戴维·达林与阿格尼乔·班纳吉是一对合作默契的师生。戴维是科学作家，有化繁为简的能力，讲述平实又不失风趣；阿格尼乔曾获国际奥林匹克数学竞赛第一名，现就读于剑桥大学，充满探索的热情，正向自己喜欢的学术高峰攀登。
二人带着对数学世界的好奇心和通俗写作的责任感，用悖论、概率、四维等经典主题，展示了奇妙现象背后那些古怪有趣、具有挑战的数学逻辑，并将数百年来数学家接力探索的过程融入其中。
直到今天，数学前沿的拓荒者仍在不断探索，延续着一场人类超越自身的知识大冒险，而所有这些智慧成果，都与我们熟悉的世界和未来息息相关。

戴维·达林，1953年生，曼彻斯特大学天文学博士、科学作家、音乐家。著有《永恒的方程》等50余部作品，涵盖宇宙学、物理、数学以及哲学等领域，并主持个人线上栏目“戴维·达林的世界”20多年。
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前言
致读者
第一章 现实世界背后的数学
第二章 如何看到四维世界
第三章 概率很奇妙
第四章 混沌边缘的秩序
第五章 奇妙的图灵机
第六章 太空音乐
第七章 神秘的质数
第八章 棋局能否破解？
第九章 何为真，何为假？
第十章 无法抵达的彼岸
第十一章 最大的数
第十二章 弯曲、伸展，怎么样都可以
第十三章 人与神的界限
致谢

数学是人类精神能创造
出的最美丽、最有力量的事
物。
——斯特凡·巴拿赫
当你深入了解万事万物
，你会发现数学无所不在。
——施克里特院长
数学是奇怪的。在数学
世界里，数字可以无限增长
——“无限”还可以有诸多不
同的形式。质数可以帮助蝉
生存下来。一个（数学上假
想的）球可以被“切割”，再
“重组”成原来的两倍甚至几
百万倍大的球，并且没有任
何空隙。有一些形状，其分
数维数和曲线能足足填满整
个平面。在听一次沉闷的讲
座时，物理学家斯坦尼斯瓦
夫·乌拉姆写起了数字。他
从0开始，按螺旋方式书写
，然后圈出了所有的质数，
发现大部分质数位于一条长
对角线上——这个事实至今
还没有被充分地解释。
我们常遗忘数学的奇妙
，因为我们习惯把数学等同
于在学校和日常生活中用到
的数字计算。但出人意料的
是，我们的大脑很擅长数学
思维，如果我们愿意的话，
也能够完成十分复杂和抽象
的数学计算。毕竟，早在几
万年或几十万年前，我们的
祖先无须解微分方程和学习
抽象代数，也能活得足够长
，并把基因传给下一代。当
他们寻找下一顿饱腹之餐或
栖身之所时，沉思高维几何
或者质数理论也没有任何帮
助。但事实上，我们的大脑
生来就有潜力去做这些事，
并且随着时间流逝，还会发
现数学宇宙中越来越多的真
理。进化给了我们这项技能
：但这是如何给的，为什么
？为什么我们人类如此擅长
做一些看起来只不过是智力
游戏的事情？
数学其实与现实生活深
深交织在一起。挖掘得足够
深，我们就会发现那些看似
构成物质或能量的细小单位
（例如电子或光子）其实是
非物质性质的概率波，而我
们得到的只是一些“幽灵似
的名片”——形式略复杂但
很美丽的数学方程式。某种
程度上，数学支撑着我们周
围的物理世界，构建了一个
隐形的基础设施。但数学又
超离现实，进入可能性的抽
象领域，也许永远在进行纯
粹的思维练习。
在本书中，我们介绍了
数学中一些不同寻常又妙趣
横生的领域，包括那些即将
出现的令人兴奋的新发展。
某些情况下，它们与科学技
术有些联系，如量子物理学
、宇宙学、量子计算机学等
等。在其他情况下，它们迄
今还是对纯数学领域的研究
，纯粹是对仅存在于头脑中
的陌生世界的冒险。对这些
内容，我们不会因为复杂抽
象就选择回避。在向普通读
者解释数学时，一个极大的
挑战便是数学和现实生活距
离太远。但最终，我们相信
总能找到一些办法，将今天
数学前沿领域探索的拓荒者
们所做的事与熟悉的世界联
系起来，哪怕我们的描述做
不到像学者理想选择的那样
精确。也许可以这样说，有
些事情不论如何复杂晦涩，
如果不能通过合理的解释让
一个正常智力的人理解，那
解释的人就要去提升自己的
理解水平了。
这本书的写作有点不同
寻常。我们中的一位作者（
戴维）曾从事科学书籍写作
达三十五年，写过许多关于
天文学、宇宙学、物理学及
哲学的书籍，甚至还写过趣
味数学百科。另一位作者（
阿格尼乔）是才华横溢的年
轻数学家，IQ超过162的神
童。在写本书时，他刚刚在
匈牙利完成2017年国际数
学奥林匹克竞赛的备战。从
十二岁开始，阿格尼乔就在
戴维那里学习数学和科学，
三年后我们决定一起写这本
书。
我们坐在一起构思要涉
及的话题。例如戴维想到了
关于高维空间、数学哲学、
音乐中的数学等，阿格尼乔
则非常想介绍大数（他的兴
趣领域）、计算法和质数等
。从一开始我们就决定选择
数学最不寻常、最奇特的一
些领域来入手，并尽可能地
与现实世界的问题及日常经
验联系起来。我们还约定不
因为某些话题晦涩难懂就回
避它，而把它看成某种“真
言”，你如果不能用通俗的
语言去解释，那就是没有真
正理解它。戴维主要负责各
章的历史、文化和轶事方面
，而阿格尼乔的主要精力更
多放在技术层面。阿格尼乔
对戴维写的部分进行事实核
查，然后由戴维将各部分内
容组合成书。这样的合作非
常顺利！我们希望你能喜欢
面前这本书。

