富有创意地考虑数学从古至今已经发挥的作用以及他在未来将会发挥的作用，在灯火阑珊处揭示数学，帕帕斯介绍数学观念的方式令人爱不释手。

本书系“趣味数学精品译丛”之一，由著名科普作家Theoni Pappas撰写，包含了大量数学与周围世界相联系的事件，从中挖掘出数学的美与魅力。

请你随便翻翻这本书，来发现数学的足迹。或许你会和我一样，想要知道，是否最早的数学观念诞生在史前的洞穴里?或者，数学观念是不是有待揭秘的永恒普遍真理?

本书跟着数学的脚印走。在本书中，这些数学足迹的出场顺序是随机的，正如平常它们总是意外露面。例如，勾股定理在无意间揭示了正方形的对角线长是无理数。斐波那契(Fibonacci)和他以后的数学家们也未曾想到，斐波那契数竟会在自然界中如此流行。又如，谁能预料，分形在刻画日常事物中变得这样重要?历史一遍又一遍地表明，数学观念联系着现实世界，而我们却往往极少对此有所期待。

引言

译者的话

早期数学制品

家喻户晓的黄金比

看见的不是可信的

数学与你的线

数学是建筑的框架

高维空间

数学与立体主义

德方斯大拱门

数学的潘多拉盒子

数学与人的身体

计算机将有量子跳跃？

数学、毕尔巴鄂和盖里

勾股定理

圆环、螺旋线与海豚

莫奈的艺术

绳结怎样联结数学

中国剩余定理

孤立子

天气预报的数学

数学与矶崎新的建筑

模糊数

数学和考尔德的艺术

小波

经度问题

折痕中的数学

数学与自然形态

数学与金字塔建筑

细胞自动机

数学与艺术宣言

数学走出迷宫

计量单位今昔

分子计算机

从数学看塞尚的画

我在哪里？

文学中的数学

治安与复杂性

时间的数学面貌

宇宙

数学帮助查错

数学与罗宾的艺术

这是费马最后定理的最后吗？

数学与生活中的对策

数学与旧金山现代美术馆的建筑

音乐、物质和数学

纳米技术

软计算

晶体很清楚吗？

智能机

附录

参考资料

索引

文学中的教学

大多数人想到数学时，头脑里出现数、复杂的方程和图表。数学总是被链接到科学。当我们想起数学书的时候，我们不会想到小说，虽然数学本身就是一部精彩的小说。它的观念和概念都带有想象和虚构成分。在欧几里得几何学中，点、直线、平面，都包含想象。在我们的世界里，不存在它们的理想形式。[环顾四周，哪里能找到有位置无大小的点、有长无宽的线和没有厚度的面呢?]同样地，正方形、三角形和圆，也都包含想象。当然，我们能看见画在纸上的正方形，但在实际上，无法将它的四个角都画成完美的直角，也不可能画得使它的四条边长百分之百地相等。我们知道，数学上可以畅通无阻地把一个圆分成360度，也能随心所欲地在一条直线上选定原点，从而把它变成数轴。数学的对象，在我们看来，似乎实实在在，尤其是当我们利用它们去描述周围事物的时候。在温度或预算赤字中应用负整数，觉得它们很实在。分形被应用到拍摄电影，当它们变成影片里的风景，看上去很实在。在《星际旅行》、《接触》、《星球大战》这样一些作品中出现的最新数学概念，我们毫无疑问可以接受，但是，有关文学的数学概念，想过多少呢?数学概念确实已经在许多小说作品里发挥作用。

索然无味的统计、概率和复杂性理论，在R.科特斯的短篇小说《规律》里，起了主要作用。在这里，我们读到：“在从七点到半夜的时间里，桥上通常无声无息。但是在那个晚上，似乎这座城市里的所有驾车人……协商一致，推翻传统。”这篇小说讲的是当一些事情出乎预料时发生的情况——有一天，由于意外交通堵塞，许多顾客挤进一家特别的商店，它本来将会在第二天倒闭。科特斯在小说里讲的是平均律，但是从今日数学观点来看，这个故事也是复杂性理论的一个奇妙例子，又是个在有序与混沌之间微妙平衡的例子。

