与解题能力提供较为系统的帮助．

学好数学，重在基础．一味追求技巧，往往导致无所适从，望题生畏．本书在内容安排 上强调基本概念与基本思维的训练，各章节均配有相当数量的基本例题(例*．*．*)，其中蕴涵着基本概念、基本方法与技巧．应该说，扎实地掌握基本概念，加上对基本方法的 深入思考，是技巧的真正源泉．另外，在大多数章节里，还选编了一定数量的综合例题(综 例*．*．*)，体现知识的综合性与交叉性，与训练综合运用所学知识分析问题及解决问 题的能力，基于综合性与交叉性的考虑，在个别例题中所涉及的内容可能超前本章的内容安排．读者在使用本书时，对书内例题应首先立足于独立思考，而后有选择地查阅解答 过程，对一些典型题，应争取有自己的解题方法，很可能你的方法会优于书中提供的方法， 果真如此，正说明你学习的深入．对准备考研的读者，鉴于国家每年公布的考试大纲会有 局部变化以及四类数学试卷的分类，在使用本书时，可参照考试大纲，有选择地略去书内某些章节．

每章后配备了模拟练习题及答案．读者应力争独立选做其中的题目，以求达到良好的训练效果．

全书的宗旨是为参加研究生入学考试的考生提供有效的指导与帮助，引导考生建立 居高临下的知识洞察力和走向成功的基石．同时，也作为本科生学习大学数学的提高教材．  本教材同时适用于研究生入学考试数学试卷一、二、三、四各类考生．建议广大考生采 用本教材．

全书编写工作得到清华大学数学科学系许多教师的支持与帮助．限于编者水平及撰 稿时间仓促，对书中的疏漏与错误，敬请读者批评指出．

本书主编为刘坤林．《微积分(上)》的编者为刘坤林(1～13章)，《微积分(下)》的编者 为谭泽光(14～23章)；《线性代数》的编者为俞正光(1～3章)，王飞燕(4～6)章；《概率论 与数理统计》的编者为叶俊(1～5章)，赵衡秀(6～8章)．

编 者

2005年2月于清华园