在这本书中，《魔鬼数学》作者、几何学家乔丹·艾伦伯格带领我们展开了一场海阔天空的探索之旅，旅程的终极意义是：通过发现几何学的力量，我们能够更好地思考每一个现实问题，重新认识我们身边的世界。
一根吸管有几个洞？尼姆游戏的必胜玩法是什么？数字货币交易中的公钥和私钥是怎么生成的？我们如何做才能阻止一场流行病肆虐世界？人工智能在学下国际象棋方面得心应手，而在学习朗读句子方面却力不从心，这是为什么？古希腊的黄金分割比能用来预测股票市场的走势吗？如果你的孩子真想学会思考的方法，他们应该在学校学些什么？所有这些问题都跟几何学有关，千真万确。
对大多数人来说，几何学是一门充斥着枯燥刻板习题的课程，高中一毕业，它就和你的牙套、你曾经追过的流行歌曲一起，被扔进了“故纸堆”。当提起几何学时，如果你首先想到的是如何通过一系列步骤证明关于三角形的某个显而易见的性质，那么这并不是几何学，而只是几何学的很小一部分。打个比方，三角形之于几何学，就好比一个动词之于一部精彩的小说。
这本书揭示了一些重要的科学、政治、经济、哲学、医学、信息技术、生物学等问题背后的几何原理，而这些问题都是我们在工作和生活中无法视而不见的。“几何学”一词的最初含义是“丈量世界”，但经过漫长的发展历程，它的含义包罗万象，可以解释世间万物的运行机制。
我们生活在一座蓬勃生长、欣欣向荣的“几何城市”中。几何学并未超越时空，它就在我们身边，与日常生活中的各种推理交织在一起。打开这本书，你会在手不释卷的同时连连惊叹于几何学的伟大力量。

乔丹·艾伦伯格（Jordan Ellenberg），美国威斯康星大学数学系教授。他在世界范围内发表他的关于数论研究的演讲，并于2013年在世界最大的数学会议——数学联合会议上做主题演讲。他的文章主要发表在《连线》《纽约时报》《华盛顿邮报》《华尔街日报》《波士顿环球报》等媒体上，他还为《石板》杂志写作“Do the Math”专栏文章，十分受欢迎。

引言 事物在哪里？它们长什么样子？
非凡的魅力
第1章 我投欧几里得一票
僵化死板的教学方式
毕达哥拉斯定理的证明
笨蛋的难关
等腰三角形的定义
第2章 一根吸管上有多少个洞？
通过画得差的图形进行好的推理
诺特的裤子
莫比乌斯带和三体问题
第3章 给不同的事物赋予相同的名称
拉挤变换
庞加莱，我拉挤了时空！
第4章 狮身人面像的碎片
蚊子问题和《天才少女》
尝一口就能知道整碗汤的味道
给《自然》杂志的一封信
随机游走到巴黎证券交易所
花粉颗粒似乎具有生命力
0号沼泽vs1号沼泽
马尔可夫链和香农信息论
第5章 他的棋风就是不可战胜
阿克巴、杰夫和尼姆树
热爱树栖生活的人类
W局面和L局面
以此类推
Nimatron先生的世界
非《软纽扣》不可吗？
大获全胜
我的程序员是上帝
非洲格拉斯哥开局
第6章 试错法的神秘力量
宝石手链和费马大定理
费马小定理的逆命题
两名醉汉下围棋
无限维度的策略空间
第7章 机器学习如同登山
贪婪是相当好的东西
我是对还是错？
深度学习和神经网络
车钥匙无处不在
第8章 距离、家谱图和单词地图
所有英语单词的地图
第9章 三年来的所有星期天
第10章 今天发生的事明天还会发生
它们不是上帝最重要的思想
神奇数字R0
明年将会有77万亿人感染天花
康威的数学游戏
辛普森悖论
哪枚金币是伪币？
流行病的数学模型
斐波那契数列和梵语诗歌
牛顿第二定律和差分方程
每个点都是临界点
第11章 可怕的增长定律
