里奇·科克伦是一位作家和教育家。他是伦敦中央圣马丁分校美术数学中心的创始人，该中心为艺术家、设计师和其他数学和计算领域的人提供课程。里奇拥有数学和英国文学学位，以及哲学博士学位。著有《方程的秘密生活》一书。

前言
数学技巧
各种类型的数
结构的数学
连续性
空间中的数学
数学与现实的交汇
索引

1．多维度看全
约公元前300年，欧几里得完成了他的鸿篇巨作——“几何原本》，这是一本以几何为主要内容的数学事实合集，是有史以来被阅读得最为广泛的作品之一。
欧几里得的这本书不但内容经典，其成书格式也十分值得称道。全书基本只有公理、定理和证明这三个范畴的内容：初期是需要假设好哪些前提条件，从这些前提条件中可以证明出什么，以及我们是用什么方法得出结论的。
后来的数学作者们纷纷效仿、参照欧几里得的数学思路进行专业文本的写作。特别是在20世纪，一个极其精简的版本被开发出来，并自此成为数学文本的写作标准。现在，从教科书到研究论文，所有文本都采用公理、定理和证明这种写作形式。
数学研究通常包含从一组现存公理中证出新定理的过程，数学家们有时也会发明出一整组新公理。
2．关键点梳理
数学理论是可从一组给定的起始假设中证出的所有事实的集合。公理(也常称为“定义”)就是那些起始假设，它们决定了你会研究出怎样的理论。
如果你能用这些公理来进行论证，并从中推导出一个先前没人明确给出的结论，那么这个结论就被称作定理，用来得出这个结论的论证过程就是证明。证明步骤经审慎核查后确认无误，若公理为真，则得出的定理一定同样为真。
归纳法
通过连锁反应来进
行证明
1．多维度看全 如果我们想要证明，对于每一个比1大的自然数n，都有n2>n，不妨想象一串摆好了的无穷长的多米诺骨牌，其中第一张代表，2=2，第二张代表n=3，以此类推。我们规定，多米诺骨牌只有其对应的n值满足n2>n时才会倒下。
我们的目标是让所有的多米诺牌都倒下。我们可以试着去证明2。>2，之后证明32>3，然后一直这样下去，让它们一个接一个地倒下。但这种逐一证明的方法是没有尽头的，证明过程将无从完成，因此我们需要想出一个聪明的方法。
首先，证明第一张多米诺骨牌能倒下(即证明对于n=2，n2>2成立)。接下来证明，如果一张多米诺骨牌倒下，那么后面紧挨着它的那张也会倒下。由此可知，所有的多米诺骨牌最终一定会全部倒下——这就是用归纳法来证明的。
2．关键点梳理
基本情况是将n取其最小值，并代入我们所要证明的定理，看是否成立。在这个例子中，将n=2代入n2>n，得到22>2。由于224，且4>2，因而这一基本情况是真，第一张多米诺骨牌被撞倒了。
归纳法表示，如果该命题对任意的，z成立，那么它对n+1同样成立。也就是说，如果第n张多米诺骨牌倒下了，那么第n+1张多米诺骨牌也会随之倒下。在这个例子中，我们可以借助些许的代数知识推出，在z2>n时，(n+1)2>n+1的确恒成立。总之，每张倒下的多米诺骨牌都会撞倒它的下一张牌，这样一来，如果第一张多米诺骨牌倒下，那么之后所有的多米诺骨牌就都会倒下。所以，在基础情况被证明成立后，通过归纳法，我们可以证明该命题对随后所有的n均成立。P6-9

