本书分为概率论、数理统计、随机过程三部分，每部分包含若干个趣味问题。其中有分赌注问题、巴拿赫火柴盒问题、玻利亚坛子问题、赌徒输光问题、群体（氏族）灭绝问题等历史名题，也有许多介绍信内容、新方法的问题。本书内容有趣，应用广泛。能启迪读者的思维，开阔读者的视野，增强读者的提出问题、分析问题与解决问题的能力。本书适合高中以上文化程度的学生、教师、科技工作者和数学爱好者使用。

数学的好玩之处，并不限于数学游戏。数学中有些极具实用意义的内容，包含了深刻的奥妙，发人深思，使人惊讶。就《好玩的数学》丛书而言，不同的读者也会从其中得到不同的乐趣和益处。可以当做休闲娱乐小品随便翻翻，有助于排遣工作疲劳、俗事烦恼；可以作为教师参考资料，有助于活跃课堂气氛，启迪学生心智；可以作为学生课外读物，有助于开阔眼界，增长知识、锻炼逻辑思维能力。即使对于数学修养比较高的大学生，研究生甚至数学研究工作者，也会开卷有益。本书是《好玩的数学》丛书中的一册，分为概率论、数理统计、随机过程三部分。

总序

前言

概率论篇

1·1全是不可测集惹的麻烦

1·2概率概念的完善

1·3三个孩子都是女孩的概率

1·4有限不放回抽样门

1·5几次试开能打开大门

1·6常见离散型分布的背景

1·7哪个概率大

1·8分赌注问题

1·9是否接收这批产品

1·10抓阄

1·11最后摸出黑球的概率有多大

1·12选举定理及其应用

1·13剩下全是黑球的可能性

1·14与摸球是否放回无关

1·15整除的概率

1·16抽牌游戏

1·17点子多赢

1·18先出现的赢

1·19摸到奇数个球的概率

1·20取数游戏

1·21全取到为止

1·22第m个小的那个数

1·23两次取出的数字都不相同

1·24下赌注问题

1·25连续出现的概率

1·26巴拿赫(Banach)火柴盒问题

1·27波利亚(Polya)坛子问题

1·28鞋子配对

1·29信封与信配对

1·30手套配对

1·312n根小棒两两配对

1·32接草成环

1·33男女配对

1·34丈夫总在妻子的后面

1·35夫妻相邻就坐

1·36确诊率问题

1·37人寿保险问题

1·38如何追究责任

1·39系统可靠性问题

1·40生日问题

1·41盒子数不超过球数的放球问题

1·42座位问题

1·43放球次数问题

1·44最小最大球数问题

1·45下电梯问题

1·46上火车问题

1·47球不可辨的放球问题

1·48蒲丰(Buffon)投针问题

1·49会面问题

1·50不需要等待码头空出问题

1·513段小棒构成三角形问题

1·52圆周上3点构成钝角三角形问题

1·53两点之间的距离

1·54独立性

1·55永远年轻

1·56最大可能值

1·57再生性

1·58最少进货量

1·59化验血清的次数

1·60乘客等车(浪费的)时间

1·61巴格达窃贼(矿工脱险)问题

1·62虫卵数问题

1·63积分的计算

1·64维尔斯特拉斯定理的大数定律证明

1·65蒙特卡罗(MonteCarlo)模拟

1·66没校出的印刷错误数

1·67至少安装外线数

1·68每盒至少装多少只螺丝钉

1·69价格预测

1·70概率巧计算

1·71高散型随机变量的密度函数定义

1·72母函数

1·73反之未必成立

1·74两个母公式

数理统计篇

2·1白球多还是黑球多

2·2湖中有多少条鱼

2·3有效估计量的简易计算

2·4贝叶斯估计量的简易计算

2·5一般寓散型分布参数的极大似然估计

2·6袋中有多少个普通硬币

2·7收藏家买画问题

2·8福利彩票

2·9截尾试验中指数分布参数的估计

2·10今天生产的滚球是否合格

2·11如何减小犯第2类(纳伪)错误的概率β

2·12原假设的“情性”

2·13验收(鉴定)抽样方案

2·14第5次掷出几点

2·15随机变量模拟抽样

随机过程篇

3·1赌徒输光问题

3·2群体(氏族)灭绝问题

3·3群体增长模型

3·4市场占有率预测

3·5股票价格预防

3·6客机可靠性预测

3·7教学质量评估

3·8商品销售情况预测

3·9定货总收入模型

3·10造成死亡交通事故数

3·11泊松过程的检验

3·12排队论简介

附表1 标准正态分布函数值表

附表2 常见随机变员分布表

参考文献

分赌注问题又称为分点问题或点问题。在概率论中它是个极其著名的问题。在历史上它对概率论这门学科的形成和发展曾起过非常重要的作用。1654年法国有个叫De Mere的赌徒向法国的天才数学家帕斯卡(Bvlaise Pascal 1623～1662)提出了如下分赌注的问题：甲、乙两个赌徒下了赌注后，就按某种方式赌了起来，规定：甲、乙谁胜一局谁就得一分，且谁先得到某个确定的分数谁就赢得所有赌注。但是在谁也没有得到确定的分数之前，赌博因故中止了。如果甲需再得n分才赢得所有赌注，乙需再得m分才赢得所有赌注，那么，如何分这些赌注呢?

