本书以生动有趣的文字，系统地介绍了从数的产生到微分方程的全部数学知识，包括初等数学和高等数学两方面内容之精华。这些知识是人们今后从事各种活动所必须的。书中为广大读者着想，避开了专用术语，力求结合日常逻辑来介绍数学。读来引人入胜，枯燥之感。从中不但可得益于数学，而且还可学到不少物理、化学、天文、地理等方面的知识。

远山启（1909－1979），1938年日本东北大学理学部代数学专业毕业。日本当代著名数学教育家，日本数学教育议会创办人、初代委员长，倡导改革传统的应试数学教育方式，创立“水管式教学法”“瓷砖指导法”等新式的数学教学方法。他在学术方面造诣很深，著述颇丰。著有《数学与生活》《无穷与连续》《现代数学对话》《函数论》等。

第1章 数的幼年期
1.1 从未开化到文明
1.2 数的黎明
1.3 一一对应
1.4 分割而不变
1.5 数的语言
1.6 数词的发展
1.7 手指计数器
1.8 金字塔
1.9 二十进制
1.10 十二进制
1.11 六十进制
1.12 定位与0的祖先
第2章 离散量和连续量
2.1 多少个和多少
2.2 用单位测量
2.3 连续量的表示方法
2.4 分数的意义
2.5 折叠和扩展
2.6 分数的比较
2.7 分数的加法和减法
2.8 乘法的扩大解释
2.9 乘减少，除增大
2.10 小数的意义
2.11 分数和小数
2.12 循环小数和分数
2.13 非循环小数
2.14 加减和乘除
2.15 数学和现实世界
第3章 数的反义词
3.1 正和负
3.2 新数的名称
3.3 负的符号
3.4 正和负的加法
3.5 减法运算
3.6 司汤达的疑问
3.7 乘法运算规则
3.8 与实际的联系
3.9 有理数的域
3.10 代数和
第4章 代数——灵活的算数
4.1 代名词的算术
4.2 代数的文法·交换律
4.3 结合律
4.4 分配律
4.5 方程
4.6 代数的语源
4.7 龟鹤算
4.8 一次方程
4.9 联立方程
4.10 矩阵和向量
4.11 矩阵的计算
4.12 联立方程和矩阵
4.13 奇妙的代数
第5章 图形的科学
5.1 两部长期畅销书
5.2 分析的方法
5.3 分析和综合
5.4 连接
5.5 全等三角形
5.6 公理
5.7 泰勒斯定理
5.8 驴桥定理
5.9 条件和结论
5.10 对称性
5.11 定理的联系
5.12 三边全等定理
5.13 捉老鼠的逻辑——反证法
5.14 脊背重合
5.15 垂直于平面的直线
5.16 平行线
5.17 三角形的内角
5.18 驴都知道
5.19 驴解决不了的问题
5.20 倒推法
5.21 与三点等距离的点
第6章 圆的世界
6.1 直线和圆的世界
6.2 神的难题
6.3 圆的四边形化
6.4 圆周角不变定理
6.5 面积
6.6 毕达哥拉斯定理
6.7 长度计算法
6.8 从触觉到视觉
6.9 相似和比例
6.10 相似的条件
6.11 五角星
6.12 五角星的秘密
6.13 有理数普遍存在
6.14 理数普遍存在
6.15 实数
第7章 复数——最后的乐章
7.1 二次方程
7.2 二次方程的解法
7.3 先天不足的数
7.4 复数
7.5 加法和减法
7.6 乘法和除法
7.7 正多边形
7.8 正五边形
7.9 高斯的发观
7.10 三次方程
7.11 卡尔达诺公式
7.12 数的进化
7.13 四则逆运算
7.14 代数学的基本定理
第8章 数的魔术与科学
8.1 万物都是数
8.2 数的魔术
8.3 恒等式
8.4 恒等式的计算法
8.5 求约数的方法
8.6 公倍数与公约数
8.7 素数
8.8 分解的唯一性
8.9 费马定理
8.10 循环小数
第9章 变化的语言——函数
9.1 变与不变
9.2 变数和函数
9.3 正比例
9.4 鹦鹉的计算方法
9.5 变化的形式
9.6 各种类型的函数
9.7 图表
9.8 函数的图表
9.9 解析几何学
9.10 直线
9.11 相交和结合
9.12 贝祖定理
9.13 圆锥曲线
9.14 二次曲线
第10章 穷的算术——极限
10.1 运动和穷
10.2 穷级数
10.3 穷悖论
10.4 没有答案的加法
10.5 一种空想的游戏
10.6 柯西的收敛条件
10.7 收敛和加减乘除
10.8 规则的数列
10.9 帕斯卡三角形
10.10 数学归纳法
10.11 高斯分布
10.12 阶差
第11章 伸缩与旋转
11.1 老鼠算
11.2 2倍的故事
11.3 数砂子
11.4 负的指数
11.5 分数的指数
11.6 指数函数
11.7 对数
11.8 连续的复利法
11.9 旋转
11.10 正弦曲线和余弦曲线
11.11 极坐标
11.12 正弦定理和余弦定理
11.13 海伦公式
11.14 永远曲线
11.15 欧拉公式
11.16 加法定理
第12章 分析的方法——微分
12.1 望远镜和显微镜
12.2 思考的显微镜
12.3 微分
12.4 流量和流率
12.5 指数函数的微分
12.6 函数的函数
12.7 反函数
12.8 函数的函数的微分
12.9 内插法
12.10 泰勒级数
12.11 最大最小
12.12 最小原理
第13章 综合的方法——积分
13.1 分析与综合
13.2 德谟克里特方法
13.3 球的表面积·阿基米德方法
13.4 双曲线所围成的面积
13.5 定积分
13.6 卡瓦列里原理
13.7 基本定理
13.8 不定积分
13.9 积分变换
13.10 酒桶的体积
13.11 科学和艺术
13.12 各种各样的地图
13.13 摆线围成的面积
13.14 曲线的长度
第14章 微观世界——微分方程
14.1 逐步解决法
14.2 方向场
14.3 折线法
14.4 落体法则
14.5 线性微分方程
14.6 振动
14.7 衰减振动
14.8 从开普勒到牛顿
14.9 积分定律和微分定律
14.10 拉普拉斯的魔法
14.11 锁链的曲线
附录
参考文献
后记