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前言
为什么写本书？
有这样一个古老的故事
：古埃及的国王托勒密一世
曾经将著名的几何学者欧几
里得任命为自己的私人教师
，但他很快就在学习几何的
道路上受挫了，因为几何实
在太难了，学了很久也不见
进展。随后，他便去请教欧
几里得：“是否存在某些捷
径，有助于快速掌握几何？
” 欧几里得的回答十分坚定
：“几何面前人人平等，纵
使是国王您想要掌握它，也
不会存在一条专设的捷径。
”
这个故事的真实性有待
考证，但类似的对话无疑已
经上演过无数回了。不单是
数学领域，在许多其他领域
里，同样没有通向成功的“
捷径”。举例来讲，在音乐
领域，音乐生们都要花大量
的时间练习音阶，而后才能
进行真正意义上的演奏；在
体育领域，运动员们要不断
进行基本功的训练，再进一
步培养竞技能力。这些有难
度的事物并不是随随便便就
能掌握的，它们都是需要历
经一段时间来积淀的。
数学的学习是没有捷径
的，但是如果只是想来数学
的世界里游览一番，我们是
可以规划出一条更好的行程
路线的。我们最好拥有一份
数学世界的地图，上面不但
标有我们可能想要游览的景
点，还提供了景点与景点之
间的路线图，以供参考对照
。本书就为想要游览数学世
界的你提供了这样一份地图
指南。由于数学这门学科太
过庞杂、广阔，初学者往往
望而生畏，尤其是在不了解
当地语言的情况下，他们很
有可能会“迷路”。将这本书
作为一本基本的常用语手册
来使用，就可以对这里的语
言有一定的了解，从而更加
自如地畅游数学世界。此外
，本书也不单单是理论与概
念的罗列，它在对这些内容
进行介绍之余， 还会为读
者呈现一种观点性的、导向
性的、解读性的视角。
阅览地图并不等同于真
正的实地体验，你也并不会
因读过本书而摇身变为一个
数学家，但是可以肯定的是
，你会对什么是数学、数学
研究的是什么有更进一步的
理解。本书所呈现出的内容
会和你在学校里学习的内容
有很大不同，它不太需要你
去记忆像河流长度、首都名
字这类细碎烦琐的教条式内
容，而会更侧重一种数学感
觉的培养，因为要想真正学
习数学，我们更应注重的是
沿途的经历，而非最后的终
点（没有谁“抵达”了终点；
每个人都是学徒，每个人都
在途中）。
在游览某座城市的时候
，我们最好能够了解到当地
历史建筑的建筑师姓名与建
成时间 ( 如果我们能了解到
)，但在此之外，我们更需
要掌握的还是这座城市的地
铁线路与酒店信息。同样，
本书在为你介绍数学领域内
的一些历史性内容（一些经
典理论以及它们的提出者与
发表时间）之余，关注点更
多地还是放在当今数学领域
内一些研究的进展情况上。
我已经努力在本书中涵盖当
今纯数学所有的主流领域，
并会对 20 世纪得出的一些
有着重大影响力的结论进行
介绍。这意味着，本书会包
含一些本身就很“高阶”的内
容，但对于这些内容，书中
也许并不会进行事无巨细的
阐述。比方说，本书并不能
真正详尽地为你讲述同调代
数所包含的具体内容，但是
它会让你了解到同调代数的
存在，并且了解到它在整个
数学领域里所处的位置。数
学领域内的一个个主题好像
一座座山峰，如果你真正决
定去攀登，一本指南书是远
远不够的。但是，你可以先
通过这本指南，了解到每一
座山峰的方位，并清楚人们
攀登它们的意义何在。
本书的结构
本书的第一部分是“数学
技巧”，其中包含一些所有
数学领域内通用的思想和技
巧。第二部分讲的是“各种
类型的数”，大多数外行人
都会认为这些内容就是数学
的全部了，然而事实并非如
此，这些和数相关的内容，
数学家们在 19、20 世纪就
已经研究得差不多了。其实
，数学不只限于对数的研究
，它还包含许多内容。比如
说，数学还包含了对结构的
研究，甚至还有人将数学称
作“结构的科学”，这也是本
书第三部分的主题。
本书的第四部分和第五
部分选取了两个不同但关系
密切的主题，总的来讲，它
们介绍了数学对时间和空间
的研究。在“连续性”这一部
分，我们主要介绍了微积分
，其中包含了我们用于研究
变化过程和其他连续现象的
一类技巧。微积分自被牛顿
和莱布尼茨发明以来，已经
历经了一系列的推广。
而在“空间中的数学”这
一部分中，我们可以了解到
几何是如何发展成为一个涵
盖了许多稀奇古怪事物的复
杂领域的。在这里，我将不
会去描述大部分科普书都会
涵盖的内容（比如莫比乌斯
带），而是会为大家介绍一
些更深层次的内容，比如拓
扑、黎曼几何和代数几何。
在本书的最后一部分——
“数学与现实的交汇”中，我
会将数学发展至今所取得的
一些成果与实际应用领域（
尤其是统计、算法、决策和
建模）进行适当的联结。我
们会以数学的角度，而不是
科学的角度去看待其中的一
些内容，并对它们重新进行
解读。
本书的特点
本书所包含的 100 个小
节都旨在帮助你对这一学科
获取一个总体而直观的理解
。书中的相关材

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