BBC《科学焦点》杂志年度最佳数学图书！
奥数满分学生×宝藏老师·联袂探索思考的乐趣！
学生12岁随老师学习数学，18岁获国际奥数竞赛第一名。
老师涉猎广博，上知天文下晓音乐，善于发掘学生天赋。

我最近看得最久、最入
迷的一本书。它谈论的都是
有关这个世界最神秘迷人的
现象。语言通俗流畅，娓娓
道来，能让外行人也对数学
产生强烈的喜爱。
——童行书院创始人 郝
景芳
在这次充满灵感的合作
中，一位年轻的数学天才与
一位受欢迎的科学作家联手
，展示了数学世界的新观点
。师生一起无畏地探索了当
今数学领域最奇怪和最美妙
的一些话题。
——旧金山大学教授 约
翰·斯迪瓦

第一章 现实世界背后的数学
奇怪的事情每天都在发生；也许最为奇怪的是，人类，这样一个与类人猿接近的物种，究竟是如何掌握数学这门学科的。
——埃里克·坦普尔·贝尔《数学的发展》
物理是建立在数学之上的，这并不是因为我们对物理世界有多了解，恰恰相反——我们了解的物理世界仅仅是它们的数学特征。
——伯特兰·罗素
过去的十万年，智人的智力并没有多大的改变。如果我们将孩子们从披毛犀和乳齿象仍然在地球上奔驰的年代带到现代的学校里，他们会成长得和典型的21世纪小孩一样好。他们的大脑能够吸收算术、几何及代数知识。如果他们愿意，还可以继续钻研，也许有一天会成为剑桥或哈佛的数学教授。
我们的神经构造让我们进化出了做高级计算的能力，以及理解集合论和微分几何学这类概念的能力。早在这些能力还没有使用时，就已准备好了。事实上，我们为什么具备这种与生俱来的高等数学潜力，它又没有什么显而易见的生存价值，这有点神奇。与此同时，拥有其他对手没有的智力、逻辑思考能力、提前计划和做假定推测的能力，也是我们这个物种能出现并延续下来的原因。我们的祖先没有其他动物的生存特长，例如速度和力量，只能被迫依靠智慧和远见来生存。逻辑思维能力成为我们一项强大的超能力，并由此逐渐发展出以复杂方式进行交流，用符号表示并理性地理解我们周围的事物的能力。
像所有的动物一样，我们在运动过程中实际上做着许多数学计算。如接球这样简单的动作（或躲避天敌和抓捕猎物）需要同时对各个方程进行高速求解。如果我们要一个机器人编制程序来做同样的事，计算的复杂性就会变得清晰。但人类的强大在于从具象转向抽象的能力——情境分析、假定推测和提前计划。