在长篇小说《爱因斯坦之梦》里，A.莱特曼(A.Lightnan)从事一项技术复杂的工作，有许多玄妙想法，梦见爱因斯坦正在阐明他的时间和相对性的理论。跳过书中各种哲学议论，你在不知不觉中学习了爱因斯坦的理论，这些理论是小说情节的背景线索。有一章里，梦中想象时间沿着圆周运动，故事结尾的小节写道：

“夜深入静时，这些倒霉的市民无法入睡，将他们的被单扯来扯去，他们感到烦恼，因为知道他们不能改变一个单独的动作，一个单独的姿势。今生今世，他们将会精确地重复前世的错误。这些二茬罪的唯一征兆，就是时间在循环。在每个城镇里，尽管夜已深沉，空荡荡的大街和阳台上，依然充满了他们的呻吟。”

U.埃柯(U.Eco)的大部分小说，如《玫瑰的名字》、《傅科摆》和《昨日之岛》，把数学概念编进故事，在现实主义的情节里，添枝加叶。在《玫瑰的名字》里，编码和密码扮演重要角色。《傅科摆》的前面几行是：

“那是我看见摆的时候。从教堂唱诗班席位的天花板上，垂下一根很长的金属线，线的下端悬挂着一个球，它往返摆动，每趟来回的时间精确地相等。有人或许觉得它不可思议，居然像平静的呼吸那样均匀，但我知道，金属线长度的平方根和圆周率兀，这两个定值保证了摆动周期为常数。……”

这样的数学措辞，给他的作品增加了可信度，并且揭去一片神秘面纱。

在J.L.博尔赫斯(J.L.Borges)的短篇小说《沙书》里，主要人物获得一本难以置信的书，没有开头，也没有结尾。“它不可能这样，但它就是这样。这本书的页数，不多不少，恰好是无穷大。哪一页都不是第一页，哪一页都不是最后一页。我不知道为什么它们的页号被编成这种任意方式·或许是在暗示，在无限序列中，项的序号可以出现任何整数。”这本无穷书和它暗示着什么，占据了小说主要人物的每一瞬间、每个想法，他明白，他必须摆脱这本书，否则它将耗尽他的一生。自然，他不能把它撕成碎片，因为地球没有足够的房间，来存放这本无穷多页书籍的碎纸垃圾。书中内容不仅涉及无穷大这一内容。虽然它写作于20世纪初期，但是当我们今天读它的时候，我们会情不自禁地想起递归程序和分形，以及分形能在我们眼前生长和变化的情形。

在最近几年中，T.斯托帕德的剧本《世外桃源——阿卡迪亚》震撼了戏迷。剧情跨越19世纪初期和现在，19世纪的女主角(托玛西娜)是一位早熟的年轻女子，正在探究怎样能用数学描述我们周围的世界。在一场戏中，她向她的老师挑战，说：

“每个星期，我为您的方程画图，一点又一点，它们的坐标z和y以各种代数关系互相联系，每个星期它们画出来都是普通几何图形，好像全世界的形状只有弧与角，别无其他。天经地义，如果有一个方程的曲线像铃，一定有一个方程的曲线像蓝铃花，而且如果有蓝铃花，为什么没有玫瑰花?我们相信大自然是用数写成的吗?”