　　从前，数学的应用曾
经局限在一些特殊的人们
之间。对于多数人来说，
数学仅仅是作为考试及格
的必要科目，而在毕业以
后则嫌其无用很快就全忘
光了。 　　可是近来情况
有所变化，在各种场合都
开始运用数学了。不用说
自然科学或技术方面离不
开数学，即使在经济、政
治方面也离不开数学。至
于在企业的经营管理、商
品的销售上，为了能更有
发展，数学的作用就更大
了。对于不爱学数学的人
来说，诚然将数学视为世
上难学之事物，但若不学
数学，日子也并不会好过
。这是对于过去的那种不
从事政治、经济活动的人
来说的。至于当今世界将
向何处去，虽仍是专家们
在研究的问题，但毫无疑
问，人类生活将会逐渐地
走向集体化和社会化。因
而，数学的活跃时代也就
来到了。 　　在20世纪后
半叶，数学也许会获得从
未有过的广泛应用。不过
，这样的时代已经开始了
。掌握一定程度的数学知
识，是今后在世界上生存
不可缺少的条件。 　　没
有必要要求任何人都具备
很高的数学水准。对于20
世纪后半叶在世界上从事
各种活动的日本人来说，
本人认为可以按“到微分方
程为止”这样来划线。 　　
确实，如果能把“到微分方
程为止”这样的数学知识变
成日本人的常识，这将是
非常理想的。 　　这就是
写这本入门书的基本目的
。 　　对于读者的希望首
先是，在学习数学时，应
抛弃那种认为必须具备特
殊条件的成见。和其他科
学一样，数学也不是某些
专人所臆造出来的，而是
如漱石所言，是“左邻右舍
众多的人累积思考而成”的
。 　　在数学中运用的逻
辑与日常生活中表现的逻
辑并无二致，而是其精练
出的一部分。笛卡儿说过
：“世上的准则在于最公平
的分配。”从数学角度来考
虑，也是除了共同遵守的
准则以外，别无其他。因
此，为了学好数学，无论
是谁都要具备的共识就是
必须有毅力。毅力之所以
重要，是因为数学学识是
靠循序渐近、逐步累积得
来的，不可能一蹴而就。
无论如何，事先要下定一
步一步迈进的决心。 　　
因此，本书脱开众所周知
的那些术语的圈子，力求
从日常的逻辑中引出数学
的道理。 　　为此，也将
过去曾用过的一些专门术
语改变成容易学的日常用
语，如将分数的约分当作“
折叠”来处理就是一例。由
此看来，也许这是一本很
有人情味的“数学入门”书。
　　远山启 　　1959年10
月

