著者前言
洛绍序
译者序
引言
001 机会渺茫
中乐透大奖的可能性有多大？
002 数学真神奇
自然数的故事
003 船长贵庚？
数学的精确性
004 眩目的大素数
存在无穷多个素数的证明
005 负负得正？
帕隆多对策悖论
006 直觉不可恃
谷粒堆积问题
007 密码的关键
用随机数编码
008 不给自己理发
罗素悖论
009 金盆洗手待何时？
收手时机的数学定理
010 猴子能否写作？
打字机前的灵长类
011 同月同日生
生日相同的概率有多高？
012 真空与虚空
空集与集合运算
013 充分的逻辑很必要
充分与必要
014 改之不为过
条件概率与贝叶斯公式
015 客满也有空房
希尔伯特的旅馆
016 神奇的π
圆周率趣谈
017 随帆却可计算
概率论中的极限定理
018 百万大奖
素数分布规律问题与黎曼猜想
019 五维蛋糕
四维超立方体与高维空间
020 爱上一个人
数学与语言中的结合律与交换律
021 嫦娥奔月
数学的具体应用
022 剩余并非多余
模与剩余
023 绝对机密
RSA算法
024 魔性的数学
吉尔布雷思魔术
025 旷世奇才
高斯轶事
026 半音与12次方根
音律中的数学
027 经常站错队
排队论
028 被误解的“零”
“零”的前世今生
029 数数大有学问
二项式系数与组合数学的若干结果
030 自学威才
印度天才拉马努金
031 讨厌数学为哪般？
为什么这门学问不受待见？
032 旅行的推销员
P与NP是否相等?
033 化圆为方
尺规作图问题
034 向无穷迈进
数学归纳法
035 CD播放器与数学
编码与样本理论
036 行将灭绝的对数
对数的妙用
037 数学界的大奖
阿贝尔奖与菲尔兹奖
038 公理的由来
公理系统漫话
039 计算机证明
四色定理及其他
040 乐透中的小奖
中小奖的概率计算
041 思想的结晶
公式、符号与记号的优点
042 无尽的增长
e与指数函数
043 量子如何计算？
关于量子计算机
044 追求极致
关于极值问题
045 无穷小？
无穷小与非标准分析
046 消防与数学
第一类与第二类错误
047 最早的数学证明
欧几里得的《几何原本》
048 超越而非穿越
数字类型的层次
049 偶数与素数和
哥德巴赫猜想
050 条件概率之逆推
再说贝叶斯公式
051 十亿与万亿
不同语言间的记号差异
052 数学与国际象棋
游戏规则与公理
053 大自然的语言
数学与现实世界
054 神甫追逐的素数
梅森素数
055 最美数学公式
0=1+eiπ
056 第一次犯难
根号2与无理数
057 数学有时需要运气？
P与NP问题
058 3Z岁生日
十进制与其他进位制
059 布丰伯爵的针
圆周率的投针算法
060 “退火”与最优化
退火的模拟与推销员问题
061 到底谁逃票？
抽屉原理与存在性的非构造性证明
062 统计能做什么？
统计与质量控制
063 套利原理
金融行业中的套利、期权与无套利定价
064 期权与风险
看涨与看跌
065 数学是否与现实世界相符？
公理系统与悖论
066 听得见的数学
黑盒与傅立叶分析
067 电脑能当作曲家？
计算机作曲漫谈
068 骰子有罪吗？
我们对机会的错误理解
069 要命的冰淇淋
统计与谎言
070 共同富裕？
无穷世界中的连锁邮件
071 风险规避
金融数学中的对冲
072 数学的“诺贝尔奖”
阿贝尔与五次方程求根
073 蒙特卡洛方法
随机数计算双曲线下方的面积
074 弗晰逻辑
模糊数学与模糊控制
075 《圣经》真的很神吗？
数字神秘主义
076 纽结可队很扭曲
纽结理论与纽结不变量
077 必需的数学
为什么要学习数学？
078 天外有天
无穷大的层级