派对把戏
但其中有些是有用的
曲线拟合师和逆向工程师
第12章 香烟烟雾潜伏在烟叶中
南达科他州和北达科他州（上）
黄金比例和波浪理论
南达科他州和北达科他州（下）
揭秘谷歌的运行机制
和弦的音符和量子物理学
第13章 空间的皱折
世界地图、比萨定理和北极熊
你的埃尔德什数是多少？
图像和书虫
远距离读心术和熵
世界上唯一的名字
小世界网络
第14章 用数学思维破解选举“黑魔法”
约瑟夫的攻击性地图
衰败选区和“格里蝾螈”行为
哪个政党是克雷奥拉州的当权派？
从艺术到科学的演变
别再踢唐老鸭了！
把晶砂人划分出去！
效率差距和浪费的选票
会撒谎的统计数字
错误的问题比错误的答案更糟糕
醉醺醺的选区地图
图像、树状图和洞的凯旋
一场关于三明治的口头辩论
从阴暗的密室到明亮的教室
结语 膨胀的房子和翩翩起舞的窗户
机器捕捉不到事实的灵魂
每个人都离不开几何学
致谢

事物在哪里？它们长什
么样子？
作为一名数学家，我经
常在公共场合谈论数学，这
似乎能帮助人们解开某些谜
团。他们会告诉我一些事情
，我感觉那些都是他们长时
间深埋心底的故事。其中一
些故事与数学有关：有时它
们是悲伤的，例如，一名数
学老师无缘无故地践踏了一
个孩子的自尊心；有时它们
是快乐的，例如，一个孩子
受到启发后茅塞顿开，或者
一个成年人怎么也找不到回
家的路了（事实上，这个故
事也有点儿悲伤）。
这些故事常跟几何学有
关。在人们对中学时期的记
忆中，几何学是那么另类，
犹如交响乐中冒出来的异常
大声的不和谐音调。有些人
憎恶几何学，他们告诉我，
从开始学习几何学的那一刻
起，数学就超出了他们的理
解范围。但也有些人告诉我
，几何学是数学中他们唯一
能弄懂的部分。几何学就像
数学这道大餐中的香菜一样
，人们对它要么甘之如饴，
要么避之不及。
是什么让几何学变得如
此与众不同呢？在某种程度
上，它是原始的，根植于我
们的身体。自出生之日起，
我们就开始思考两个问题：
事物在哪里？它们长什么样
子？有些人会告诉你，所有
与我们的内心生活息息相关
的事情，都可以追溯到非洲
稀树草原上那群狩猎采集者
的需求。我不认同这种说法
，但我也无法否认，那些原
始人在学会用语言谈论形状
、距离和地点之前，对这些
概念就有所了解了。南美的
神秘主义者（及南美以外地
区的模仿者）喝下死藤水（
一种宗教致幻剂）后，会在
第一时间（好吧，是在不受
控制地呕吐后的第一时间）
感知到一些纯粹的几何形状
，例如，像传统清真寺里反
复出现的格栅一样的二维图
形，或者像
由六面体巢室排列而成
的蜂巢一样的三维图形。即
使在我们失去了其他推理思
维的情况下，几何学也不会
抛弃我们。读者朋友，让我
开诚布公地告诉你们：起初
我对几何学毫无兴趣。这的
确令人难以理解，毕竟我现
在是一位数学家，而且我的
工作就是跟几何学打交道！
但是，自从我和其他孩
子组队参加数学联赛，一切
就都变得不一样了。是的，
一场数学联赛。我所在中学
的参赛队伍名叫“地狱天使”
，我们每次上场比赛都穿着
黑色T恤，带着一台手提录
音机，播放着休伊·刘易斯
和新闻乐队演唱的歌
曲“HiptoBeSquare”（《洗
心革面》）。我在那场联赛
中“出名”了：只要遇到“证
明∠APQ＝∠CDF”之类的问
题，我就会止步不前。这并
不是因为我不会解答这类问
题，而是因为我使用的是最
笨、最麻烦的方法：给图中
的多个点逐一分配坐标值，
