这是国际知名数学家、《微积分的力量》作者史蒂夫·斯托加茨献给高中数学老师的深情力作。对他们师生来说，微积分不仅仅是数学的一个分支，当人生的一切都在变化时，微积分是他们不变的、共同的热爱。乔夫里老师从职业生涯的鼎盛时期走向退休，参加激流皮划艇比赛时，失去了一个儿子，而学生斯托加茨从高中数学天才成长为常春藤盟校教授，父母突然去世，并陷入注定失败的婚姻……幸运的是，他们躲进了微积分的避风港。直到有一天，他们发现了比微积分问题更深奥且重要的东西……
超会讲微积分的数学家史蒂夫·斯托加茨，深情讲述与他的高中数学老师之间的非凡友谊，在他充满诗意和哲理的讲述中，读者会惊叹微积分竟然如此智慧温暖，它竟然能给我们带来如此深刻的人生哲思。

史蒂夫·斯托加茨（Steven Strogatz），美国康奈尔大学应用数学系教授、知名教师和数学家。他为《纽约时报》《纽约客》写作数学博客，也是美国科普电台、《科学星期五》的常驻嘉宾。他的主要代表作有《x的奇幻之旅》。他目前住在纽约伊萨卡。

中文版序 关于人生，我从数学中学到了一切
前言 比微积分更深奥的东西
第一部分 直线的青春岁月
第1章 人生没有断点
初识乔夫里
山羊与斐波那契数列
他成了我不可思议的啦啦队员
第2章 人生总是螺旋式的，也可能无解
典型的乔夫里式问题
我们能解的问题只是少数
第3章 改变参照系，你会变得很强大
爱因斯坦与他的相对论
写给乔夫里先生的第一封信
换个方式，不用对数螺旋又如何
第4章 发现自己，走出无理数人生
数学家们对根号 2 的好奇心
优雅强大的几何证明法
永不后悔的选择
第二部分 螺旋上升的职业生涯
第5章 位移一点点，关系更亲近
达到杰米·威廉姆斯传奇成就的途径
从“乔夫里”到“乔夫”
第6章 餐垫上的证明，一切源于分享
令人着迷的无穷级数
傅里叶级数与伽马函数
写在餐具垫上的公式
特别的“艺术”作品
第7章 人生总有相遇点
和尚与山
同一时间、同一地点的不同旅程
不寻常的问题，需要不寻常的方法
共同见证他教师生涯的最高成就
第8章 不可预知的随机选择
婚礼与葬礼
停留在浪尖的瞬间
违反直觉的三门问题
第三部分 非线性的人生感悟
第9章 极限与无穷，也许是人生的全部
波耶的神秘极限
尖峰的奇想
第10章 婚姻是种混沌
不可预测的生活走向
无穷乘积后柳暗花明
他告别了教育生涯
第11章 直线的路径并不是最快的
最速降线轨迹
生活处处有难题
第12章 人生就是相变转折的集合
生老病死，我们都避不开
30 年后，我才走近他的生活
第13章 时间总是推着你，这就是人生
快一点，再快一点
海伦公式，幸福在前方
76 岁老人的告白
译者后记

关于人生，我从数学
中学到了一切
《微积分的人生哲学
》一书能与中国读者见面
，我非常高兴，同时也深
感荣幸。
还记得，当我第一次
与美国的出版商谈及此书
时，他们中的很多人都既
好奇又担心。他们对我讲
述的故事梗概很感兴趣：
我与我的高中微积分老师
通信长达30多年，我们兴
致勃勃地讨论数学问题，
却很少分享生活中的事情
，直到有一天，我们发现
我们之间的友谊是如此深
厚，已经远远超越了微积
分。
出版商想知道的是我
能不能只讲故事而略去数
学。众所周知，读者害怕
一切与数学有关的事物，
因此出版商担心很多人会
害怕阅读一本满是方程与
符号的书。但实际上，数
学根本不是问题。读者可
以根据自己的知识背景要
么享受它，要么跳过它。
无论是哪种情况，大家都
会觉得这个故事很感人，
是献给老师的一份爱的礼
物。我希望你们也有同感
。
本书的大部分章节以
我或者我的老师生活里发
生的故事为开端，然后简
单介绍了我们着迷的数学
问题，再之后是对这些数
学问题的深入讨论。这些
讨论有些是从我们的信件
中摘录的，有些则是信件
的全文。
虽然书中可能有上百
个方程式，但你完全可以
跳过它们，这丝毫不会影
响你对故事脉络的把握。
当然，即使这些数学问题
对你毫无意义，你可能也
想看看它们。这些公式在
视觉上非常美，它们就像
艺术。
这些数学问题很多都
是我的老师乔夫里先生向
我求解的，都是他聪明的
高中学生提出来的，因此
只要有一点微积分基础的
人就可以看懂我的答案。
有复杂数学背景的读者会
看到信中没有任何深奥的
东西，尽管如此，我还是
希望你们能理解并欣赏其
中的研究精神。
在每一章中，你也可
以找到一些数学主题。我
希望这对那些想寻找新颖
问题来让平日的教学更生
动有趣的老师有所帮助。
史蒂夫·斯托加茨
于纽约州伊萨卡

