本书分为“瞬间”（导数）和“永恒”（积分）两个部分，通过引人入胜的故事与可爱的火柴人插画，展现了微积分这一数学分支的深刻与迷人。
正如作者所说：“这本书就像一场微积分之旅，但其中没有花哨的方程，没有复杂的计算，只有对微积分思想和概念的介绍，而且它们都是用讲故事的方式说明的。这些故事将跨越人类的发展历程，从科学到诗歌，从哲学到幻想，从高雅的艺术到日常生活。”
本书将使你认识到微积分的真正用途：不是让你“为数学而数学”，而是要让你成为一个更聪明、更有思想的人。

引言
上篇：瞬间：导数
第1章 即逝的时间
第2章 不断坠落的月亮
第3章 黄油吐司：昙花一现的幸福感
第4章 全世界通用的语言
第5章 当密西西比河绵延万里
第6章 福尔摩斯的推理滑铁卢
第7章 一部未经授权的潮流传记
第8章 风留下了什么
第9章 如尘埃般漫天飞舞
第10章 绿头发的女孩和超时空螺旋
引言
上篇：瞬间：导数
第1章 即逝的时间
第2章 不断坠落的月亮
第3章 黄油吐司：昙花一现的幸福感
第4章 全世界通用的语言
第5章 当密西西比河绵延万里
第6章 福尔摩斯的推理滑铁卢
第7章 一部未经授权的潮流传记
第8章 风留下了什么
第9章 如尘埃般漫天飞舞
第10章 绿头发的女孩和超时空螺旋
第11章 住在海边的落难公主
第12章 让世界变成废墟的回形针
第13章 笑到最后的曲线
第14章 嗨，小狗教授
第15章 我们用微积分算一算吧！
下篇：永恒：积分
第16章 那些书里的圈圈圆圆圈圈
第17章 战争与和平，还有积分学
第18章 黎曼的城市天际线
第19章 一伟大的微积分大全
第20章 积分号下的故事就留在积分号下吧
第21章 一挥笔就放弃了存在
第22章 1994年：微积分诞生的那一年
第23章 假如一定会有痛苦
第24章 与众神作战
第25章 从看不见的球体说起
第26章 高耸入云的抽象果仁
第27章 加百列，吹响小号吧
第28章 不可能的场景
引言
上篇：瞬间：导数
第1章 即逝的时间
第2章 不断坠落的月亮
第3章 黄油吐司：昙花一现的幸福感
第4章 全世界通用的语言
第5章 当密西西比河绵延万里
第6章 福尔摩斯的推理滑铁卢
第7章 一部未经授权的潮流传记
第8章 风留下了什么
第9章 如尘埃般漫天飞舞
第10章 绿头发的女孩和超时空螺旋

引言
大约在100 万天以前，古希腊哲学家巴门尼德说：
“存在者不是产生出来的，也不能被消灭，因为它是完
全的、不动的、无止境的。”这是一种大胆的哲学理论
。巴门尼德不承认分裂，不承认区别，不承认未来，也
不承认过去。“它既非过去存在，亦非将来存在，因为
它整个在现在，是个连续的一（one）。”他解释说。
在巴门尼德看来，宇宙大概就像洛杉矶市区的交通：永
远停滞不前。
在近100 万天后的今天来看，这仍然是一个极为冒
失的观点。
喂，巴门尼德，不论你如何擅长用诗歌和形容词来
混淆视听、偷换概念，我们都不会上当的。100 万天前
，世界上还没有佛教徒、基督徒，也没有伊斯兰教信仰
者，因为那时佛陀、耶稣和穆罕默德都还没有出生。
100 万天前，意大利人还不吃番茄酱，毕竟连“意大利
”这个名词都还没有出现，而离那里最近的番茄地也在
6 000英里以外。100万天前，整个地球上只有5 000 万
到1 亿人；而现在，这个数字仅仅是每年迪士尼乐园的
游客总量。
事实上，巴门尼德，今天只有两件事和100 万天前
是一样的：无处不在的变化；你的哲学理论是无可救药
的谬误。
这是我在本书中最后一次提及巴门尼德（不过他那
更聪明一些的弟子芝诺稍后会出现）——嗬，总算摆脱
这个身穿长袍的怪老头了。现在，我们暂且略过与他同
时代的赫拉克利特（那位说出“人不能两次踏入同一条
河流”的智者），来到17 世纪晚期，也就是12 万或13
万天之前。就在那时，一位名叫艾萨克·牛顿的科学家
和一位名叫戈特弗里德·莱布尼茨的学者创造了本书的