然后通过大量的代数运算和
数值计算，求出三角形的面
积和线段的长度。事实上，
只要运用有效的几何方法就
可以避免这些烦琐的步骤。
我得出的答案有时是对的，
有时是错的，但每次的解题
过程都非常痛苦。
如果世界上有几何天赋
这种东西，那我肯定没有。
我们可以给婴儿做几何测试
：以两幅为一组，连续向婴
儿展示一系列图片，其中大
多数组别中的两幅图片展示
的形状都相同，但大约每隔
三组，右边的那幅图片展示
的形状就会与左边的那幅图
片相反。婴儿会花更多的时
间去看那些相反的形状，这
表明他们知道“有事情发生
了”，他们追求新奇事物的
头脑也会迅速做出反应。婴
儿凝视镜像形状的时间越长
，他们在学龄前期的数学和
空间推理测试中的得分就越
高，也能更快、更准确地想
象出不同的形状，以及这些
形状旋转或粘在一起后的样
子。至于我，我几乎完全不
具备这种能力。你知道加油
站的刷卡机上贴的那个小图
片吧？它会告诉你刷信用卡
时卡片应该朝着哪个方向。
但是，它对我毫无用处，因
为我的大脑无法把那幅平面
图转化成三维动作。每次刷
卡，我都不得不把4种可能
的朝向尝试一遍——磁条向
上朝右、磁条向上朝左、磁
条向下朝右、磁条向下朝左
——直到机器开始读卡。
然而，人们通常认为几
何学对现实世界的一些运算
而言至关重要。凯瑟琳·约
翰逊是美国国家航空航天局
（NASA）的一位数学家，
她因为《隐藏人物》这本书
及同名电影的主人公而出名
。谈到她早年间在飞行研究
部门取得的成功时，凯瑟琳
说：“那些家伙都有数学硕
士学位，但他们彻底忘记了
他们学过的几何知识……而
我还记得我学过的几何知识
。
非凡的魅力
威廉·华兹华斯的自传体
长诗《序曲》（The
Prelude）讲述了一个有点
儿令人难以置信的故事：一
个人在遭遇海难后漂流到一
座无人岛上，他身上除了一
本欧几里得的《几何原本》
之外别无他物。大约2500
年前，这本书阐述的几何公
理和命题使几何学变成了一
门正式学科。对一个遭遇海
难的家伙来说，他的运气还
算不错：尽管他饥肠辘辘、
心情沮丧，但他可以用树枝
在沙滩上作图，通过逐一验
证欧几里得的证明过程，打
发独居荒岛的寂寞时光。而
这恰恰是步入中年的华兹华
斯向往的人生——年轻、敏
感、富有诗意。诗人写道：
这些抽象的概念，对终日与
图形为伍、形单影只的心灵
而言，是多么富有魅力啊

《几何学的力量》是《魔鬼数学》、数学家作者乔丹·艾伦伯格的新书，是一本关于几何学的精彩发展历程和丰富实践应用的普及读物，其间你将在欧几里得、毕达哥拉斯、庞加莱、费马、康威、牛顿等一众大咖“导师”的指引下，纵横于经济、政治、金融、大数据、宇宙等多个重要领域，探索一些重要的科学、政治、经济、哲学、医学、信息技术、生物学等问题背后的几何原理。
“几何学”一词的最初含义是“丈量世界”，但经过漫长的发展历程，它的含义包罗万象，可以解释世间万物的运行机制。如果你想知道几何学到底有什么用处，想用几何思维重新认识我们身边的世界，就跟随这本书去重新发现几何学的神奇力量吧。

膨胀的房子和翩翩起舞
的窗户
在英国对印度实行殖民
统治时期，英国建筑师赫伯
特．贝克参与了印度首都新
德里的规划设计。他认为，
这座城市应该采取新古典主
义建筑风格，本地特色的建
筑过多将无法匹配大英帝国
的目标，“尽管这种风格可
以展现印度的魅力，但它不
能通过结构和几何特征凸显
英国政府在混乱中建立的法