这是一本用数学讲故事的智慧之书，颇具温度和哲思。
在这本师生共同写就的人生之书中，充满了两位数学家用数学视角面对人生种种变化的哲学智慧。它可能会改变你对微积分的态度：原来数学也能抚慰心灵、启迪人生。
这是一本对微积分爱好者和数学小白同样友好的神奇之书。
这是一本感人至深的友情传记，也是一本关于头脑和心灵的数学书，这个关于改变的故事，如同微积分本身一样有着丰富的数学含义。
喜欢微积分的人会被书中讨论的数学问题迷住；不喜欢数学的人会被隽永的师生故事深深打动，还是会喜欢上数学。

“学好数理化，走遍天
下都不怕。”毫无疑问，
数学很重要，但我一直对
它敬而远之。因为我曾经
接受的数学教育让我有两
点感受：一是难，二是这
些艰深的数学在生活中几
乎用不到。然而翻译这本
书让我改变了对数学的看
法。首先，数学可以很有
趣。比如人在前面走，狗
在后面追，怎样用数学的
方法描述狗的追赶路径。
其次，数学是为了解决问
题而生的。不是为了把人
难倒。最后，原来数学不
只是思维的体操．也是一
种哲学，是一种人生观。
本书中多数章节的题目都
是数学里的问题，而这些
问题也同样存在于个体的
成长过程当中。例如，当
人人都说你应该当医生的
时候，你就去学医而不管
自己真正的兴趣所在，用
数学的语言来说就是无理
性。此外我们常常强调要
换位思考，这样才能更好
地理解他人．进而达到人
际和谐的处世之道，其实
这也是数学中相对性（共
情）的体现。
这本书的核心是师生
友谊，一段长达30年的友
谊。在师生关系淡漠的今
天，这种友谊弥足珍贵、
令人羡慕。亦师亦友，我
想，这是理想的师生关系
。
怎样做才是一位完美
的老师？本书给出了与我
们传统意义中的“苦行僧”
式的老师完全不同的答案
。乔夫里先生从教49年，
教学充满热情，得到同行
、家长和学生的一致认可
。他爱好广泛，划皮划艇
、弹钢琴、做木工活儿。
还画卡通。他既生活得多
姿多彩，也工作得有声有
色，而反观中国的很多优
秀老师似乎只能是奉献型
的，他们为学生、为工作
往往放弃了自己的生活。
工作与生活的对立是不是
必然的呢？值得思考。
由于书中涉及大量数
学专业知识，在翻译过程
中可能存在不准确、不贴
切甚至是错误的地方，敬
请读者批评指正。我的研
究生钱玉娟、鲁成、蓝艳
玉、韩雪强、吕绍爱、李
响及陈朝珍参与了本书的
部分初译工作。在此向他
们表示诚挚的谢意！