数学是高等智慧生物的共有思维，是对真理的探索，对矛盾的怀疑，但它绝非一门晦涩难懂的学问，非应试目的的数学是纯粹而朴实的智慧。《数学与生活》为日本数学教育改革之作，旨在还原被考试扭曲的数学，为读者呈现数学的真正容颜，消除应试教学模式带来的数学恐惧感。
本书既包含了初等数学的基础内容，又包含了微分、积分、微分方程、费马定理、欧拉公式等高等数学的内容，作者运用了多个学科的知识，结合日常生活和东西方各国脍炙人口的故事，用通俗易懂的语言，将数学知识和原理一一呈现，犹如一本有趣的故事集。读者从中不但了解了数学的风貌，而且也能懂得数学与日常生活的密切联系，及其与物理学、化学、天文地理，乃至音乐、美术等学科的关联。
愿读者凭借此书发现数学的本原之美，发现美的本原源于数学。

后记
在所有的学问中，最易
受到人们关注的就是数学
。对数学既不爱好，又不
讨厌的所谓中间派并不多
。
数学是一门旗帜鲜明的
学问，根据对它的态度，
大致上可以把人们划分成
两大群体：爱好数学的属
于理科，讨厌数学的归为
文科。这正如使用石蕊试
纸来检验酸或碱，会明显
地呈现红色或蓝色一样。
然而这正是数学的不幸
。造成这种结果的一半责
任在于数学教育方面。导
致讨厌数学的基本原因，
可以说是把数学歪曲成了
艰涩难懂的学问。之所以
会这样，只要联系到从明
治维新以来历久不衰的激
烈的入学考试，就不难理
解。
坦率地说，入学考试的
真正目的就是要淘汰掉众
多的应试者。为此，就人
为地编造出了一大批难题
和怪题，以便使大批的普
通应试者落榜。
对于初学者们，要紧的
是不要被引入歧途，并当
心别落人这种陷阱。
由于直来直去、不拐弯
地解题会上当，所以使得
一些人不得不绕弯子来思
考问题。因此，苦恼于入
学考试的人们，认为数学
就是那种被歪曲了的怪学
问。但是，这是不对的。
数学本来是一门朴实的
学问。之所以变成艰涩费
解的样子，只不过是在入
学考试这块凹面镜中的歪
曲反映而已。
然而，我们打算强调的
正是这种朴实的数学的实
际作用。因为人们想出的
问题虽被歪曲了，但自然
产生的问题却自呈其本来
单纯的面目。
写这本书的目的之一，
就是要让大多数读者了解
数学本来的朴实面目。
为此，在本书中力求以
思考方法为重点，但也保
留了为使前后内容紧密联
系所必需的一些计算公式
。
因此，对于一见了公式
就感到头痛的人来说，如
果打算跳过这些算式来阅
读全书的话，恐怕就难以
掌握到真正的要领了。
这本书如果能使讨厌数
学韵人，在读了以后，把
讨厌的程度减少一部分的
话，作者将会感到极大的
宽慰。
远山启
1960年9月

