吴国庆，中学高级教师，武汉市“学科带头人”，武汉市优秀教师，武汉市百优班主任，区名师工作室主持人，先后获区级奖励十余次，个人获市优质课一等奖，一师一优课部优课，近年来，在省级以上刊物发表或获奖文章达百余篇。

一线老师，几乎每一天都会遇到教学问题.如果把问题当作课题，仔细琢磨一番，想清楚问题的来龙去脉，一篇文章自然就可以出炉了.

当我带八年级数学时，发现在多次数学考试中，以旋转中的双等腰直角三角形为背景的问题都作为压轴题出现，部分学生对这类问题往往无从下手.为了帮学生突破这个难点，我及时归类、总结出五种类型，学生觉得很实用，也很管用.后将其整理成文章《例谈旋转中的双等腰直角三角形》，发表在《中小学数学》上.

2018年中考复习备考中，我发现学生学习《圆》这个知识板块有一定的困难，考试中常在圆的相关问题上“卡壳”.于是我引导学生立足课本，注重研究课本问题，在最后的复习环节，我从课本中的几个问题出发，进行重组和改编，没想到竟然和当年中考命题老师的思路相同.后来也整理成文章《唯有研究活水来——一次对课本习题改编的意外收获》，发表在《中学数学》上.

2019年参加了一次同课异构教研活动，活动中呈现的两节课都很精彩，但是两位老师对其中一个环节的处理方式截然不同，引起了听课老师的争议.事后我将自己的所思所感写成文章《关于同课异构活动的思考》，发表在《新课程研究》上……

就这样，且行且思，且思且行.近年来，我陆续在省级以上期刊发表数学专业文章百余篇，其中不少文章被引用转载.文章的发表让我找到了数学老师的另一片天地，我开始如饥似渴地阅读，丰富自己，开始用数学的眼光审视一个个问题，观察一堂堂课.我真正体会到研能促教，同时感受到发表文章所带来的乐趣，它让烦躁的内心平静下来，有了一种踏实的感觉.

第1篇教法学法研究/ 1
关于同课异构活动的思考/ 2
学习绝对值的四重“境界”/ 6
类比学习线段和角/ 9
一道圆的中考模拟题探究/ 13
应用基本形妙解中考题/ 18
一题一课让思维自然流淌/ 23
探究深处现思维平实之中显素养/ 29
实践数学日记提升学生思考力/ 35
依纲据本凸显本质
——2019年武汉市四月调考数学试题函数部分的分析及备考建议/ 40
第2篇课本问题拓展/ 49
一道课本习题引发的思考/ 50
例析一类源于课本的中考题/ 55
旋出天地变中精彩
——一组课本习题的分分合合/ 61
变换能测动中精彩
——一道课本习题的演变之旅/ 69
演变拓展精彩不断
——例析一道课本习题演变成的中考题 / 76
一道课本习题的演变之旅/ 82
问题源头在哪里唯有课本活水来
——从一道中考题说开去/ 88
电路中演绎精彩
——一道课本习题的引申/ 94
第3篇思想方法教学/ 99
从一道课本题学习比较分式大小的方法/ 100
(a+b)2=(a-b)2+4ab在解题中的应用/ 102
数形结合巧解直线上动点问题/ 105
小问题大思想/ 108
利用“三角形的三边关系”求线段的值/ 110
几何问题数量化解析方法显神奇/ 113
用尺规平分折线段的方法和证明/ 118
借助直径解题的常见方法/ 121
“三点一线面积法”模型及其应用/ 124
坐标系中三角形的一个面积公式及其应用/ 128
第4篇试题亮点赏析/ 133
演变中举一反三类比间触类旁通
——一类有关线段与角度问题探析/ 134
单元复习1：数与式/ 141
盘点中考中具有生活气息的“圆”/ 148
盘点中考中的折叠问题/ 156
一道课外练习题解法商榷及问题演变/ 164
立足问题探究凸显核心知识/ 167
一道调考“压轴题”解法赏析/ 172
一道中考几何压轴题解法探讨/ 183
一道中考几何题的多种解法/ 188
对一道最值问题的解法思考和演变拓展/ 192
奇思出妙解演变现通法/ 197
万变不离其宗
——一道调考题的解析·推广·反思/204
立足基本形解法多奇新
——一道调考题解法赏析/ 206
源于教材迁移构造凸显探究
——一道中考压轴题赏析/ 212
经历活动类比分类凸显立意
——赏析一道中考压轴题/ 216
第5篇命题规律研究/ 1
唯有研究活水来
——一次对课本习题改编的意外收获/ 222
两道中考题的对比及收获/ 226
一道中考题的“前思后想”/ 232
回归课本凸显函数思想
——一道调考压轴题赏析/ 236
第6篇竞赛解题指导/ 241
巧构模型妙解赛题/ 242
精彩源于变换/ 246
一道关于圆的几何题的多解/ 249
图形变换在几何价值问题中的应用/ 252
例谈构造等边三角形解题/ 257
第7篇初等数学研究/ 261
例谈旋转中的双等腰直角三角形/ 262
例谈动点运动路径长问题/ 267
圆中价值问题例析/ 275
下滑梯子中的数学问题/ 281
等腰直角三角形中的价值问题/ 284
一类动点路径模型及其应用/ 288
巧平移妙解题/ 292
一次函数图象的平移和对称/ 300
三角形中角平分线基本形及其应用/ 302
正方形中的一个结论及其应用/ 307
涉及到内心和外心的一个结论/ 311
构造“圆和圆外一定点”模型求线段*值/ 313
“倍长过中点线段”基本形及其应用/ 316
“共顶角顶点的相似等腰三角形”基本形及其应用/ 320
一类“半角”问题基本结论及其应用/ 325
一类图形的基本结论及其应用/ 329
圆中两类角平分线基本形及其应用/ 333
基于解题研究下对一个问题的思考/ 337
第8篇衔接教学研究/ 343
一类含有绝对值的函数图象性质及其应用/ 344
二次函数中的一个结论及其应用/ 349
双曲线中两个互逆命题及其证明/ 352
抛物线中的一类定点问题探究及其应用/ 355
抛物线中的一个结论及其应用/ 359
例析一类“触摸”图形本质的考题/ 363
让初高中数学知识衔接更自然
——以一类抛物线问题为例/ 368

