《数理逻辑导引》是作者在新加坡国立大学、北京大学和中国科学院大学为本科高年级学生开设的数理逻辑选修课和在新加坡国立大学、中国科学院数学与系统科学研究院为研究生开设的专业课程所写讲义基础上整理出来的结果。《数理逻辑导引》主要由一阶逻辑的核心内容和有关数的逻辑探索和分析两大部分组成，其中包括完备性、紧致性、同质缩小、型省略等基本定理；有关数的经典理论的接近性和可定义性分析；哥德尔不接近性定理、丘奇不可判定性定理、塔尔斯基自然数标准模型真相不可定义性定理以及巴黎-哈灵顿不接近性定理。

《现代数学基础丛书》序
序言
第0章引言1
靠前章命题逻辑10
1.1基本问题10
1.2命题表达式12
1.3逻辑赋值与可满足性14
1.4布尔函数可表示性16
1.5可证明性与一致性19
1.6形式证明的几组例子22
1.7完备性28
1.8靠前完备性证明30
1.9命题逻辑紧致性34
1.10命题范式35
1.11命题逻辑与布尔代数38
1.12练习40
第2章一阶语言和一阶结构43
2.1一组经典例子43
2.2一阶语言44
2.2.1符号44
2.2.2项45
2.2.3表达式47
2.2.4自由变元和受囿变元50
2.2.5替换与可替换性51
2.3一阶结构52
2.3.1项赋值53
2.3.2满足关系54
2.3.3局部确定性定理55
2.3.4替换定理59
2.3.5缩写表达式68
2.4几个一阶语言和结构的例子69
2.5数与数的集合79
2.5.1自然数81
2.5.2整数84
2.5.3有理数85
2.5.4实数86
2.5.5复数91
2.6练习91
第3章一阶结构之同构、同样与同质93
3.1预备知识：可数与不可数93
3.2一阶结构之同构与同样95
3.2.1有理数轴95
3.2.2同构100
3.2.3同样103
3.3可定义性104
3.3.1可定义性104
3.3.2不变性107
3.3.3实数轴区间定理108
3.4同质子结构110
3.4.1子结构、扩充结构与裁减结构110
3.4.2结构元态与全息图112
3.4.3同质子结构112
3.4.4同质与同样113
3.4.5塔尔斯基判定准则114
3.4.6实数轴同质子轴116
3.4.7同质缩小定理117
3.4.8稠密线性序120
3.4.9嵌入与同质嵌入120
3.5练习123
第4章逻辑推理与逻辑结论128
4.1逻辑推理128
4.1.1逻辑公理128
4.1.2推理129
4.2推理细致分析定理130
4.2.1演绎定理130
4.2.2全体化定理133
4.2.3常元省略定理133
4.2.4等式定理136
4.3逻辑结论138
4.3.1可满足性138
4.3.2真实性与模型138
4.3.3逻辑结论140
4.3.4基本问题141
4.3.5范例141
4.4一阶逻辑系统之完备性149
4.4.1可靠性定理149
4.4.2哥德尔完备性定理152
4.4.3极大一致性152
4.4.4自显存在特性153
4.4.5可满足性定理155
4.4.6扩展定理164
4.4.7节省常元方法166
4.5LA—哥德尔完备性定理168
4.5.1谓词符省略引理169
4.5.2函数符省略引理169
4.5.3无关符号忽略定理170
4.5.4前束范式171
4.6练习176
第5章同质放大模型178
5.1紧致性定理178
5.1.1关于有限之概念178
5.1.2关于秩序之概念182
5.2同质放大定理182
5.3第二紧致性定理184
5.4超积和超幂186
5.4.1超滤子存在定理186
5.4.2超积与超幂187
5.4.3超积基本定理189
5.4.4超积构造六例191
5.5同质放大链193
5.6练习199
第6章接近性与模型接近性202
6.1接近性202
6.1.1等势同构205
6.1.2有理数区间代数理论206
6.1.3可数广集模型209
6.2量词消去210
6.2.1接近性充分条件213
6.2.2Todl适合量词消去214
6.3子结构接近性222
6.3.1Todl具备子结构接近性226
6.3.2TdBA具备子结构接近性227
6.4模型接近性228
6.4.1量词简化231
6.4.2模型接近性与*2—理论236
6.5练习237
第7章可数模型240
7.1类型排斥定理240
7.1.1类型240
