数的世界是无穷无尽的……
“数”的概念可以追溯到埃及文明、美索布达米亚文明的时代，之后才普及至全世界。但是，虽然统称为“数”，就性质还可分为“素数”“自然数”“整数（0是整数）”“有理数”“无理数”等。除此之外与“数”相关的还有“图形数”“魔方阵”。“圆周率（π）”也是数的一种。
本书内容主要集中在“数”本身——尤其是其自身的奇特性质，从而不断接近“数”的本质。

今野纪雄,1957年生于东京。1982年毕业于东京大学理学部数学专业。1987年修完东京工业大学大学院理工学研究科博士课程学分后退学。随后担任过室兰工业大学数理科学共同讲座的教授助理、康奈尔大学数理科学研究所客座研究员，现在于横滨国立大学大学院工学研究院担任教授。主要著作有《图解拓扑学 超入门》《看漫画也能学复杂的网络结构》《看漫画也能学统计入门》《图解杂学 复杂系》《图解杂学 概率》《图解杂学 概率模型》等。

第1章 “数”的分类
1 “数”是何时被发现的
2 “自然数”与“集合”
3 “负数”是什么
4 “偶数”与“奇数”的区分方法
5 乘除法运算中重要的“倍数”与“约数”
6 “素数”是什么
7 “有理数”是什么
8 “无理数”是什么
9 “小数”是什么
10 “实数”是什么
Column1 能够快速记住无理数的双关语
第2章 一个特别的存在“0”
1 “0”是在何时何地诞生的
2 0的存在为什么很重要
3 0是如何被人们知道的
4 受0恩惠的“计算”
5 0和空集有相似的关系
6 0、垂线和平面坐标
7 使用0可以简单地表示数值很大的数字
8 我们身边随处都有0
Column2 “新世纪”为何不从0开始
第3章 拥有各种猜想的“素数”及其不可思议的性质
1 素数是“最重要的”数吗
2 素数有无限多个
3 素数是如何分布的
4 “孪生素数”是什么
5 埃拉托色尼的素数筛选法
6 “能够推导素数的公式”并不存在
7 “梅森数”是什么
8 梅森素数是不是有无限多个呢
9 从心底里爱着素数的人们
10 “费马数”是什么
11 “哥德巴赫猜想”是什么
12 一些奇奇怪怪的素数们
Column3 “仅由1组成”的素数寥寥无几
第4章 由“约数”引申而来的各种各样的数
1 “不足数”是什么
2 “丰沛数”是什么
3 “完全数”是什么
4 有没有“是奇数的完全数”
5 “亲和数”是什么
6 好不容易被发现的“亲和数对”
7 关于亲和数的“猜想”
8 “交际数”是什么
9 “奇异数（数论）”是什么
Column4 至今仍未被证明出来的“3x＋ 1问题”是什么
第5章 图形和数相结合的“图形数”
1 “三角形数”是什么
2 推导三角形数的公式
3 在组合中登场的三角形数
4 “四角形数（平方数）”是什么
5 有没有“五角形数”和“六角形数”呢
6 费马的猜想
7 在组合中登场的“正四面体数”是什么
8 “立方数”是什么
9 “平方数”与“立方数”是什么关系
10 “平方数”与“立方数”的和
11 华林的猜想
Column5 令人怀念的“寺山算术”
第6章 非常不可思议的“幻方”
1 “幻方”是什么
2 “幻和”是什么
3 低阶幻方的数量有多少
4 4阶幻方的不可思议之处
5 中心对称的“对称幻方”
6 幻方的“制作方法”
7 幻方也有很多不同种类
8 从六角形衍生而来的“魔方六方阵”
Column6 幻方与“行星”有关系吗
第7章 圆周率“π”的历史
1 “π”是什么
2 “圆周率”这种想法的起源是什么
3 π 的近似值是多少
4 东方关于 π 值的研究
5 数学史上第一个“推导出 π 的公式”
6 推导 π 的各种各样的公式
7 从人力走向计算机的时代
8 π 是无法用分数表示的无理数
9 用到 π 的公式五花八门
10 “化圆为方问题”是什么
Column7 在线“整数列查询网站（OEIS）”
第8章 将计算化繁为简的“指数”与“对数”
1 “加法”比“乘法”简单
2 “等比数列”是什么
3 “指数的和”是什么
4 “减法”比“除法”简单
5 “等比数列”和“等差数列”
6 纳皮尔的奇想
7 纳皮尔将底数定为“0.99 99999”
8 为什么使用“0.99 99999”呢
9 “对数”是什么
10 “e”是什么数①
11 “e”是什么数②
12 “e”是什么数③
13 与微分和积分密切相关的“e”
Column8 夏尔·埃尔米特的悔恨
参考文献
索引
后记