律和秩序。”几何学可以用
来比喻绝对不容置疑的权威
，它是以国王、奠基人或殖
民统治者为中心的自然秩序
的数学类比物。法国的统治
者花费了不计其数的金币修
建井然有序的花园，完美的
线条从四面八方汇聚至宫殿
，象征着他们心目中像公理
一样永恒不变的秩序。
这种观点的典型代表案
例可能是英国校长埃德温·
艾勃特在1884年创作的短
篇小说《平面国》。这本书
以一个正方形的口吻，讲述
了发生在二维世界的故事。
这个世界里的居民就像西尔
维斯特的“书虫”一样，他们
只知道4个罗经点，除此之
外他们对方向毫无概念。平
面上的人是几何图形，他们
的形状决定了他们的社会地
位。一个人拥有的边越多，
他的地位就越高，地位最高
的多边形拥有很多边，以至
于无法跟圆区分开来。相比
之下，等腰三角形是普罗大
众，他们的社会地位与其顶
角的度数成正比。有尖锐顶
角的狭长三角形是士兵，地
位比他们低的唯一图形是代
表女性的线段。在这本小说
中，线段是可怕的生物，几
乎没有头脑，极其尖利，从
正面是看不见她们的。(非
等腰三角形呢？他们代表异
常丑陋的群体，受到正统社
会的排挤，如果形状过于歪
斜，还会被“仁慈”地施以安
乐死。)
正方形在梦中来到了一
维的直线国，当骄傲的直线
国国王得知在他的国土之外
还有一个二维世界时，他根
本无法理解。正方形醒来后
，被一个虚无缥缈的声音吓
了一跳。这个声音说它的主
人是一个小小的圆，不知为
何来到了正方形的家里。圆
会莫名其妙地放大和缩小，
当然，这是因为它其实不是
圆而是球体，随着球体在第
三维度内的上下移动，它在
二维世界里的横截面会放大
和缩小。球体努力地向正方
形介绍自己，但言语解释失
败后，球体把正方形从平面
上举起来，并以一定的角度
倾斜，让正方形能亲眼看到
二维世界的形状。获得启示
之后，回到二维世界的正方
形试图将他的所见所闻传播
开来。不出所料，他被关进
了监狱。这本小说的结局是
，正方形遭到监禁，他的见
闻也无人关注。
《平面国》刚出版时，
读者对它既备感困惑又不以
为然。《纽约时报》评论说
：“这是一本让人困惑不已
和痛苦不已的书，美国和加
拿大加起来至多有六七个人
喜欢读它。”但事实上，它
受到了对几何学感兴趣的年
轻人的欢迎，连续加印，并
被改编成电影。我小时候对
它也是爱不释手，读了一遍
又一遍。
但我那时不明白这是一
部讽刺作品，它在嘲讽而非
接受平面国盛行的已然过时
的社会等级观念。艾博特并
没有把女性视为没有头脑的
“死亡之针”，而是倡导教育
平等。他曾在女子公立日校
公司的理事会任职，致力于
为女性的中等教育提供资助
。我也不知道艾博特是一位
圣公会牧师，除了这本小说
，他出版的主要是神学方面
的作品。所以，我肯定无法
领会这个故事暗含的基督教
讽喻：对那些能够接受超现
实的人来说，几何原理绝不
会强制实施一种压迫性的社
会秩序，反而是一种摆脱这
种社会秩序的途径。
《平面国》告诉我们，
几何学的力量在于，二维世
界的正方形可以通过纯粹的
思考，推导出他不能直接观
察到的高维世界的属性。从
他了解的正方形入手，他类
推出立方体有8个角和6个面
，而且每个面都是像他一样
的正方形。在此基础上，正
方形更进一步，问球体对第
四维度有什么了解(其实，
这个问题同样可以通过类推
法来解决)。但球体告诉他
，这个问题太荒谬了，根本
没有第四维度这种东西，“
你怎么会提出如此愚蠢的问
