前言
章科学计算引论1
1.1科学计算背景1
1.1.1科学计算与计算数学1
1.1.2计算数学与现代科学计算1
1.1.3计算方法与计算机技术2
1.2科学计算的误差3
1.2.1科学计算误差的产生3
1.2.2误差的基本概念3
1.2.3有效数字4
1.3科学计算中的算法优化和误差估计6
1.3.1数值运算时误差的传播6
1.3.2算法中应避免的问题7
1.3.3算法设计中的基本思想8
1.3.4数值计算的收敛性与稳定性12
习题113
数值实验题13
第2章函数插值14
2.1引言14
2.1.1插值问题14
2.1.2插值多项式的存在性和唯一性14
2.2拉格朗日插值15
2.2.1线性插值与抛物线插值15
2.2.2拉格朗日插值多项式16
2.2.3插值余项与误差估计17
2.3牛顿插值21
2.3.1插值多项式的逐次生成21
2.3.2均差及其性质22
2.3.3牛顿插值公式23
2.3.4牛顿向前插值公式25
2.4埃尔米特插值28
2.4.1重节点均差与泰勒插值28
2.4.2典型的埃尔米特插值28
2.4.3一般形式与插值余项31
2.5分段多项式插值32
2.5.1高次多项式插值的龙格现象32
2.5.2分段线性插值33
2.5.3分段三次埃尔米特插值34
2.6三次样条插值35
2.6.1基本概念35
2.6.2三次样条函数35
2.6.3样条插值函数的建立36
2.6.4误差界与收敛性40
习题240
数值实验题41
第3章函数逼近42
3.1引言42
3.1.1函数逼近问题42
3.1.2范数与赋范线性空间43
3.1.3内积与内积空间44
3.2正交多项式46
3.2.1正交函数族与正交多项式46
3.2.2勒让德多项式49
3.2.3切比雪夫多项式50
3.2.4其他常用的正交多项式51
3.3最佳平方逼近52
3.3.1最佳平方逼近及其计算52
3.3.2用正交函数族作最佳平方逼近54
3.4最佳一致逼近56
3.4.1基本概念及其理论56
3.4.2用插值余项最小化作最佳一致逼近59
3.5最小二乘拟合62
3.5.1最小二乘法及其计算62
3.5.2用正交多项式作最小二乘拟合66
3.6有理逼近67
3.6.1有理函数逼近与插值67
3.6.2帕德逼近69
习题372
数值实验题74
第4章数值积分与数值微分75
4.1数值积分概论75
4.1.1数值积分的基本思想75
4.1.2代数精度的概念76
4.1.3插值型的求积公式77
4.1.4求积公式的收敛性与稳定性79
4.1.5求积公式的余项79
4.2牛顿-科茨公式82
4.2.1科茨系数82
4.2.2偶阶求积公式的代数精度及其余项84
4.3复合求积公式85
4.3.1复合梯形公式86
4.3.2复合辛普森求积公式86
4.4龙贝格求积公式89
4.4.1梯形公式的递推化89
4.4.2龙贝格算法89
4.4.3理查森外推加速法90
4.5高斯型求积公式92
4.5.1一般理论92
4.5.2高斯-勒让德求积公式96
4.5.3高斯-切比雪夫求积公式98
4.6数值微分98
4.6.1中点方法与误差分析98
4.6.2插值型的求导公式100
习题4101
数值实验题102
第5章线性方程组的直接解法103
5.1高斯消去法103
5.1.1回代过程与消元过程103
5.1.2高斯消去法的矩阵描述107
5.1.3选主元的高斯消去法108
5.2矩阵的三角分解111
5.2.1直接三角分解法111
5.2.2平方根法112
5.2.3追赶法115
5.3向量和矩阵范数117
5.3.1向量的极限定义118
5.3.2矩阵范数119
5.4误差分析122
5.4.1条件数与误差分析122
5.4.2病态检测与改善125
习题5127
数值实验题128
第6章解线性代数方程组的迭代法130
6.1迭代法的基本思想130
6.2雅可比迭代法与高斯-赛德尔迭代法131
6.2.1雅可比迭代法131
6.2.2高斯-赛德尔迭代法133
6.3迭代法及其收敛性135
6.3.1矩阵序列的极限135
6.3.2迭代法的收敛性136
6.3.3特殊方程组迭代法的收敛性139
6.3.4误差估计141
6.3.5迭代法的收敛速度143
6.4逐次超松弛迭代法144
6.4.1超松弛迭代法的基本思想144
6.4.2超松弛迭代法的矩阵形式144
6.4.3超松弛法的收敛性145
习题6148
数值实验题149
第7章非线性方程求根150
7.1方程求根问题150
7.1.1方程求根简介150
7.1.2二分法150
7.2线性插值方法154