这本书是对各种各样的
数，特别是对它们那不可
思议的性质进行分析、讲
解。在这里，就先简单地
介绍一下素数的魅力吧。
相信很多人都知道，素
数的定义是“一个大于1的
自然数，且约数为1和其本
身的数”。具体来说，就是
像“2、3、5、7、11、13
、17”这一类的数。而“4”
的约数除了1和4之外还有2
，所以4不是素数。
虽然素数像这样被人们
如此简单地定义了，但是
其性质和构造却是既丰富
又深奥，仿佛像一汪“取之
不竭”的泉水。
首先，素数到底有多少
个呢？就算不知道准确的
个数，那到底是有穷个？
还是说有无限多个呢？
其实呀，素数是有无限
多个的！
但是，关于这个结论的
证明在大约2300年前，也
就是遥远的古希腊时代，
就已经出现在了欧几里得
所著的《原论》这本书上
。这实在是令人吃惊，具
体内容将在本书的第3章为
大家说明。
其次，我们来看看孪生
素数，相差2的1组2个的素
数对被称为孪生素数，如
（3，5）（5，7）（11，
13）等。可是，关于孪生
素数，虽然有“像素数一样
拥有无限多个”的猜想，但
是至今为止，谁都没能成
功将其证明。
这个孪生素数猜想也是
数学界有名的一个未解之
谜。
与之相关联的，在2013
年，美国新罕布什尔大学
的张益唐证明出了“存在无
穷多对素数，其差小于
7000”。这个新闻在一瞬间
就轰动了全世界，在日本
也被刊登到了体育新闻上
，被广为宣传。犹记得，
他在发现这个新定理的时
候已经将近60岁高龄的事
情也引起了很高的关注度
。至今，“七千万”这个范围
已经被很大幅度地缩小了
，但遗憾的是，素数对间
隙的这个范围还是没有缩
小到“2”。也许终有一天，
孪生素数猜想会被证明，
就像人们猜想的那样——“
孪生素数有无限多个”。
顺带提一下，肯定有人
也知道，除了上述谜题外
，另一个数学界的未解之
谜之一——黎曼猜想。这
个猜想是由德国的数学家
黎曼在1859年所著论文的
基础上提出的，
实际上
与素数是如何分布的这一
点密切相关，其论文的标
题就是“论小于某给定值的
素数的个数”。是不是同刚
才的孪生素数猜想一样，
也与素数的分布有关呢？
那么，那些相差为2的1
组3个的素数，也就是人们
所说的三胞胎素数一共有
多少组呢？其实呀，本书
在之后也会讲解，可以很
轻易地证明出只有（3，5
，7）这一组。像这样3个
素数以（p，p+2，p+4）
的形式虽然只有一组存在
，但是如果稍微改变一下
条件，来考虑一下3个素数
以（p，p+2，p+6）的形
式存在的三胞胎素数，情
况就会大不相同了。这种
情况下，又有很多如（5，
7，11）（11，13，17）
（17，19，23）等素数对
的存在，于是就又有了无
限对存在的猜想。关于这
一系列的猜想和证明在逐
渐发展。 此后，4个素数
以（p，p+2，p+4，p+6
）的形式存在的四胞胎不
存在这件事就立刻被证明
了。但是人们又想改变一
下条件来研究，比如说4个
素数以（p，p+2，p+6，
p+8）的形式存在的四胞
胎素数，则存在诸如（5，
7，11，13）（11，13，
17，19）这样1组以上的
素数对，但是是否有无限
对存在这一点，目前还没
有被证明。此外，2个1组
的素数对除了（p，p+2）
的形式以外，现在人们经
常研究的还有以（p，p+4
）形式存在的表兄弟素数
对，和以（p，p+6）形式
存在的六素数对。
像这样有着五花八门的
素数对的存在，关于它们
的猜想和研究也还有很多
，一旦说起来就没有尽头
了，我们暂且先说到这里
。
在学校学习数学时，基
本上被教授的都是已经得
出结论的知识，所以很多
人的印象里就会有“在这个
宇宙中解不开的问题非常
稀少，而且好像不是只有
一些特殊的问题存在吗”这
样的想法，更有甚者还有“
数学难道不是万能的吗”这
样的想法。这其实是不对
的，虽然“有些问题很容易
就能够理解，觉得好像看
上一眼就能够解开”，但是“
其实是怎么也解不开的非
常难的问题”。从这个角度
来看，数字真是一座问题
的“宝”山！
就像我前面说的一样，
仅仅是数字里面的素数，
而且是极其小的一部分的
话题，都可以被无限展开
。虽然说我的主要研究方
向是概率论，但是在研究
过程中经常会有数字，特
别是自然数的出现。 倒
不如说是，概率由于排列
组合的存在，需要计算的
东西并不少，所以亲和性
很高，与数字经常打交道
也可以说是理所当然。可
是，在意料之外的地方突
然碰见数字的那种喜悦，
对于一个研究者来说，是
用什么东西都无法代替的
。我这么说可能有一点夸
张，但是“表述数字就相当
于表述数学”，这么说也不
为过吧。本书是在2001年
出版的《图解杂学　不可
思议的数字》（Natsume
出版社）的基础上，大幅
修改后的出版物。
最后说一点，科学书籍
编辑部的石井显一先生，
就此次出版关联的工作事
无巨细悉心地帮助我，我
深受他的恩惠，在此深表
感谢。