题呢？”
我们知道的几何学可用
于支持传统方法，但我们并
不知道它也是一种威胁。在
17世纪的意大利，数学家建
立了一套严谨的无穷小理论
，并利用它算出了以前无法
处理的图形的面积和体积，
却遭到耶稣会会士的扼杀。
只要有方法超出欧几里得几
何的范围，就会受到质疑。
在英国，牛顿的微积分理论
受到了教会的猛烈抨击，以
至于他不得不用詹姆斯-朱
林的《几何学不是无神论者
的朋友》(Geometry No
Friend to Infidelity)等书籍
为自己辩护。但如果你的宗
教信仰错了，几何学则更像
无神论者的朋友，尤其是新
几何学，它可以提供对抗既
有秩序的威权。这样一来，
它将成为破坏稳定的力量和
激进的措施。
机器捕捉不到事实的灵
魂
丽塔·达夫是普利策奖得
主、连续两届的美国桂冠诗
人，现任弗吉尼亚大学的联
邦教授(托马斯·杰斐逊和詹
姆斯·西尔维斯特都曾在这
所大学对数学进行了深入的
思考)。但在20世纪60年代
初，她只是俄亥俄州阿克伦
的一个小书呆子。她的父亲
是一名工业化学家，也是固
特异轮胎公司

毫无疑问，这本书让几
何学变成了一门乐趣非凡的
学问。艾伦伯格用风趣诙谐
、寓教于乐的文字告诉我们
，几何学非但不是你人生中
的“劫难”，更会成为你生活
中的助力，拓展你对现实世
界和抽象世界的认知。
——《纽约时报》
在艾伦伯格的妙笔之下
，严谨的数学知识变得引人
入胜，各种数学理论令人心
旷神怡。
——《柯克斯书评》
在这趟微风习习的探索
之旅中，数学教授艾伦伯格
展示了几何学是如何对现实
世界中的诸多问题产生影响
的。经由这本书习得数学思
维的读者，将会对他们身边
的世界产生醍醐灌顶般的理
解。
——《出版人周刊》
艾伦伯格以包罗万象的
视野和妙趣横生的笔触，将
几何学的含义及其在现实世
界中的作用娓娓道来。
——《每日电讯报》
艾伦伯格对几何学知识
的阐释和对数学人文性的探
索，足以证明他为什么会成
为一位受欢迎的数学教授。
——《每日野兽》
几乎人人都会喜欢上艾
伦伯格的文字和头脑。
——《哈佛杂志》

1864年，美国康涅狄格州诺里奇市的J．P格列佛牧师回忆说，他曾在一次谈话中询问美国总统亚伯拉罕·林肯，“你的极富说服力的修辞技巧从何而来？”林肯给出的答案是：几何学。
在研读法律的过程中，我不断碰到“证明”(demonstrate)这个词。起初我以为自己明白它的意思，但很快我就发现自己并不明白……我查阅了《韦氏字典》，它给出的解释是“确凿的证据”“无可置疑的证据”，但我不知道它指的究竟是什么样的证据。我认为所谓的“证明”就是一些特别的推理过程，而有很多事情无须这些过程也能毋庸置疑地得到证明。我翻遍了我能找到的所有字典和参考书，但都没有找到更好的答案。这就好比你向一位盲人解释什么是蓝色。最后我对自己说：“林肯，如果你弄不明白‘证明’一词的含义，那你永远也当不了律师。”于是，我放弃了在斯普林菲尔德(美国伊利诺伊州首府)的工作，回到父亲的家里。直到我把欧几里得《几何原本》中的所有命题都弄明白了，并理解了“证明”一词的含义，我才回过头去继续学习法律。
格列佛完全赞同林肯的说法，他回应道：“一个人想要谈论某个事物，前提条件是他必须弄清楚该事物的定义。仔细研究欧几里得几何，就可以将那些欺骗和诅咒的废话清除一半，从而使世界摆脱一半的灾祸。我常想，只要美国宗教手册协会(Tract Society)推荐人们阅读，欧几里得的《几何原本》就一定会成为书目中的最佳图书之一。”格列佛告诉我们，林肯对此表示同意，并笑着说：“我投欧几里得一票。”