7.2.1割线法154
7.2.2牛顿法155
7.3不动点迭代法157
7.3.1不动点与不动点迭代法157
7.3.2不动点的存在性与迭代法的收敛性160
7.4迭代法的误差分析及牛顿法收敛性再讨论162
7.4.1迭代法的误差分析162
7.4.2牛顿法收敛性再讨论166
7.5迭代法收敛的加速方法170
7.5.1艾特肯加速收敛方法170
7.5.2斯特芬森迭代法172
7.6多项式零点与抛物线法174
7.6.1秦九韶算法174
7.6.2多项式全部根求解问题177
7.6.3抛物线法178
7.7非线性方程组的解法182
7.7.1非线性方程组182
7.7.2非线性方程组的牛顿迭代法183
7.7.3多变量方程的不动点迭代法185
习题7187
数值实验题188
第8章矩阵特征值与特征向量190
8.1基本概念与特征值分布190
8.2乘幂法与反幂法196
8.2.1乘幂法196
8.2.2乘幂法的加速技术200
8.2.3反幂法203
8.3矩阵的正交三角化205
8.3.1豪斯霍尔德变换206
8.3.2吉文斯变换208
8.4QR分解与QR算法210
8.4.1QR分解211
8.4.2QR算法213
习题8215
数值实验题216
第9章常微分方程初值问题的数值解法218
9.1引言218
9.1.1常微分方程初值问题218
9.1.2什么是常微分方程数值解法219
9.2欧拉法与梯形方法220
9.2.1欧拉法220
9.2.2梯形方法222
9.2.3梯形公式的预估-校正方法223
9.2.4单步法的局部截断误差及其阶224
9.3龙格-库塔方法226
9.3.1显式龙格-库塔方法的一般形式226
9.3.2二级二阶显式龙格-库塔方法227
9.3.3三级三阶与四级四阶显式龙格-库塔方法228
9.4初值问题单步法的相容性、收敛性与稳定性230
9.4.1相容性230
9.4.2收敛性231
9.4.3稳定性232
9.5最线性多步法233
9.5.1亚当斯方法234
9.5.2汉明方法237
9.5.3预估-校正方法239
9.6线性多步法的相容性、收敛性与稳定性240
9.6.1相容性240
9.6.2收敛性241
9.6.3稳定性241
习题9241
数值实验题243
0章傅里叶变换与小波变换244
10.1傅里叶级数244
10.2傅里叶变换245
10.2.1连续函数的傅里叶变换245
10.2.2δ-函数的定义及其性质246
10.2.3离散函数的傅里叶变换248
10.3傅里叶变换的性质250
10.3.1傅里叶变换的基本性质250
10.3.2离散快速傅里叶变换253
10.4尺度空间与小波空间254
10.4.1L2(R)空间及其特性254
10.4.2尺度函数与小波函数、尺度空间与小波空间255
10.5小波变换及其应用258
10.5.1小波变换258
10.5.2快速小波变换259
习题10264
数值实验题265
1章偏微分方程数值解初步267
11.1偏微分方程的基本概念与分类267
11.1.1偏微分方程的基本概念267
11.1.2线性偏微分方程的分类269
11.1.3一些典型的偏微分方程269
11.2偏微分方程的定解问题271
11.2.1椭圆型偏微分方程的定解问题271
11.2.2抛物型偏微分方程的定解问题272
11.2.3双曲型偏微分方程的定解问题272
11.3偏微分方程有限差分方法273
11.3.1有限差分方法网格剖分274
11.3.2有限差分格式274
11.3.3隐式差分格式276
11.3.4有限差分格式的相容性、收敛性和稳定性276
11.4抛物型偏微分方程有限差分方法278
11.4.1向前差分格式、向后差分格式278
11.4.2数值算例279
11.5椭圆型偏微分方程有限差分方法281
11.5.1泊松方程的五点差分格式281
11.5.2差分格式的性质282
11.5.3数值算例282
11.6双曲型偏微分方程有限差分方法286
11.6.1迎风格式286
11.6.2拉克斯-弗里德里希斯格式287
11.6.3拉克斯-温德罗夫格式287
11.6.4双曲型方程差分格式收敛的必要条件287
11.6.5数值算例288
习题11288
数值实验题290
参考文献291

《现代数值分析》是高等工业学校工科专业硕士研究生的一门必修的数学理论与计算技术相结合的应用型课程。本教程介绍常用数值方法及现代计算数学理论的构造和使用，内容包括误差理论、线性代数方程组的直接法与迭代法、非线性代数方程和方程组的迭代法、常微分方程的数值解法