7.1.2接纳与排斥242
7.1.3例子246
7.1.4根本型248
7.1.5局部排斥型249
7.1.6型排斥定理251
7.2可数等势同构类型特征256
7.2.1可数等势同构特征定理256
7.2.2可数模型的个数与Vaught猜想261
7.3类型空间261
7.3.1稳定性263
7.3.2型与超滤子265
7.4饱和模型268
7.4.1有理数轴饱和性268
7.4.2饱和结构270
7.4.3可数饱和模型271
7.4.4w1—饱和结构277
7.5基本模型279
7.6靠前自同构模型287
7.6.1非刚性与无差别元集287
7.6.2自然数集合划分定理289
7.6.3无穷无差别元子集模型定理293
7.6.4内置斯科伦函数与斯科伦闭包294
7.7练习298
第8章代数封闭域理论301
8.1代数封闭域同构分类301
8.2代数封闭域适合消去量词302
8.3ACF子结构接近性307
8.4代数封闭域饱和特性308
8.5复数域与特征为素数的代数封闭域310
8.6练习313
第9章实封闭域理论315
9.1实数域公理化315
9.2实封闭域理论与有序实封闭域理论320
9.3有序实封闭域理论适合消去量词323
9.4实封闭域模型接近性325
9.5半代数子集327
9.6练习334
靠前0章有理数加法算术理论336
10.1有理数加法群理论336
10.1.1公理刻画Tdag336
10.1.2Tdag—接近性337
10.1.3Tdag强极小性342
10.1.4T1dag—理论342
10.1.5序可定义性问题343
10.2有理数有序加法群理论345
10.2.1公理刻画Todag345
10.2.2Todag—接近性347
10.2.3Todag—序极小性349
10.3练习350
靠前1章整数加法算术理论352
11.1多种整数加法算术理论352
11.1.1六个结构352
11.1.2三种公理化353
11.2强整数加法群理论356
11.2.1特征0模数同余加法群理论356
11.2.2整数序不可定义性361
11.3整数有序强加法群理论362
11.3.1有序模数同余加法群理论362
11.4普瑞斯柏格算术理论369
11.4.1初等整数有序加法理论TI369
11.4.2非标准模型Z0370
11.4.3普瑞斯柏格算术理论Tpr371
11.4.4Tpr之保守扩充372
11.5练习378
靠前2章自然数序理论与有序加法理论381
12.1自然数序理论381
12.1.1自然数序公理化381
12.1.2半整齐模型384
12.1.3自然数序之饱和模型390
12.1.4自然数序理论接近性395
12.2自然数有序加法理论399
12.2.1有序强加法幺半群理论399
12.2.2有序模数同余加法幺半群理论400
12.2.3保守扩充Toasg411
12.3练习411
靠前3章自然数算术理论415
13.1初等数论416
13.1.1初等数论之不接近性416
13.1.2TN与自然数∑1真相419
13.1.3∑1真相定理之形式证明424
13.2哥德尔靠前不接近性定理430
13.2.1序列数432
13.2.2符号数与表示数435
13.2.3基本逻辑概念表示437
13.2.4逻辑公理谓词439
13.2.5可计算性与递归函数443
13.2.6有效公理化与可判定性449
13.2.7可表示性451
13.2.8哥德尔不动点引理456
13.2.9哥德尔靠前不接近性定理457
13.2.10不可判定性与真相不可定义性459
13.3哥德尔第二不接近性定理460
13.3.1依定义扩充461
13.3.2皮阿诺算术理论递归扩充468
13.3.3TPA递归扩充之∑1—接近性477
13.3.4PAf知道TPA之∑1接近性480
13.3.5一个不可被TPA所证明的п1真语句483
13.3.6形式化PAf之证明485
13.4巴黎—哈灵顿划分原理之独立性488
13.4.1自然数压缩写像划分原理488
13.4.2拉姆齐有限划分定理492
13.4.3皮阿诺算术模型中无差别元子集493
13.4.4巴黎—哈灵顿划分原理独立于皮阿诺算术理论497
13.5练习499
索引502
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