本书主要内容为初中数学教学及研究，包括教法学法研究；课本问题拓展；思想方法教学；试题靓点赏析；命题规律研究；竞赛解题指导；初等数学研究；衔接教学研究等，适合初中数学师生及数学爱好者阅读。本书汇聚作者近30年的初中数学教学经验及研究成果，精选个人部分发表数学文章，归类提炼。全书根据作者的教学经验，对数学教学工作进行了探索，凸显初中数学的数学思想方法和本质，便于广大教育工作者进行借鉴，也对学生学习数学有较强的指导作用。

汇聚作者近30年的初中数学教学经验及研究成果，精选个人部分发表数学文章，归类提炼，凸显初中数学的数学思想方法和本质，对初中数学教学具有借鉴价值，对学生学习数学有较强的指导性

代序：一个教师的朝向

师者，传道授业解惑也.

现在的教师应该成为一个什么样的教师？国家要求广大教师做“有理想信念、有道德情操、有扎实学识、有仁爱之心”的“四有教师”；从踏上教书育人岗位的那一刻起，教育界的前辈就告诫我们：“不能只做一名死板的教书匠，应该成为一名研究型、专家型老师.”我们也在为这样的目标付出努力.可随着从教时间的累积，因为琐碎生活的消磨和价值观上的犹疑不定，越来越多的教师畏难退缩，教书育人的热情逐渐减退，动力逐渐减弱.

那潮水般涌来的倦怠情绪掩不住对自我价值的不断追问，我们深知不能在碌碌无为中虚度生命，却不知道怎样让自己摆脱这种不知所措的困境.我们纠结、徘徊甚至焦虑不安.一线教师如何克服职业倦怠？一线教师如何获得职业自信？教师从事的是塑造灵魂的工作，唯有坚守自己的精神家园，找准自己生命的朝向，做一个内心丰盈的人，才不会止步于教书.教师应该指向教育.这个回答也许有些缥缈，怎样的回答才更务实，更让我们信服呢？我认为，如果是身处困扰之中的老师，尤其是数学老师，可以研读吴国庆老师的这本书，会发现吴老师就是那个经过努力而找寻到自己生命朝向的人，我们可以在吴老师身上学到一些经验，受到一些启发，从而找到答案.