帕斯卡为解决这一问题，就与当时享有很高声誉的法国数学家费尔马(Pierre de Fermat)建立了联系。当时，荷兰年轻的物理学家(约25岁)惠更斯(C．Huygans)知道了这事后，也赶到巴黎参加他们的讨论。这样一来，使得当时世界上很多有名的数学家对概率论产生了浓厚的兴趣，从而使得概率论这门学科得到了迅速的发展。后来人们把帕斯卡与费尔马建立联系的日子(1654年7月29日)作为概率论的生日，公认帕斯卡与费尔马为概率论的奠基人。

如何解决这一问题呢?即如何合理地分这些赌注呢?帕斯卡提出了一个重要思想：赌徒分得赌注的比例应该等于从这以后继续赌下去他们能获胜的概率。P22-23

2002年8月在北京举行国际数学家大会(ICM2002)期间，91岁高龄的数学大师陈省身先生为少年儿童题词，写下了“数学好玩”4个大字。

数学真的好玩吗?不同的人可能有不同的看法。

有人会说，陈省身先生认为数学好玩，因为他是数学大师，他懂数学的奥妙。对于我们凡夫俗子来说，数学枯燥，数学难懂，数学一点也不好玩。

其实，陈省身从十几岁就觉得数学好玩。正因为觉得数学好玩，才兴致勃勃地玩个不停，才玩成了数学大师。并不是成了大师才说好玩。

所以，小孩子也可能觉得数学好玩。

当然，中学生或小学生能够体会到的数学好玩，和数学家所感受到的数学好玩，是有所不同的。好比象棋，刚入门的棋手觉得有趣，国手大师也觉得有趣，但对于具体一步棋的奥妙和其中的趣味，理解的程度却大不相同。

世界上好玩的事物，很多要有了感受体验才能食髓知味。有酒仙之称的诗人李白写道：“但得此中味，勿为醒者传”，不喝酒的人是很难理解酒中乐趣的。

但数学与酒不同。数学无所不在。每个人或多或少地要用到数学，要接触数学，或多或少地能理解一些数学。

早在2000多年前，人们就认识到数的重要。中国古代哲学家老子在·《道德经》中说：“道生一，一生二，二生三，三生万物。”古希腊毕达哥拉斯学派的思想家菲洛劳斯说得更加确定有力：“庞大、万能和完美无缺是数字的力量所在，它是人类生活的开始和主宰者，是一切事物的参与者。没有数字，一切都是混乱和黑暗的。”

既然数是一切事物的参与者，数学当然就无所不在了。

在很多有趣的活动中，数学是幕后的策划者，是游戏规则的制定者。

玩七巧板，玩九连环，玩华容道，不少人玩起来乐而不倦。玩的人不一定知道，所玩的其实是数学。这套丛书里，吴鹤龄先生编著的《七巧板、九连环和华容道——中国古典智力游戏三绝》一书，讲了这些智力游戏中蕴含的数学问题和数学道理，说古论今，引人入胜。丛书编者应读者要求，还收入了吴先生的另一本备受大家欢迎的《幻方及其他——娱乐数学经典名题》，该书题材广泛、内容有趣，能使人在游戏中启迪思想、开阔视野，锻炼思维能力。丛书的其他各册，内容也时有涉及数学游戏。游戏就是玩。把数学游戏作为丛书的重要部分，是“好玩的数学”题中应有之义。

数学的好玩之处，并不限于数学游戏。数学中有些极具实用意义的内容，包含了深刻的奥妙，发人深思，使人惊讶。比如，以数学家欧拉命名的一个公式

e2∏i=1这里指数中用到的∏，就是大家熟悉的圆周率，即圆的周长和直径的比值，它是数学中最重要的一个常数。数学中第2个重要的常数，就是上面等式中左端出现的e，它也是一个无理数，是自然对数的底，近似值为2．718281828459…。指数中用到的另一个数i，就是虚数单位，它的平方等于一1。谁能想到，这3个出身大不相同的数，能被这样一个简洁的等式联系在一起呢?丛书中，陈仁政老师编著的《说不尽的兀》和《不可思议的e》，分别详尽地说明了这两个奇妙的数的来历、有关的轶事趣谈和人类认识它们的漫长的过程。其材料的丰富详尽，论述的清楚确切，在我所知的中外有关书籍中，无出其右者。

