第1讲  信息增加导致概率变化

“贝叶斯推理”的基本方法

1-1通过贝叶斯推理来辨别“买东西的人”和“随便逛逛的人”

本讲将通过一个商业案例，为大家介绍经典的贝叶斯推理方法。

商店里的售货员关心的问题莫过于“这位顾客究竟是来买东西的，还是随便逛逛而已”。真正来买东西的顾客，一般而言，比起四处逛逛看看，更倾向于在短时间内找到自己需要的商品。另一类顾客则是这样的：一时不急着买，而是先随便问问价格，为以后购买做个参考。对待前者，作为售货员，理应为其介绍需要的商品并让其买下；而对待后者，如果同样花费时间为其推荐商品，顾客不但不会购买，反而会感到厌烦，结果适得其反。

所以对于店员来说，通过顾客的行为来揣测他们的真实想法，是一项重要的本领。很多店员可以做到：通过直觉来判断顾客属于哪一类，而这正是身为一名店员的重要工作技巧。在此，我们将这种“基于直觉的的判断”数值化，从而使它可以通过计算获得。把方法编成手册，教给新店员，这就像在互联网上能够实现自动判断的AI（人工智能）一样，是一项意义非凡的工作。

下文将具体介绍“将店员的判断方法数值化”的方法，该方法恰巧适用贝叶斯统计学。进而言之，通过该事例，我们也可以弄懂贝叶斯统计学的概念。下文将分节进行解说。

1-2步：通过经验设定“先验概率”

假设一个场景：面前有一位顾客，此时你需要做的是，推测该顾客究竟是“来买东西的人”，还是“随便逛逛的人”。只有作出正确的判断，才能采取正确的接待方法。

推算的步：将两种顾客（来买东西的顾客、随便逛逛的顾客）的比例进行数值分配。这句话的意思是：假设面前的这位顾客一定属于两种中的一种，以此为前提，该顾客为种或第二种的可能性分别为多少？将这个可能性用数值表示出来。

在贝叶斯统计学中，这种“某种类别的概率（比例）”有一个专有名词，叫做“先验概率”。“事前”的含义是：在获得某项信息之前。此处的“信息”是指：附加的状况，比如顾客忽然过来询问。通过“过来询问”这一信息，可以对顾客类别的推算进行修改，而“先验概率”是指，在“过来询问”或“不过来询问”的情况发生之前进行的概率判断。

通常，“先验概率”可通过经验来判断。在特殊情况下，即使没有类似经验，也可以进行判断，这部分特殊事例将在第3讲进行解说，此处暂且不做讨论。

根据自己的经验，每5位顾客中就有1位是“来买东西的”，也就是说，这一部分顾客占全体的20%（0.2），那么剩下“随便逛逛”部分的比例便为80%（0.8）。这两个数字，便是两类顾客的“先验概率”。

在这个事例中，在观察面前顾客的行为之前，判断“该顾客是属于概率0.2的买东西的人，还是概率0.8的随便逛逛的人”，这个过程被称为“某一类别的先验分布”，如图表1-1所示。

图表1-1?先验分布：分割长方形

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小岛宽之，日本帝京大学经济学系副教授，经济学博士，知名数学随笔作家。1958年出生于东京，毕业于东京大学理学院数学系，东京大学经济学研究所博士课程修毕。著有《几率的思考方式》《方便运用！几率的思考》《世界简单微积分》《从零开始学习微积分》以及《专为文科设计的数学教室》等多部作品。

只要会做四则运算，便可掌握贝叶斯统计学

本书的特点

0-1从零基础达到应用水平

本书是“贝叶斯统计学”的超级入门书。“超级”的含义：

从零基础开始学习

抛开繁琐的符号和计算过程，学习运用贝叶斯统计

不只是随便说说，而是毫无保留地传授知识

对贝叶斯统计学感兴趣的人不在少数。然而此前的教科书，导入部分编写浅显，中途却难度骤增，这使很多读者大受挫折。这是因为在尚未理解贝叶斯统计的本质时，就被灌输了一大堆概率符号，使得理解起来更为困难。

为了不再重蹈这样的覆辙，本书编写之时做了一些功课，具体会在下节进行说明：

0-2仅使用面积图和简单算术

贝叶斯统计的基础是概率公式“贝叶斯公式”，它立足于“条件概率”的发展事项。“贝叶斯公式”是高等数学中很难理解的一个概念，原因有二：，公式复杂而不够直观；第二，条件概率在某种程度上属于“不可靠的”概念，对于思维缜密的人来说总觉得“哪里有些奇怪”。

事实上，上述第二点在贝叶斯统计中是至关重要的。因为正是这份“不可靠”，才是贝叶斯统计的本质，它与便利性息息相关。后面我们会讲到，贝叶斯统计在20世纪初曾因为其“不可靠”而遭到批判，一度被斥于统计学之外。但由于贝叶斯统计的“不可靠”与“便利性”为表里一致的关系，“正因为不可靠才得以运用”。在一部分学者对于这种“便利性”的关注下，贝叶斯统计于20世纪后半期恢复了其应有的地位。在21世纪的今天，贝叶斯统计已经成为了统计学的主流。

