你以为无解的方程组真的无解吗？
维特根斯坦说：“数学是各式各样的证明技巧。”
如何用数学重新求证我们的人生？
小到电饭锅为什么不会糊底，筷子夹不起来豌豆怎么办；大到如何更好地与他人相处，如何选择自己的职业。这些看似与数学无关的问题其实都蕴含着深刻的数学思维。
勤能补拙的大数定律、权衡利弊的稀疏概念、貌合神离的条件独立、精益求精的数值解法、体现中庸之道的最小二乘法……数学公式和算法背后的智慧帮助我们更好地看清这个世界，并在遇到问题时提供更科学的视角，帮助我们做出更好的决策。很多事情的最终结果是我们不能预见的，但是，这个结果发生的概率是我们可以靠努力提高的。
《心中有数》教你像电脑的处理器一样，快速、深层地剖析事物的“利与弊”，在接受不完美的前提下，通过数学思维权衡多方的利益，找到最佳的解题点。人生其实就是一个不断寻找最优解的过程，愿你《心中有数》，行之有方。

刘雪峰，北京航空航天大学计算机学院副教授，博士生导师。2008年毕业于英国布里斯托大学，获博士学位。主要研究方向包括线性代数、信号处理、人工智能等。先后主持多项国家自然科学基金面上项目，参与国家科学基金重点项目。在国内外期刊和国际会议上发表学术论文70多篇。2018年荣获高等学校科学研究优秀成果奖（科学技术）二等奖，在多个国际会议上获得最佳论文奖。
执教的“小波信号与系统”在学院的课程评教中，以满分的成绩荣获全学院第一名。

思维篇 用理性思维看待世界
第1章 平静接受现实，努力改变概率
第2章 不要高估“解释”而低估“预测”
第3章 三个臭皮匠，未必顶得过诸葛亮
第4章 频繁的小确幸与偶尔的大幸福
第5章 深层剖析“利与弊”
第6章 世界是稀疏的：复杂现象背后的简单规律
第7章 看似相关，实则独立：条件独立带来的启发
第8章 空气净化器与卡尔曼滤波器
方法篇 解决难题的策略和技巧
第9章 稳定与跃迁：负反馈与正反馈
第10章 什么才是好的设计：找准底层更重要
第11章 模仿：抓住本质，摆脱限制
第12章 何时守成，何时冒险：看基础概率
第13章 “执两用中”的智慧：最小二乘估计给出的解释
第14章 精益求精与步步为营
第15章 变换的思维：问题不好解决，那就变换事物的形态
第16章 模拟退火算法：为什么年轻时应该多去闯闯
学习篇 如何学习和表达
第17章 怎样读书看报才能进步最快
第18章 好的学习方法论：机器学习模式给我们的启发
第19章 如何清晰地表达一件事：矩阵的奇异值分解的启发