如果你对上面等式中的虚数i的来历有兴趣，不妨翻一翻王树禾教授为本丛书所写的《数学演义》的“第十五回 三次方程闹剧获得公式解 神医卡丹内疚难舍诡辩量”。这本章回体的数学史读物，可谓通而不俗、深入浅出。王树禾教授把数学史上的大事趣事憾事，像说评书一样，向我们娓娓道来，使我们时而惊讶、时而叹息、时而感奋，引来无穷怀念遐想。数学好玩，人类探索数学的曲折故事何尝不好玩呢?光看看这本书的对联形式的四十回的标题，就够过把瘾了。王教授还为丛书写了一本《数学聊斋》，把现代数学和经典数学中许多看似古怪而实则富有思想哲理的内容，像《聊斋》讲鬼说狐一样最大限度地大众化，努力使读者不但“知其然”而且“知其所以然”。在这里，数学的好玩，已经到了相当高雅的层次了。

谈祥柏先生是几代数学爱好者都熟悉的老科普作家，大量的数学科普作品早已脍炙人口。他为丛书所写的《乐在其中的数学》，很可能是他的封笔之作。此书吸取了美国著名数学科普大师加德纳25年中作品的精华，结合中国国情精心改编，内容新颖、风格多变、雅俗共赏。相信读者看了必能乐在其中。

易南轩老师所写的《数学美拾趣》一书，自2002年初版以来，获得读者广泛好评。该书以流畅的文笔，围绕一些有趣的数学内容进行了纵横知识面的联系与扩展，足以开阔眼界、拓广思维。读者群中有理科和文科的师生，不但有数学爱好者，也有文学艺术的爱好者。该书出版不久即脱销，有一些读者索书而未能如愿。这次作者在原书基础上进行了较大的修订和补充，列入丛书，希望能满足这些读者的心愿。

世界上有些事物的变化，有确定的因果关系。但也有着大量的随机现象。一局象棋的胜负得失，一步一步地分析起来，因果关系是清楚的。一盘麻将的输赢，却包含了很多难以预料的偶然因素，即随机性。有趣的是，数学不但长于表达处理确定的因果关系，而且也能表达处理被偶然因素支配的随机现象，从偶然中发现规律。孙荣恒先生的《趣味随机问题》一书，向我们展示出概率论、数理统计、随机过程这些数学分支中许多好玩的、有用的和新颖的问题。其中既有经典趣题，如赌徒输光定理，也有近年来发展的新的方法。

中国古代数学，体现出算法化的优秀数学思想，曾一度辉煌。回顾一下中国古算中的名题趣事，有助于了解历史文化，振奋民族精神，学习逻辑分析方法，发展空间想像能力。郁祖权先生为丛书所著的《中国古算解趣》，诗、词、书、画、数五术俱有，以通俗艺术的形式介绍韩信点兵、苏武牧羊、李白沽酒等40余个中国古算名题；以题说法，讲解我国古代很有影响的一些数学方法；以法传知，叙述这些算法的历史背景和实际应用，并对相关的中算典籍、著名数学家的生平及其贡献做了简要介绍，的确是青少年的好读物。

读一读《好玩的数学》，玩一玩数学，是消闲娱乐，又是学习思考。有些看来已经解决的小问题，再多想想，往往有“柳暗花明又一村”的感觉。

举两个例子：

《中国古算解趣》第37节，讲了一个“三翁垂钓”的题目。与此题类似，有个“五猴分桃”的趣题在世界上广泛流传。著名物理学家、诺贝尔奖获得者李政道教授访问中国科学技术大学时，曾用此题考问中国科学技术大学少年班的学生，无人能答。这个问题，据说是由大物理学家狄拉克提出的，许多人尝试着做过，包括狄拉克本人在内都没有找到很简便的解法。李政道教授说，著名数理逻辑学家和哲学家怀德海曾用高阶差分方程理论中通解和特解的关系，给出一个巧妙的解法。其实，仔细想想，有一个十分简单有趣的解法，小学生都不难理解。

原题是这样的：5只猴子一起摘了1堆桃子，因为太累了，它们商量决定，先睡一觉再分。

过了不知多久，来了1只猴子，它见别的猴子没来，便将这1堆桃子平均分成5份，结果多了1个，就将多的这个吃了，拿走其中的1堆。又过了不知多久，第2只猴子来了，它不知道有1个同伴已经来过，还以为自己是第1个到的呢，于是将地上的桃子堆起来，平均分成5份，发现也多了1个，同样吃了这1个，拿走其中的1堆。第3只、第4只、第5只猴子都是这样……问这5只猴子至少摘了多少个桃子?第5个猴子走后还剩多少个桃子?

