理解数学需要具备一种纯粹的感觉，即“数感”。本书为日本数学家、菲尔兹奖与沃尔夫奖得主小平邦彦先生的思想随笔文集，书中收录了小平邦彦先生对数学、数学教育的深思、感悟文章，记述了数学家对“数学”“数感”的独到理解，文笔幽默，深入浅出。同时，书中还辑录了小平邦彦先生在普林斯顿高等研究院时期，与赫尔曼？外尔等数学大家交流的趣闻轶事，对深入理解数学、数学教育具有深刻启示。

小平邦彦（Kunihiko Kodaira，1915-1997），日本数学家，生前被选为日本学士院院士、美国科学院和德国哥廷根科学院外籍院士。先后在美国普林斯顿高等研究院、哈佛大学、约翰斯·霍普金斯大学、斯坦福大学、日本东京大学等任教授，在调和积分理论、代数几何学和复解析几何学等诸多领域做出了卓越贡献。1954年获菲尔兹奖，1957年被日本政府授予文化勋章，1984年获沃尔夫奖。著有《微积分入门》《复分析》《复流形理论》等。

第一章
数学笔记
数学印象
一位数学家的妄想
数学的奇妙
发明心理学与平面几何
学术交流——围绕数学世界
科学、与人类进步
第二章
长此以往，日本将陷入危险之境
忘却原则的初等、中等教育——为什么、为了谁如此着急
对“新数学”运动的批判
什么扭曲了数学教育
令人费解的日本数学教育
第三章
忆往昔
回顾与……
愈发难懂的数学
回忆普林斯顿
约翰斯·霍普金斯大学
赫尔曼·外尔老师
关于沃尔夫奖
数学是什么
第四章
来自普林斯顿的信件
写给21世纪的主人

1949年8月，我应普林
斯顿高等研究院的赫尔曼·
外尔（HemarulWeyl）教
授之邀赴美，离开了当时
满目疮痍的东京。最初的
计划是在普林斯顿高等研
究院逗留一年，次年返回
日本。不料留美时间延长
，第三年又邀请家人赴美
，一住就是18年。1967年
8月返回日本后，我偶尔会
写些随笔文章，参加演讲
，本书即这些随笔文章和
演讲记录的文集。
这本文集中，唯一的例
外内容是《来自普林斯顿
的信件》。当时在东京，
人们都住在建于废墟之中
的棚屋里，三餐粮食紧缺
。然而，当时的美国治安
良好、物价便宜，对于初
来乍到的我来说，是一个
极其美好的国家。刚开始
我不太会讲英语，不过普
林斯顿高等研究院配有优
秀的秘书，无需我过多解
释，秘书即可明白我的心
思，并且麻利地帮我将所
有事务处理妥当，这一切
都让我误以为自己住进了“
精灵之国”。《来自普林斯
顿的信件》便是旅居“精灵
之国”的我给远在日本的妻
子寄去的家书，当然其中
删除了个人隐私以及谈论
他人等不合适的内容。
1975年i0月30日、31日，
日本通商产业省（现经济
产业省）和机械振兴会协
力召开了历时两天的国际
研讨会“产业与社会一推动
进步的条件”。《科学、技
术与人类进步》这篇文章
记录了我当时在会上发表
的演讲。那时候尚未为人
熟知的“核冬天”假说已经表
明了人类正面临着灭绝危
机。我在本书《科学、技
术与人类进步》一文的“备
注”部分补充了这方面的相
关内容。
1982年年底，我参加了
日本中央教育审议会教育
内容等小委员会的讨论并
在会上提出个人意见，《
忘却原则的初等、中等教
育》是对当时所提意见的
详细说明。这篇文章的＂
补充部分”则为1985年8月
，我在“数学教育大会”上的
演讲的重点内容。
1955年，我的大女儿在
普林斯顿上初中时，不幸
被编入了使用SMSG
（SchoolMathematicsStud
yGroup，学校数学研究小
组）教材．的“新数
学”（New Math）运动·教
育实验年级。以“新数学”运
动为首的数学教育现代化
理念，随即开始在全世界
范围内流行。在美国，只
有一部分的数学家和教育
学家在推广数学教育现代
化理念，而绝大部分的数
学家对此表示反对。然而
不知为何，绝大部分的反
对声音并未传入日本。进
入20世纪40年代后，日本
文部省的指导纲领大规模
引进现代化理念，日本的
小学也开始讲解集合论知
识。因为我经常辅导女儿
的“新数学"课程的作业，也
由此亲身体会到数学教育
现代化理念的愚蠢，所以
只要有机会，我便会写一
些随笔文章来批判数学教
育现代化。本以为日本文
部省既然认定了数学教育
现代化理念，短时间内也
不会改变方针。然而，20
世纪50年代，日本文部省
修改了指导纲领，大幅减
弱了数学教育现代化改革
的力度。因为日本的数学
教育现代化改革并不是依
附于一种坚定的信念，只
不过是追赶美国的流行而
已。虽然数学教育现代化
改革被及时修正，但被数
学教育现代化改革驱逐出
数学教材的欧几里得平面
几何却再也无法重获新生
。这也许是数学教育现代
化理念带来的最致命的后
遗症。我在本书的第二章
选录了《对“新数学”运动的
批判》《什么扭曲了数学
教育》和《令人费解的日
本数学教育》三篇随笔，
以此作为我反对数学教育
现代化改革的代表性观点
。小平邦彦