林肯就像遭遇海难的约翰·牛顿一样，在他人生的艰难时刻从欧几里得几何中寻求安慰。19世纪50年代，在众议院做了一个任期的议员后，林肯的政治生涯似乎画上了句号。为了谋生，他当上了一名提供巡回服务的普通律师。他之前担任土地测量员时已经掌握了几何学的基本知识，现在他打算填补这方面的不足之处。在乡下提供巡回服务期间，林肯和他的律师合伙人威廉·赫恩登住在小旅馆里，经常同睡一张床。在回忆林肯的学习方法时，赫恩登说在他酣然入梦后，林肯依然坐在床边，秉烛钻研欧几里得几何，直至深夜。
一天早上，赫恩登在办公室见到林肯时，发现他一副精神恍惚的样子：
他坐在桌旁，面前有厚厚的一沓白纸、一副圆规、一把尺子、多支铅笔、几瓶不同颜色的墨水，以及很多其他文具。显然，他正在绞尽脑汁地进行着大量计算，因为散落各处的纸张上写满了奇怪的数字。他深深地沉浸其中，我走进办公室时他连头都没抬一下。
过了大半天，林肯终于从桌旁站起来。他告诉赫恩登，他在尝试解决化圆为方的问题，也就是说，他要画出一个与给定的圆面积相同的正方形。在欧几里得几何中，“作图”是指只使用直尺和圆规两种工具在纸上画出某个图形。赫恩登清楚地记得，林肯整整两天都在钻研这个问题，“几乎到了精疲力竭的地步”。
人们告诉我所谓的“化圆为方”根本实现不了，但我当时没有意识到这一点，我怀疑林肯亦如此。他试图证明这个命题，却以失败告终。办公室里的其他同事认为他对这个问题会有些敏感，因此都小心翼翼地避免提及它。
化圆为方是一个非常古老的问题，我猜想林肯可能知道它那可怕的名声。长时间以来，“化圆为方”已经成了困难或不可能完成的任务的代名词。但丁在《神曲·天堂篇》中提到它时说：“就像几何学家使出浑身解数都无法化圆为方一样，我苦思冥想也不得其法。”在几何学的发源地希腊，如果有人蓄意增加任务的难度，他常会恼怒地指责道：“我可没有叫你化圆为方！”
人们尝试解决化圆为方的问题并不需要什么理由，它本身的难度和名声就是人们最大的动力。自古以来，有征服欲的人不断尝试解决这个问题，直到1882年费迪南德·冯·林德曼证明它是不可能的(此后，仍有少数顽固分子没有放弃。好吧，现在也不乏其人)。17世纪的政治哲学家托马斯·霍布斯对自己的智力充满信心(就算用“极度自信”也不足以形容他的自信程度)，他自认为破解了这个难题。根据他的传记作者约翰·奥布里的说法，霍布斯在中年时期十分偶然地发现了几何学：
在一间绅士图书馆里，欧几里得的《几何原本》第一卷不知被什么人翻开到第47页，霍布斯看到了上面的那个命题，并惊呼道：“天哪！这是不可能的！”于是，他阅读了这个命题的证明过程。证明过程提到了第二个命题，于是，他开始阅读第二个命题。然后，他又被指向第三个命题。经过这样一番论证，他确信第一个命题是真实的，自此爱上了几何学。
霍布斯不断发表新的尝试结果，还经常与当时英国的主流数学家发生冲突。有一次，一位记者指出霍布斯画的一个图形不太正确，因为他声称点P和点Q到点R的距离相等，但实际上两者之间有细微的差别，分别是41和41．012。霍布斯反驳说，他画的点足够大，如此细小的差异完全可以忽略不计。直到离世，他始终对外宣称自己成功做到了化圆为方。①
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