一个认真从教的初中数学老师，经过两个三年的历练，大多可以成为一个独当一面的教学熟练工，稳稳地站在讲台之上.这种看得见的成长，让我们对教育工作充满热情，干劲十足.随着一个又一个三年的叠加，总是那几本不变的教材和那些大体变化不大的课程，我们需从“看山是山”走向“看山不是山”，我们不喜欢重复无效的劳动，我们拒绝平庸，渴望□□这平凡的生活！怎么办？吴老师给出的答案就是——加强学习与研究！对于教材上同样一个章节，如何边教边创新方法？同样一道课本习题，如何做拓展改编？同样一个问题，怎样从不同角度进行探究与拓展？一个老师教龄的增长不应该仅是教育行走里程的增加，更应该是教学思想的日益深邃.吴老师的每一个三年教学循环都是新的，他感觉自己面对的总是充满未知的新天地，自己就是一个探索者、创造者.随着岁月的流逝，他对工作依然充满热情，创新中充满喜悦，工作忙碌而充实，没有时间来倦怠.

“教而不研则浅，研而不教则空.”作为人民教师，要用研究的心态对待教学，思考课堂，琢磨教材，探究问题，始终以敬畏之心面对教育教学，不断获得专业发展的增长点，这样可以使我们的职业生命保持青春状态，相信我们在这一点上容易达成共识.如此说来，我们必须面对一个更为关键的问题，一线教师怎样做好教学与研究？吴老师的这本书是一个好的借鉴.教师的职业特点决定了其本职工作就是做教学研究，日常教学工作是什么？就研究什么.如果觉得这样说还是比较宽泛，那么可以思考另一个问题，做教学研究是“广开塘”，还是“深掘井”？显然吴老师赞成两者兼顾.数学老师每天必做的工作是什么，答案不是固定的，但是回答“研究问题”肯定不会有人反对.我们的数学课堂，绝大部分的时间都是在“研究问题、解决问题”，数学学习的主要任务是学习数学知识、训练技能、总结方法、渗透数学思想、培养数学应用意识与创新能力.数学学习的直接形式就是训练数学解题能力，在解题中提高运算熟练性、准确性、规范性与合理性是我们的奋斗目标，由此看来，使学生解题方法更合理、更灵活必然成为数学老师最重要的能力.吴老师这本书中的几十篇文章涉猎面很广，有课堂艺术、教材解读、学法指导、试题研究，但都是抓住“解题研究”这个核心展开的.运用解题研究的法宝，“一题多解”“一题多变”与“多题归一”，无论是来自课本的习题、课外读物上的例题，还是经典的考题，吴老师都会深入细致地琢磨一番.数学题到了吴老师手中仿佛有了魔力，总是显得气象万千、异彩纷呈，他总能被一道看似寻常的数学题所蕴藏的丰富内涵所触动，从而产生研究的冲动！

研究问题的动力不可能自发地产生，需要理性思维下的自觉行为，需要研究者对问题敏锐的感知力和孜孜探求的行动力，需要厚积薄发.书中的几十篇文章大多集中于近三年完成，其实吴老师已经为之准备了近三十年.历经数十年而初心不改，对教学依旧充满热情，这里面有个人品格、职业精神的坚守，更多的是他找准了一个优秀老师的定位——成为研究型教师！

见到这本书稿之前，我与吴老师并不太熟.当厚厚的书稿放在我的书桌上，不禁心生敬佩之情.非常熟悉一线教师工作的忙碌与琐碎，对一线教师的工作压力也有切身的感受，在繁杂的工作之余，能够静下心来思考、钻研，并物化成这样一篇篇饱含深刻思想的鲜活文章，这里面该有着多少勤奋与坚守，有着多么强大的执行力！吴老师很谦虚地请我“指导与斧正”，其实文章的品质与意义已经不需要我评说，一篇篇文章读下来，我自己感觉受益匪浅，一些感想油然而生，于是有了上面的文字，谨与吴老师以及广大一线数学教育工作者共勉！相信读到这本书的老师和同学，定能受益良多.愿吴老师能继续“且思且行”，不断拓展自己职业生涯的深度与广度，为尚在一线教学工作中徘徊的老师们提供一个平实的专业发展榜样.

孔峰
湖北省武汉市教育学会中学数学专业委员会理事长

本书主要以自己近年来的教学实践为基础，包含自己对数学教学的理解，对学生学习数学方法指导，对数学课本问题研究的方法，对考题研究的视角等。