小平邦彦著，尤斌斌译的《惰者集（数感与数学）／图灵新知》是菲尔兹奖、沃尔夫奖、日本文化勋章得主，日本数学大家小平邦彦的数学随笔文集。
本书为读者解析“数感”与数学思维，反思数学教育中的功过得失，重塑独立思考能力与数学兴趣。
本书收录了《一位数学家的妄想》《科学、与人类进步》《愈发难懂的数学》等文章。

对孩子而言，数学的难
易度取决于历史发展顺序
，而不是逻辑顺序。我小
时候接受的数学教育遵循
历史发展的自然顺序，因
此我能轻松理解集合论等
抽象数学。不管是对孩子
来说还是对老师来说，忽
视历史发展的顺序提前学
习抽象数学，只会造成时
间和精力的浪费。
——小平邦彦

数学笔记
在我看来，数学书（包括论文）是最晦涩难憧的读物。将一本几百页的数学书从头到尾读一遍更是难上加难。翻开数学书，定义、公理扑面而来，定理、证明接踵而至。数学这种东西，一旦理解则非常简单明了，所以我读数学书的时候，一般都只看定理，努力去理解定理，然后自己独立思考数学证明。不过，大多数情况下都是百思不得其解，最终只好参考书中的证明。然而，有时候反复阅读证明过程也难解其意，这种情况下，我便会尝试在笔记本中抄写这些数学证明。在抄写过程中，我会发现证明中有些地方不尽如人意，于是转而寻求是否存在更好的证明方法。如果能够顺利找到还好，若一时难以觅得，则多会陷入苦思，至无路可走、油尽灯枯才会作罢。按照这种方法，读至一章末尾，已是月余，开篇的内容则早被忘到九霄云外。没办法，只好折返回去从头来过。之后，我又注意到书中整个章节的排列顺序不甚合理。比如，我会考虑将定理七的证明置于定理三的证明之前的话，是否更加合适。于是我又开始撰写调整章节顺序的笔记。完成这项工作后，我才有真正掌握第一章的感觉，终于松了一口气，同时又因太耗费精力而心生烦扰。从时间上来说，想要真正理解一本几百页的数学书，几乎是一件不可能完成的任务。真希望有人告诉我，如何才能快速阅读数学书。
也许有人会不解，何必要如此左思右想，直接读到最后一页不就好了？话虽如此，不过这样会存在一个问题。在数学书中，如果是与我的专业关系不大的话，反而可以快速读完（虽然我很少读与我专业无关的数学书）。但是，读完以后到底能否彻底理解，我对此持怀疑的态度。理解数学书（或者论文）是一种怎样的状态呢？只要一步步验证以确认证明过程无误即是理解的状态吗？在阅读与自己专业无关的数学书时，我发现即使确认了证明的求证过程，之前不理解的定理仍然不得其意。虽然证明过程正确，不过总感觉整体印象模糊不清。与此相反，如果是自己专业领域的定理，即使不记得定理的证明过程，已经理解的内容也都格外清晰，正如我们能清晰地理解2＋2＝4—样。我们之所以能理解2＋2＝4，是因为自己是从感觉上把握了这一数学事实，而不是通过论证。定理的理解同样如此，应该从感觉上把握定理所要表达的数学事实。尝试摸索定理的证明过程，是一种从感觉上把握定理的方法，而并非为了检验证明过程的正确性（著名定理的正确性显然也不需要确认）。想要更好地理解定理，仅仅读一遍定理的证明过程是远远不够的。反复阅读研究、做笔记，并且将定理运用于各种问题中才是有效的方法。做笔记的目的不是为了背诵证明过程，而是花时间去详细分析定理所要表达的数学事实的结构。像这样彻底理解定理之后，日后即使忘记定理的证明过程也完全没有关系（不过在大学毕业之前，还是需要记住证明过程来应对考试）。当偶尔需要确认证明过程去重新复习时，会发现定理内容如同2＋2＝4一样清晰，但定理的证明过程看起来总觉得有牵强附会之感。
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