我上大学时学的是自动
控制专业。了解这个专业
的人也许知道，自动控制
专业的基础课程覆盖面很
广，涉及很多学科，内容
多而杂。一次和数学相关
的基础课上的经历让我至
今记忆犹新。上课铃声一
响起，老师就认真地从头
开始在黑板上推导一个公
式。这个公式比较复杂，
老师用了整整两节课的时
间，推导过程写满了几个
黑板；下课时，却发现最
后的结论和书上的不一样
。老师和我们说：“同学们
别着急，下次上课我再给
大家重新推导一遍。”
这一经历可能并不多见
，但是一些大学生可能会
有这种感受：拿到一本教
科书，上面的每个公式都
有密密麻麻、严谨的推导
过程，一眼看上去令人生
畏。为了看懂这个公式，
你硬着头皮仔细研读每一
步推导过程，然后自己拿
笔试着推导好几遍，直到
最终将公式推导出来才感
到心安。你会想：“我已经
把这个公式推导出来了，
应该理解这个概念了。”
你的心里除了涌起受挫
感，应该还会不时冒出一
个个疑问：“这个公式到底
有什么用？它能够帮助我
解决生活中的什么问题？”
最后你可能会冒出这样一
个念头：“我真的理解这个
概念吗？”
很可惜，在大多数的时
候，我们都无法找到上面
这些问题的答案。于是成
功推导出公式除了能让我
们通过考试，只给我们带
来了“我应该理解了这个概
念”的安慰。大部分人会一
直带着这些未被解答的疑
惑，在考完试之后迅速把
这些数学公式忘得干干净
净。
有的人认为，数学是数
学，生活是生活。数学的
概念只是那些书本上的公
式，这些公式属于数学家
们，和自己没有任何关系
。就像朱自清在《荷塘月
色》里写的那句话：“但热
闹是它们的，我什么也没
有。”
如果我告诉你，很多数
学概念的背后都闪耀着智
慧的光芒，这些智慧能帮
我们更好地看清这个纷繁
复杂的社会，并能够帮助
我们在生活中做出更好的
决策和行为，你相信吗？
也许你会质疑：“什么，
数学公式还能帮我们解决
生活问题？你不是在开玩
笑吧。”
如果你有这种疑问，也
许下面“最小二乘估计”“病
态方程组”等案例，会让你
改变对数学的看法。数学
中有一种算法叫作“最小二
乘估计”。数学家高斯，曾
经用最小二乘估计准确预
测出了一颗行星的位置。
但是如果你只是背下最小
二乘估计的公式x=（ATA
）-1Tb，或者只会套用这
个公式来解一些书本上的
问题，那么你就没有体会
到最小二乘估计背后的智
慧。
通过最小二乘估计找到
的解，不力求让少数方程
完全成立，而是让所有方
程左右两边的误差之和最
小，它背后体现出来的思
想，是做事情不追求绝对
完美，而是在接受不完美
的前提下权衡多方利益，
找到最佳平衡点。这其实
和孔子推崇的“中庸之道”，
或者“执两用中”的智慧不谋
而合。
又比如，在数学中，有“
求导法”和“数值解法”这两
种解法，它们实际上对应
我们生活中解决问题的两
种思路。用“求导法”来找到
函数的极值，可以分为三
步：（1）求导数，（2）
令导数为零，（3）找到该
方程的解。每一步都不能
出错，最终才可以得到答
案。这种模式对应一个成
语：“步步为营”。它要求每
一步都力求完美，把整个
流程走完才能得到想要的
结果。“数值解法”则对应另
外一个成语：“精益求精”。
它并不要求在每一步做到
最优，而是迅速走完一轮
，然后在本轮结果的基础
上迭代，反复多轮，不断
提高，最后也可以得到一
个好结果。“精益求精”模式
不仅与产品开发、项目管
理中的“敏捷模型”相对应，
也与互联网公司经常说的“
小步快跑，快速迭代”相对
应，意指“完成比完美更重
要”。
又比如，在线性代数中
，有一个概念叫作“病态方
程组”，即一个线性方程组
y=Ax 中y和A的轻微变化
会导致解x有极大变化。
但如果你仅仅知道病态
方程组这个概念，就错过
了这个概念背后的智慧：
方程组中的每条直线，实
际上代表一个视角，而直
线的交点，就是从多个视
角达成的共识。病态方程
组这个例子告诉我们，如
果多个人想通过交流的方
式达成共识，了解某个事
情背后的真相，那么这些
人最好有不同的视角。一
旦视角太接近，那么这些
不同视角交叉得到的共识
，会对噪声极为敏感。一
点点噪声，都会对最后的
结果产生极大的影响，这
就是所谓的“失之毫厘，谬
以千里”，也是“多样性红利
”的数学解释。
在计算机科学中，有一
个算法叫作“模拟退火算法”
。模拟退火算法可以帮助
我们通过逐步迭代，找到
某一个函数的最优解。如
果你只会简单地应用这个
算法来解决函数的极值问
题，就错过了这个算法背
后闪耀的智慧。
在我看来，人生其实就
是一个寻找最优解的过程
，我们总是通过不断努力
提升自己，在最后达到自
己可能达到的最高位置。
而模拟退火算法告诉我们
，一个人在年轻的时候，
应该让自己充分探索，接
受暂时的不完美，从而避
免陷入局部的最优值，并
在将来攀上一个更高的山
峰。而到了一定阶段，知