思路和解法：题目难在每次分都多1个桃子，实际上可以理解为少4个，先借给它们4个再分。

好玩的是，桃子尽管多了4个，每个猴子得到的桃子并不会增多，当然也不会减少。这样，每次都刚好均分成5堆，就容易算了。

想得快的一下就看出，桃子增加4个以后，能够被5的5次方整除，所以至少是3125个。把借的4个桃子还了，可知5只猴子至少摘了3121个桃子。

容易算出，最后剩下至少1024—4=1020个桃子。

细细地算，就是：

设这1堆桃子至少有z个，借给它们4个，成为x+4个。

5个猴子分别拿了a，b，c，d，e个桃子(其中包括吃掉的一个)，则可得

a=(x+4)／5

b=4(x+4)／25

c=16(x+4)／125

d=64(x+4)／625

e=256(x+4)／3125

e应为整数，而256不能被5整除，所以(x+4)应是3125的倍数，所以

(x+4)=3125k(k取自然数)

当k=1时，x=3121

答案是，这5个猴子至少摘了3121个桃子。

这种解法，其实就是动力系统研究中常用的相似变换法，也是数学方法论研究中特别看重的“映射一反演”法。小中见大，也是数学好玩之处。

在《说不尽的兀》的5．3节，谈到了祖冲之的密率355／113。这个密率的妙处，在于它的分母不大而精确度很高。在所有分母不超过113的分数当中，和∏最接近的就是355／113。不但如此，华罗庚在《数论导引》中用丢番图理论证明，在所有分母不超过336的分数当中，和∏最接近的还是355／113。后来，在夏道行教授所著《∏和e》一书中，用连分数的方法证明，在所有分母不超过8000的分数当中，和兀最接近的仍然是355／113，大大改进了336这个界限。有趣的是，只用初中里学的不等式的知识，竟能把8000这个界限提高到16500以上!

根据∏=3．1415926535897…，可得│355／113—∏│<0．00000026677，如果有个分数q／p比355／113更接近丌，一定会有

│355／113一q／p│<2×0．00000026677

也就是

355p一113q i／113p<2×O．00000026677

因为q／p不等于355／113，所以│355p-113q│不是0。但它是正整数，大于或等于1，所以

1／113p<2×0．00000026677由此推出

p>1／(113×2×0．00000026677)>16586

这表明，如果有个分数q／p比355／113更接近∏，其分母p一定大于16586，

如此简单初等的推理得到这样好的成绩，可谓鸡刀宰牛。

数学问题的解决，常有“出乎意料之外，在乎情理之中”的情形。

在《数学美拾趣》的22章，提到了“生锈圆规”作图问题，也就是用半径固定的圆规作图的问题。这个问题出现得很早，历史上著名的画家达·芬奇也研究过这个问题。直到20世纪，一些基本的作图，例如已知线段的两端点求作中点的问题(线段可没有给出来)，都没有答案。有些人认为用生锈圆规作中点是不可能的。到了20世纪80年代，在规尺作图问题上从来没有过贡献的中国人，不但解决了中点问题和另一个末解决问题，还意外地证明了从2点出发作图时生锈圆规的能力和普通规尺是等价的。那么，从3点出发作图时生锈圆规的能力又如何呢?这是尚未解决的问颛。

开始提到，数学的好玩有不同的层次和境界。数学大师看到的好玩之处和小学生看到的好玩之处会有所不同。就这套丛书而言，不同的读者也会从其中得到不同的乐趣和益处。可以当做休闲娱乐小品随便翻翻，有助于排遣工作疲劳、俗事烦恼；可以作为教师参考资料，有助于活跃课堂气氛、启迪学生心智；可以作为学生课外读物，有助于开阔眼界、增长知识、锻炼逻辑思维能力。即使对于数学修养比较高的大学生、研究生甚至数学研究工作者，也会开卷有益。数学大师华罗庚提倡“小敌不侮”，上面提到的两个小题目都有名家做过。丛书中这类好玩的小问题比比皆是，说不定有心人还能从中挖出宝矿，有所斩获呢。

罗嗦不少了，打住吧。谨以此序祝《好玩的数学》丛书成功。

张景中2004年9月9日

数学的好玩之处，并不限于数学游戏。数学中有些极具实用意义的内容，包含了深刻的奥妙，发人深思，使人惊讶。

数学的好玩有不同的层次和境界。数学大师看到的好玩之处和小学生看到的好玩之处会有所不同。就这套丛书而言，不同的读者也会从其中得到不同的乐趣和益处。可以当做休闲娱乐小品随便翻翻，有助于排遣工作疲劳、俗事烦恼；可以作为教师参考资料，有助于活跃课堂气氛，启迪学生心智；可以作为学生课外读物，有助于开阔眼界，增长知识、锻炼逻辑思维能力。即使对于数学修养比较高的大学生，研究生甚至数学研究工作者，也会开卷有益。——张景中