笔者着重考虑了这两点，在编写过程中也有所侧重，并做了如下功课。

功课1将不出现“贝叶斯公式”（极少一部分除外）的方针贯彻到底

以“通过面积图进行图解”的方针作为贝叶斯公式的替代。从本质上来讲，二者是相同的，然而对于大多数读者而言，图解的方式更加直观且易于理解。同时，通过“面积图”可以更清晰地看出“贝叶斯公式”的“不可靠”和“便利性”究竟体现在哪里。

功课2只需简单算术的计算水平即可

这意味着，只需要会做四则运算就可以掌握了，连开方和文字式计算都不需要。而且这其中的四则运算，即使是不擅长手算的人也可以借助计算器轻而易举地完成。

当然，在本书末尾会出现“β分布”“正态分布”这些有难度的概念。因为如果不介绍这些概念，是无法达到前文所述“毫无保留的传授”程度的。全面理解这些概念，需要用到大学的微分积分知识，这对于许多读者来说是很大的负担。因此在本书中也只能作一些相对简单的解说。

这也就是说，本书的方针向读者灌输仅通过四则运算就能掌握的公式。这也是本书编写时所做的功课之一。在这个意义上，本书并非“充分齐全”的教材。然而如果想要“充分理解”贝叶斯统计学的人，不妨在读过本书之后再试着挑战一下专业书籍。本书的目的是抛开繁琐的数学概念，将“贝叶斯统计学隐藏的本质”剖析呈现出来。

0-3比尔·盖茨也在关注它！贝叶斯统计在商业活动中的应用

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目 录

第0讲?只要会做四则运算，便可掌握贝叶斯统计学    001

本书的特点

快速学习！

理解贝叶斯统计学的精髓

第1部

第1讲?信息增加导致概率变化       002

“贝叶斯推理”的基本方法

小结014练习题015

第2讲?贝叶斯推理的结果，有时与直觉大相径庭①    016

使用客观数据时的注意事项

小结025练习题026

第3讲?根据主观数字也可以进行推理    027

疑惑时分的“理由不充分原理”

小结036练习题037

第4讲?运用“概率的概率”，拓宽推理范围    038

小结050练习题051

专栏 贝叶斯是何许人也?052

第5讲?从推算过程开始，逐渐明确的

贝叶斯推理的特征       053

小结058练习题059

第6讲?明快而严格，但其使用场合受到限制的

内曼-皮尔逊式推理      060

小结064练习题064

第7讲?通过少量信息得出切实结论的贝叶斯推理       065

与内曼－皮尔逊式推理的差异

小结072练习题073

第8讲?贝叶斯推理的基础：极大似然原理    074

贝叶斯统计学与内曼-皮尔逊统计学的衔接点

小结079练习题080

第9讲?贝叶斯推理的结果，有时与直觉大相径庭②   081

蒂霍尔问题与三个囚犯的问题

小结094练习题094

专栏 关于“幸运”的两条法则095

第10讲  掌握多条信息时的推理①  096

运用“独立试验的概率乘法公式”

小结103练习题103

第11讲  掌握多条信息时的推理②  104

 以垃圾邮件过滤器为例

小结113练习题114

第12讲  在贝叶斯推理中可以依次使用信息  115

“序贯理性”

小结123练习题124

第13讲  每获得一条信息，贝叶斯推理就变得更精确一些  125

小结136练习题137

专栏 帮助贝叶斯复兴的学者们138

完全自学！

从“概率论”到“正态分布”

第2部

第14讲   “概率”与“面积”的性质相同     140

概率论的基础

小结150练习题150

第15讲  在获得信息之后，概率的表示方法  151

“条件概率”的基本性质

小结162练习题163

第16讲  “概率分布图”帮助我们进行更加通用的推理   164

小结174练习题175

第17讲   “贝塔分布”的性质由两个数字决定 176

小结185练习题185

第18讲  决定概率分布性质的“期待值”   186

小结199练习题199

专栏 何为“主观概率”？200

第19讲  在“贝塔分布”中使用概率分布图进行高级推理      201

小结213练习题214

第20讲  在抛硬币或天体观测时观察到的“正态分布”   215

小结223练习题224

第21讲  在“正态分布”中使用概率分布图进行高级推理      225

小结235练习题236

补讲 贝塔分布的积分计算237

结语 239

参考文献 242

练习题参考答案 245

本书抛开让人难以理解的“贝叶斯公式”，用“面积图”做直观形象的解读。只要会做四则运算，就能快速入门，进而在一个个生活场景中，领会贝叶斯统计学的精髓。贝叶斯统计学的优势在于“在数据少的情况下也可以进行推测”，贝叶斯统计学的统计过程和人脑的决策过程是很相似的，在人工智能时代有着广泛的商业应用。微软操作系统、谷歌的自动翻译系统等都引入了贝叶斯统计技术。如果能够熟练掌握贝叶斯统计，个人也能够更好地做决策，可以说与好的生活息息相关。