主角——一种全新的数学形式，一种关于变化的语言，
以及一个对地球上的变化进行量化的尝试。今天，我们
称这种数学形式为“微积分”。
微积分的第一个工具是导数。导数是一种瞬时的变
化速率，可以告诉我们某个物体在某一瞬间是如何变化
的。比如苹果砸到牛顿脑袋的速度。
在砸中脑袋的这一秒前，苹果的运动速度稍微减慢
了一些；在这一秒后，它则朝着完全相反的方向运动—
—自然科学史也正是从这一瞬间开始改变了走向。不过
呢，导数并不关心自己的前一秒或后一秒，它关心的只
有当下的这一瞬间：一个无穷小的时间。
微积分的第二个工具是积分。积分是无数个碎片的
总和，而其中的每个碎片都是无穷小的。想象一下这个
画面：无数个等大的圆形，每个圆形都是一个投影面，
它们组合起来，就可以变成一个立体的物体——球体；
或是一群人，每个人都如同微不足道的原子般渺小，但
团结在一起，却能构成一个完整的文明；抑或是一连串
的瞬间，每个瞬间本身都无限接近0秒，却能累积成一
个小时，一万年，直至永恒。
每一个积分都为整体的形成做出了贡献，这里的整
体指的是银河系中的任意一个物体——一个可以通过数
学的全景镜头以某种方式捕捉到的物体。
作为专业的技术工具，导数和积分早已声名远扬，
但我相信它们能为我们做的不只是这些。我们就像一艘
艘小船，遭受着风吹浪打，面临着汹涌波涛，而在我看
来，导数和积分就像是可以随身携带的哲学：向航行在
这湍急的世界河流中的我们伸出了桨。
所以，我将通过这本书，尝试从数学中提炼出人生
智慧。
在本书的上篇——瞬间，我们将探索导数的故事。
每一个故事片段都是从潺潺的时间洪流中提取的一个瞬
间，包括一毫米的月球轨道、一小口黄油吐司、一粒尘
埃飘忽不定的运动，以及一只狗在一瞬间做出的决定…
…如果把导数比作显微镜，那么这里的每一个故事都是
我精心挑选出来的载玻片——展现了一幅幅微型场景。
在本书下篇——永恒，我们将利用积分的力量，把
无数的水滴汇聚成流。我们会遇到一个由小碎片组成的
圆圈、一支由无数士兵组成的军队、一道由无数建筑组
成的天际线，以及一个由亿万颗恒星组成的宇宙……如
果说积分是一部宽屏电影，那么这里的每个故事都是你
必须去影院才能欣赏到的宏大史诗，而在家里的电视上
根本无法感受到它的壮阔无垠。
不过，有件事我得先说清楚，你手中的这本书不会
“教你微积分”。它不是一本循序渐进、深入浅出的教
科书，而是一本用非技术语言写给普通读者的，形式不
拘一格、插图水平一般的通俗读物。作为本书的读者，
你可以对微积分一窍不通，也可以是微积分方面的专家
，但无论如何，我都希望书中的故事能为你带来一些欢
笑和见解。
我没办法在这本书里写完所有故事，例如费马的弯
曲光线、牛顿留下的谜题、不存在的狄拉克函数……这
些都没能收录进本书。不过，在这千变万化的世界里，
本就没有一部作品能做到详尽无遗，也没有一个神话故
事有真正的结局，毕竟，时间的洪流还在继续汹涌向前
。

继《欢乐数学》后，耶鲁毕业天才教师用“烂插画”再次笑爆课堂
28个故事400幅漫画，讲透微积分原理精髓
从福尔摩斯到马克·吐温，发掘微积分与人文／经济／科技及全世界的奥妙联系
即使未学微积分计算，也能get微积分思维

第16章
书中那些圆圆圈圈
在一个鸡尾酒会上，我举着酒杯，一边和别人小声聊天，一边注视着美味的奶酪，一切都令人十分愉快，直到有人问起我的职业。如果只看对方的面部反应，你可能会怀疑他听到的是“我就职于一个犯罪集团”，或是“我是个腐败的法官”，又或是“我是来自未来世界的时间旅行者，这次回来的任务是杀死酒会上的所有人，以阻止世界末日来临”。
事实上，我说的是，“我是一个数学老师”。
好啦，我懂了。在我和其他教数学的同事们眼中，我们的学科是可爱的。但是，当我说到“圆”这个词时，很少有学生会想到约翰·多恩的诗句（你坚定，我的圆圈才会准，我才会终结在开始的地点），或者布莱斯·帕斯卡对宇宙的看法（自然是一个无穷的球体，它的圆心无处不在，而其圆周却无处可寻）。相反，他们的大脑会机械地浮现出只记得一半的公式、课本里的练习题，以及无意识地记下的圆周率小数点后的几位数字。