她记录了一些具有革命意义的发现，可惜失传了。[剧本里说，180年以后，在同一间房屋里生活着具有同样关系的一群人]与她对应的现代角色是一位数学家，正在研究复杂性理论和混沌理论一一在这里，这些概念依旧是布满曲线图形的元素。

最后，考虑R.布拉德伯里(R.Bradbury)的短篇小说《雷声》。小说里的人物，在一次休闲旅行中，遭遇意外，结果不幸身亡。这里发生的，是一次蝴蝶型突变式的死亡，“打破平衡，碰倒一行小骨牌，倒下的小骨牌碰倒了较大的骨牌，如此继续，最后碰倒了巨人似的庞大骨牌，差之毫厘，谬以千里。……事态无法改变。杀死一只蝴蝶不要紧!对不对?”在混沌理论中描述了一种蝴蝶效应，起步时的简单细微差异，可以造成结局大不相同，这篇小说是否是蝴蝶效应的先驱呢?

数学也已出现在许多电影剧本里。例如，考虑以下几部电影，它们的剧本都涉及数学题材和观念。《骄阳似我》(英文片名为Good WillHunting，又译为《心灵捕手》)曾获得1997年[第70届]奥斯卡最佳原创剧本奖。1998年的电影《死亡密码》(英文片名Pi，又译为《数字漩涡》或《圆周率》)，故事讲的是一位天才利用数学解释生活大画图及其意义[发现并破译扰乱股票市场的幕后数学程式]。在1980年J.克莱伯(J.Clayburgh)的喜剧《那是我的琴弦响》中，证明了“蛇引理”。在1971年的电影《稻草狗》中，正负号的转换给达斯丁·霍夫曼(DutinHoffman)带来了大麻烦。1998年出品的《怀孕的艾达》，向我们介绍了艾达·洛芙莱斯(Ada Lovelace)和她的世界。而1983年的《月球背面的山峰》，则是讲述S。柯娃列夫斯卡娅(S.131-134Kovalevsky)和另外一些数学家，例如K.维尔斯脱拉斯(K.Weierstrass)和G.米塔-列夫勒(G.Mittag—Leffler)。

这些作品，以及许多没有列出的作品，都很有趣，但更重要的是，它们是一块跳板，可以启迪人们的思想和探究数学的观念。一件事情似乎总是会带出另外一件事情。

P131-134

当我们环顾四周，偶尔可见数学风采的微妙印记。有些印记是新近刚添的，还有些是昔日留存的。追寻和发现数学脚步的痕迹，令人神往，受益甚多。这些印迹让我们感受数学对生活的巨大影响，从而帮助我们了解我们的世界和宇宙。

首批数学足迹的年代，回溯到史前时期。保留在岩洞石壁上的标记或符号，记载了当时的一些事情——也许是时间的推移，或者是收集或交换物品的数量。

几千年来，数学展现了它对艺术、商贸、建筑、科学等等的影响。在我们的日常生活中，数学是这样的微妙、普及和必需，以至我们经常忘记它的存在。然而，日复一日，数学不断扩张它的领土，在越来越多的方面烙上它的印记。今天如果离开数学工具，科学就无法启动，不论是银行、建筑、旅游、娱乐、电子业、发明或探索宇宙，都将一事无成。

《数学走遍天涯》跟着数学的脚印走。在本书中，这些数学足迹的出场顺序是随机的，正如平常它们总是意外露面。例如，勾股定理在无意间揭示了正方形的对角线长是无理数。斐波那契(Fibonacci)和他以后的数学家们也未曾想到，斐波那契数竟会在自然界中如此流行。又如，谁能预料，分形在刻画日常事物中变得这样重要?历史一遍又一遍地表明，数学观念联系着现实世界，而我们却往往极少对此有所期待。

请你随便翻翻这本书，来发现数学的足迹。或许你会和我一样，想要知道，是否最早的数学观念诞生在史前的洞穴里?或者，数学观念是不是有待揭秘的永恒普遍真理?

帕帕斯的书已经成为数学娱乐的金山……传播灵感与数学勇气。

——杰-赛斯卡，《数学折磨》的作者

帕帕斯选择的话题，总是能激发读者的想像，并使读者对我们的数学世界如此宏伟感到惊奇。

——C.A.皮科佛，《计算机与想像》的作者