数学本来是一门朴实的
学问，之所以变得让人费
解，只不过是在入学考试
这块凹面镜中的歪曲反映
二一。
——远山启

居住着人类的祖先北京猿人。从他们遗留下来的石器和动物的骨骼，可以大致知道他们从事什么样的劳动，吃什么样的食物。但是要推测他们懂什么数学就非常困难了。为什么呢？因为数这个东西是无形的，没有一种直接了解的线索。
但这并不是说就没有一种间接的线索，去了解人类在太古时期如何建立数字或图形的知识。这线索就是考察在文明进步中遗留下来的未开化人的数学，另外就是观察在幼儿当中，数的概念是怎样建立的。
首先产生的问题是，除了人类以外是否真有动物了解数？就像经济学家亚当。斯密说的那样：“数是人类在精神上制造出来的最抽象的概念。”确实，即使像1，2这样最简单的数，要是和其他语言相比较，也是很抽象的，除了人之外，其他动物好像还没有知道数的。
然而有人认为鸟知道数。例如，杜鹃悄悄把自己的蛋产到黄莺的巢里，让黄莺替它孵蛋，它会把和自己的蛋数相同的黄莺蛋去掉。从这个事实来看，人们自然会产生这样的疑问：鸟不是会数数吗？德国的动物学家奥’凯拉作了鸟能数到什么程度的试验。但是以往这种试验，由于准备不充分，结果难以信赖。从前也曾有过这样奇怪的事情——马戏团的马因为会计算而闻名，可仔细研究一下就知道，是马的主人在不知不觉中送出一个什么信号，然后敏感的马回应了这个信号。
凯拉为了防止一些杂音混进来，把小鸟放到院子里，让小鸟和实验者彼此都看不见，小鸟的动作用照相机自动拍下来。
实验对象就是乌鸦和鹦鹉。在鸟的前面放五个箱子（见图1—1），箱子盖上画着标记点，分别是2，3，4，5，6。箱子前面也放着画有标记点的盖子。预先让鸟作挑出与盖子上标记点相同的箱子的练习。经过充分练习之后，再让鸟作挑出同样数目的试验时，鸟能够出色地取得成功。而且即使把五个箱子的排列方法作各种变化或改变标记点的画法，
上面的试验是让鸟同时认标记点的个数。接着又作了按时间顺序数数的试验，先让乌鸦作这个练习，就是从许多食饵中按特定的数，例如取5个食饵来吃。取食的时候，摆好几个内部装有食饵的小箱，而顺序放入这些小箱里的食饵的数量是1，2，1，0，1，…。这个试验就是把箱子打开，让鸟只吃5个食饵。当吃的食饵少于5个时，就必定让乌鸦回笼子去。
这样一来，就会有惊人的事情发生。当鸟吃完装有一个食饵的第1陪以后，它就点一下头（见图l一2），吃完装有两个食饵的第2箱以后就点两下头，第8箱吃完点一下头，对空着的第4箱就不闻不问地跳过基，到吃完第5箱之后又点一下头，然后，据说脸上好像是“我吃完了’”的样子，对第6箱不予理睬就离开了。
点头的次数就是箱子里的食饵数，也许这是乌鸦预先记住食饵的数目，知道是不是够数吧。从这样的试验来看，会数数的不仅是人呢。我们人类的优越感就只好化为乌有了。
但是只凭这一点就断定鸟类知道数似乎还早了一些。为什么呢？这是因为要说知道数，必须有几个条件。我们看看这些条件吧。
P2-3