农业的出现需要人们准确地追踪四季变化，贸易和定居社区的出现则意味着要进行交易和记账。出于日历和商业交易这两项实际需求，人们必须发展出某种测量和计算，初等数学就这样产生了。其中一个产生数学的区域是中东。考古学家发掘的苏美尔人黏土交易代币可追溯到公元前8000多年，上面展示出苏美尔人已经在使用数字的雏形。但在早期，苏美尔人似乎并没有把这个概念与被计数的东西区分开来，他们用不同形状的代币来表示不同的物品，例如羊或油罐。当双方有许多代币进行交易时，代币封存在被称作“印玺”的容器中，只有打碎了才能看到里面有多少。逐渐地，人们会在印玺上标记出里面代币的数量。这种符号表现形式逐渐演变为一种书写的数字系统，而代币被广泛用来计算任何物品，最终演变为一种早期货币形式。同时，数字的概念从被计数的物体类型中抽离出来，例如5就是5，无论是指“5只羊”还是“5片面包”。
在这个时期，数学和日常生活的联系似乎很紧密。对农民和商人而言，计数和记账是非常实用的工具，既然这些方法有用，谁还管这一切背后是什么原理呢？简单的算术看起来是深深根植于我们的世界中的：一只羊加一只羊等于两只羊，两只羊加两只羊等于四只羊。没有比这更简单的事了。但是再仔细观察一下，我们就会发现有一些奇怪的事情发生了。在计算“一只羊加一只羊”的时候，我们假设两只羊是一样的，至少在计算时它们的任何差异都不重要。但事实上，没有两只羊是一模一样的。我们所做的是从羊身上抽象出它被感知到的特征——“同一性”和“分离性”——然后再用另一种抽象来处理前述的特征，我们称之为加法。这就迈出了一大步。在实际生活中，将一只羊与另一只羊相加可能意味着把它们放在同一片草地上。但实际上，它们是不同的羊；再仔细想想，我们对于“羊”的定义——就像世界上其他东西一样——并不是真的与宇宙中的其他部分分离开来。除此之外，尽管我们可以说出羊的一些特性，但物理学告诉我们，这不过是一些非常复杂的分子的暂时组合，还有一个事实令人稍稍感到不安，那就是我们认为是物体的东西（比如羊），是进入我们大脑的感官信号构建出来的，并且处在不断变化之中。然而在数羊时，我们选择不去考虑这些巨大的复杂性，更确切地说，在日常生活中甚至都意识不到它们。
在所有学科之中，数学是最精确、最稳定的。科学和人类在其他领域探索到的充其量是对理想的无限接近，并且总在随着时间不断改变。正如德国数学家赫尔曼·汉克尔所说，“在大部分学科中，一代人会推翻另一代人的成果，而一代人建立起来的又被另一代人推倒。只有数学，是每代人都在旧的结构上增加一段新的故事”。从一开始，数学就与其他学科有着难以避免的区别，因为数学始于我们大脑对事物的抽象理解，我们将这种理解视为事物不变的本质。在此基础之上，产生了自然数的概念，它是衡量数量的一种方式，也产生了数量组合的方式——加法和减法。我们认为，无论事物怎样不同，它们都可以被计算为“一个/两个/三个……”。因此，数学从一开始就具有这样永恒不变、坚不可摧的特征，而这也是它的巨大力量所在。
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