自公元前6世纪古希腊数学家泰勒斯把逻辑推理引入数学以来，人们就一直在探索，如何把由经验而得到的数学知识用一个公理系统来表示。因为这些由经验得到的数学知识有时并不可靠，公元前4世纪，欧几里得解决了这一问题，并构造了初等几何公理系统。19世纪，希尔伯特进一步完善了欧几里德的初等几何公理系统，并奠定了现代数学的公理化方法的基础。20世纪以来，以布尔巴基学派为代表的数学家们，基本完成了对大多数数学分支的公理化，在整个数学界建立了一个构成严谨而又优美和谐的演绎体系。数学公理化的目的，就是把某一数学问题表述为一个演绎系统。这个演绎系统的出发点是一组基本概念和基本命题：基本概念是对数学实体的高度纯化和抽象，基本命题则是对基本概念相互关系的制约和规定。目前，我们现行通用的数学教材，都是根据一定的公理化要求形成的演绎体系编写而成。尽管如此，由于受到历史遗留问题的影响，特别是受到人类对数学认识局限性的影响，仍然有许多问题困扰着我们。本书主要针对其中极小一部分数学问题进行探究，例如为什么对“集合”的概念不加定义，为什么设两个函数定义等，试图从数学的产生与发展、人们对数学的认识以及数学的公理化、教学的逻辑等角度进行探讨。