这是一本给小学高年级学生和中学生的一本数学知识读物。
随着年级的增长，学生需要掌握的数学知识越来越多，如何充满兴致地掌握枯燥的数学知识，无论是对于家长还是学生，都是一个令人头疼的问题。
这本书介绍了数学学习中各种数的知识点，如自然数、整数、素数、有理数与无理数、对数与指数、圆周率等，一个对页讲解一个知识点，逻辑清晰，排版设计活泼，让数学的学习生动有趣起来，是一本干货满满的课外知识读物，不仅有助于学生掌握数学知识点，还能培养学生的逻辑思维能力，培养数学思维。

当我在夜里抬起头眺望
星空时，时常会想道：“我
们人类，在宇宙当中是不
是一种特别的存在呢？”
本书为大家讲解了许多
如同夜空里一闪即逝的星
星一般的各种各样的数，
具体来说有0（零）、素数
、完全数、亲和数、交际
数、形数、圆周率、对数
等。
其实从20世纪开始，人
们就已经开始利用射电望
远镜开始了以“发现地球以
外的智慧生命体的宇宙文
明”为目的的世界规模的项
目：关于地球以外智慧生
命体的探索。
每当我接触到与数相关
的事情时，脑子里关于地
球以外文明的念头总是挥
之不去，总是会想为什么
人类会对素数如此感兴趣
而发现了五花八门的性质
和构造呢？这简直就是一
件不可思议的事情。我内
心的疑惑不仅如此。
“假设地球以外还存在着
智慧生命体，那么他们会
不会也对素数进行过深入
的研究呢”“他们会不会已经
解开了这些还在困扰着我
们的素数的未解之谜呢，
比如已经成功证明出了双
胞胎素数有无限多个存在
之类的”——每念及此，津
津有味，无穷无尽。
仰望夜空，侧耳倾听，
也许你就能够接收到关于
数字的秘密信息呢？
如果真的有这种精彩的
事情发生，一定要悄悄地
告诉我。
2018年8月8日今野纪雄

随着互联网技术的普及，确保其安全的重要性也慢慢被突显，这就是加密技术。如果无法确保其安全陛，那么不论是网上购物、网上银行还是网上炒股，都没有办法安心使用吧。
那么，请问大家知道在加密技术当中，这一章节的主角——素数也起着非比寻常的作用吗？接下来就为大家说明一下。
素数是“约数为1或其本身且大于l的整数”。就像这个世界上存在的所有物质都是由原子构成的那样，对于所有的自然数来说，如果将其渐渐分解为最小的素数的话，则一定会是几个素数之积的形式，而这个过程就叫作分解质因数。但是，对于数值很大的数而言，分解质因数并不是一件简单的事情。
并且，这个分解方法都是以一种方式决定的，所以可以将其想成是“一种密码信息”。现在我们以数字“30＇’为例，简单地说明，我们可以将其分解成“30＝2×3×5”。其次如果分别将素数“2”对应为“H”，素数“3”对应为“1”，素数“5”对应为“！”的话，就可以把数字“30＇’转写成“HI！”。而现实的加密技术虽然更加复杂并且有更多的变化，但是这种思考方式是其中最基本的一种。
顺带问一句，素数有多少个呢？正确答案是“与自然数一样有无限多个”。关于这个结论的证明在距今遥远的大约2300年以前，就已经出现在欧几里得（公元前3307～公元前2757年）所著的《原论》这本书上了。
大家都知道，自然数无穷无尽，那么素数又如何呢？从结论来说，“素数有无限多个”。但是满足“除了l和其本身之外没有任何约数”这个特殊条件的素数竟然有无限多个，这一点实在令人难以置信吧，所以就为大家介绍一下欧几里得记载于《原论》中关于“素数有无限多个”的证明吧。顺便说一句，除了这种方法以外，还存在着各种各样其他的证明方法。
欧几里得使用的是反证法，也就是先假设“素数是有限多个”，然后找出其中的矛盾，否定自己的假设，以证明“素数有无限多个”白g方法。反证法也曾被用来证明“√2是无理数”。
如上述所说，最开始先假设“素数是有限多个”的。若素数是有限多个，那么就应该存在一个最大素数。我们称它为P。再令“Q＝2×3×4×…×P＋1”。若Q为素数，那么Q就成了大于P的素数，这与P是最大素数这一点互相矛盾。
另一方面，若Q不为素数，那么就必定会被l或自身以外的素数整除。但是Q被从2到P之间的任何整数除了之后还会余1，并不能被整除，所以前后矛盾。
无论是哪种情况，都会有矛盾产生，所以就可以否定“素数是有限多个”的假设，得出“素数有无限多个”的结论。我们把不是素数的数称作合数（但是l不属于合数也不属于素数）。因此，大于l的自然数，不是素数就是合数。
P42-44