大学一年级的那个春
天，史蒂夫·斯托加茨开
始与他的高中数学老师乔
夫里通信，也许是信中那
些关于微积分问题的热烈
讨论，成就了师生真挚的
友谊。在《微积分的人生
哲学》中，斯托加茨深情
讲述了这段师生交往故事
，这是一段建立在共同的
热爱和梦想基础上的友谊
，更是对微积分和人生之
间的哲学相似性的思考。
难得的是，你还可以从字
里行间感受到他们的个性
和幽默。
——《科学》
数学家史蒂夫·斯托加
茨在书中分享他与高中数
学老师三十多年来交往的
信件，诠释了一种感人至
深的师生关系。他们在信
中讨论微积分、混沌理论
等数学问题，也谈论彼此
事业与家庭中的那些人生
大事。从学生到教授，从
教学到退休，在师生二人
人生角色的转变中，一个
动人的友谊故事跃然纸上
。
——《自然》
本书既可看作传记，
又可作为一部与众不同的
微积分指南。微积分是牛
顿用数学模拟变化的精妙
发明，它还是斯托加茨和
乔夫里之间通信的主题和
对人生的隐喻。这数十年
来几乎完全聚焦于解决微
积分问题的通信交往，勾
勒出了一位老师和他的天
才学生之间伟大的友谊，
而其中涉及的数学问题也
令人印象深刻。史蒂夫·
斯托加茨用一个数学家严
谨的科学精神和科学畅销
书作家清晰流畅的文笔，
带领我们游览了一些特别
的数学景点，此前，这些
景点并不为大众所熟知，
甚至只对“会员”开放。
——《美国科学家》
对于复杂的定量概念
，没有比史蒂夫·斯托加
茨更好的英语阐释者了。
他的工作是如何普及数学
的一个典范。
——《哈佛商业评论
》

微积分如同电影，把现实想象成一系列快照，然后再把它们按照时间和画面顺序重新组合起来，将这些无法觉察的变化连续起来，带给人一种无缝衔接的错觉。
微积分是以连续性为基础而蓬勃发展起来的学科。其核心假设是：事物都在平缓地发生变化，任何事物都与其此前的一刻有着无限小的差异。
没有微积分，现代生活寸步难行。这种理解变化的方式是强大的，并且超越了任何语言，这可能是迄今为止人类最伟大的想法之一。微积分让我们能够到月球去旅行，以光速来交流，在宽达数百千米的河面上架桥，还能有效阻止疫情的扩散。
但微积分又是简单质朴的，类似于孩童般的纯真。经验告诉我们，变化可以是突然的、不连续的和螺旋式的。但微积分并不考虑这类变化，它坚持世界是没有任何意外的，在这个世界里，事物之间均存在逻辑联系，一件事必然会导致另一件事的发生。只要给出初始条件以及运动定律，就能预测未来，甚至可以重构过去。
我多希望现在就能这样做。但遗憾的是，我与乔夫里先生的书信是断断续续的。有的信被弄丢了或扔掉了，那些保留下来的则是让人难以辨认的片段和情感。有时它们只讲述了部分事实，有些则拨云见日，当然也有一些内容是有意略去的。
初识乔夫里
那是1974年，在我高二下学期的时候，我选修了约翰逊先生开设的“微积分基础”课程。约翰逊先生毕业于麻省理工学院，年纪在35岁到40岁之间，他个子很高，人也十分严厉，不苟言笑。
我的一些朋友在乔夫里先生的班上学习同样的课程。那时我没有跟乔夫里先生说过话，对他所知甚少。学校里有很多关于他曾获得皮划艇全国冠军之类的传说。他是那种光看外表就会给人留下深刻印象的人——健硕的胸肌、肌肉发达的手臂和腿，头发剪得非常短。
当我们学到一个在微积分中非常基本却难以理解的定义，即有关连续性的严谨定义时，约翰逊先生讲了一些我之前从其他任何一位老师那儿都没听说过的话，他说他要给我们讲一些我们不会理解却必须学习的概念，这让我有不祥的预感。他提到用ε－δ语言定义函数的连续性：
他说：“我们在学习过程中会遇到这个定义4～5次，且每一次都会加深对它的理解。虽然万事开头难，但总要有第一次，所以让我们开始学习吧！”
如他所言，我们班的同学在理解用ε－δ语言定义函数的连续性的逻辑时遇到了很多困难。后来我们听说乔夫里先生在他们班讲这个问题时所用的方法完全不同。他根本没有尝试去解释ε和δ，他说，一个连续函数就好像你在纸上画图，你的铅笔始终不离开纸面，那它就是连续的。
这让我学到很多。直观来讲，那确实是“连续性”的意义。它触动了我，以我高中二年级的理解能力，这种直观的讲解方式的确比较简明易懂，但同时也回避了难点。我也因此开始对乔夫里先生的能力产生了怀疑，也许他并不像其外表那样强悍。我庆幸自己选修的是约翰逊先生的课。
第二年，乔夫里先生成了我的老师。现在我可以近距离地打量这个男人了。他整洁的外表再次给我留下了深刻印象。他的手是我握过的最大的手，完全把我的手包住了。每当他在黑板上写字时，每一笔都会让粉笔化成粉末，结果粉尘和粉末漫天飞舞。上完课，他的身上就落满了粉笔灰。
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