我觉得自己有必要捍卫数学的荣誉，证明它属于著名的思维维恩图中重叠的那部分。所以我做了任何处在我这种境况下的人都会做的事：像老鼠偷食一样，以迅雷不及掩耳之势，从那一桌开胃小菜里抓起一小块食物——一片腌黄瓜。
“这片黄瓜的面积是多少？”我问。
有个人皱着眉说：“这可真是个奇怪的问题。”
“你说得没错！”我大声回答道，“这个问题之所以奇怪，是因为面积是用小小的正方形来定义的——平方英寸、平方厘米，甚至平方毫米……都是小正方形——而这块圆形的腌黄瓜却不能再被细分成正方形，弯曲的边缘让它的面积变得难以测量和计算。那么，我们要怎么做才能知道它的面积呢？”此时，我挥舞了一下手中的餐刀，这一动作很可能会把我的同事吓跑。
好在我还算幸运，他们明白了我的意思。
“啊，”他们说，“我们可以把它切成片。”
于是，我们用餐刀把这片黄瓜切成了8 个小楔形。经过重新排列，它们组成了一个面积与原来的圆形完全相等的新形状。
“它看起来很像一个矩形，”有人说，“求矩形的面积很容易，用长乘以高就可以了。”
“那么长度和高度分别是多少呢？”我继续问。
“嗯，长嘛，一定是黄瓜片周长的一半。而高度，嗯，是黄瓜片的半径。”
“现在，问题解决了吗？”
“不，还没有，”他们说，“它不是一个真正的矩形，它的长边不是直的，是躁动不安的。”
我补充道：“我有个更好的形容词，‘起伏不平’，所以我们该怎么办？”
专注地思考了片刻，我们拿起另一片腌黄瓜，然后把它切成了24 个更细的楔形。经过艰难的重新排列，它们组成了一个类似刚才的形状，除了长边稍微少了点儿“躁动”，稍平了一些。酒会上的其他客人则用他们那带着敬畏和钦佩的表情看着我们，也可能是怜悯和厌恶的表情——我是分辨不出这两者的区别。
“现在它更接近矩形了！”我的搭档说，“但依然不是一个真正的矩形。”
我们再次拿起一片腌黄瓜，把它切得更细了。
“这下它是矩形了吗？”我问。
只听一声叹息：“没有。它的上下两条边依然是起伏不平的。尽管起伏幅度非常微小，但依然存在。”
我补充道：“我有个更好的形容词，‘微乎其微’。”
“我们需要把黄瓜片切成无数个楔形，并且要保证每个楔形都是无穷小的。这是将它变成矩形的唯一方法，但是……这是不可能做到的，”他们迟疑地说，“不是吗？”
无论这对我们来说是否可能，在24 个世纪前，一位名叫欧多克斯（Eudoxus）的数学家在现在的土耳其做到了。我们将他的方法称作“穷竭法”（method of exhaustion），不是因为它需要你竭尽心力，而是因为某种差距会在使用这个方法的过程中逐渐被消除或“穷竭”（exhausted）。在这里，这个差距就是长边起伏不平的矩形和长边平直的完美矩形之间的差距。按照这个逻辑不断地推进下去，我们会发现，圆的面积和矩形的面积是一样的，正好等于半径和周长的一半的乘积。
或者，你可能更喜欢用等式来表示：面积= 周长/2× 半径。
就在这场鸡尾酒会的餐巾上，积分学的小苗萌芽了。首先，把一个令人头疼的物体分解成无穷小的碎片，每一片都非常非常小；然后将这些小碎片重新排列，组成更简单、更令人愉悦的集合；接下来，根据这个重新排列的组合，得出关于原始对象的结论……以上这些步骤形成了积分学的模板和蓝图。
聊到这里时，可能和我聊天的那些朋友已经把酒喝完了。这很正常。
接下来，我们会互相点头，交换名片，然后就不再说什么了。我想这就是交换名片的含义：双方心照不宣的“再也不见”的信号。
当然，也有可能他们的好奇心会被激起。如果是这样，他们就会重新把杯子斟满；我又往口袋里塞了几块奶酪。然后深吸一口气之后，我们又回到了关于数学的讨论中。
“这个公式看起来很酷，”他们说，“但并不是我在学校里记的那个公式。”
“因为这个公式是在用周长来表示面积，”我说，