079 有可能正确
大概率事件与密码破译
080 弯曲的宇宙？
谈非欧几何
081 数学ISO？
数学术语的标准化
082 扇动翅膀的蝴蝶
混沌理论与线性问题
083 保证发财！
大数字现象
084 三十而立？
数学创造性随年龄增长而急速下降？
085 数学中的相等
不同语境中的相等
086 神奇的不变量
数学与魔术
087 影片中的数学
电影是如何表现数学的？
088 平躺着的8
无穷及其计算
089 书的边缘不够宽
费马大定理与无穷递降法
090 用数学看穿五脏
计算机断层扫描与逆问题求解
091 计算机里的大脑
神经网络与感知
092 我恩故我在
笛卡尔坐标系
093 宇宙是否有孔洞？
庞加莱猜想浅谈
094 复数并不复杂
复数介绍
095 埃舍尔的图
埃舍尔、图形、无穷与密铺
096 万物生于1
本福特定律
097 莱比锡市政厅与向日葵
黄金分割与菲波纳契数列
098 最优信息包
编码理论、汉明码与校验
099 地图只需四种颜色
四色定理与图论
100 学数学，致巨富
谷歌的算法
索引

001 机会渺茫
中乐透大奖的可能性有多大？
为讨论方便，我们假设，你生活在像柏林或者汉堡那样的大城市里，坐在公共汽车上。恰好，一位乘客下车，却粗心地把雨伞忘在车上。你将那把雨伞带回家，然后拿起本市的电话黄页本，随机挑出7个号码来拨打，希望能碰巧打到雨伞主人的电话上。
这当然是一个纯粹虚构的故事，而这种寻找失主的方式在现实中会让人笑掉大牙，它太异想天开，毫无成功的可能。但是，请别笑得太早了！你身边有很多的同胞，每个周末晚上都希望能够挑中正确的乐透大奖号码，而这成功的可能性只有1／13983816！比起上面虚构的寻找雨伞主人的办法，中乐透大奖的成功率还要小得多——因为，乐透的六个数字，总共有超过1000万种组合！
很多乐透玩家选择以往不经常出现的数字，觉得这样做的成功率会高于上述概率。但是，这种策略毫无依据，因为未来的随机选择不会“记得”以往发生的事情。一个数字，比方说13，即便它在今天之前很长一段时间里都没有出现在乐透大奖的数字序列里，今天它出现的概率也不会有任何变化，仍然和其他数字出现的概率完全一样。另一些玩家则自己“发明”选择公式，相信它可以打败概率。然而，这种努力也绝对是徒劳无功，这在几十年前就已经从理论上被严格证明。
我们最后给大家一点忠告：乐透玩家事实上还是可以做一点事情的，那就是选择多数其他乐透玩家不会选中的数字组合。这并不能增加中奖的可能性，但是万一中奖，与其他中奖者平分奖金的可能性将会小一些。当然，说比做总是要容易得多。最近有一次，很多幸运的乐透中奖者发现，他们的暴富之梦大大缩水，因为中奖人数出人意料的多，而其原因是：中奖的数字在奖票上构成十字形状，因而被很多乐透玩家选中。
当然，乐透赢得的钱可以做很多很多的事情，对这种期望产生的甜蜜感，数学是元活可说的，我们只能说：祝君好运！
为什么恰好是13983816？
乐透大奖之数字组合的总数是13983816。那么，数学家是怎么得到这个准确的数字的呢？我们来看看其中的数学道理。我们选择两个数，称为n和k，并且假设n大于k。我们的问题是：k个元素的集合总共有多少个k个元素的子集合？
这像是一个抽象的数学问题，但它与我们关于乐透的问题直接相关。一种乐透的数字组合，说到底无非是从l到49这49个数字中选出6个数字。这就是说，它是我们上述一般性问题在n＝49，而k＝6时的情形。相似地，我们可以举出其他的例子，比如：
·对n＝52，k＝5，这等于在考虑从一副52张的扑克牌中抽出5张，总共有多少种结果的问题。
·如果在一次由14个人参加的会议上，每两个人都相互握手一次，我们想知道总共有多少次握手的话，那就要考虑n＝14，k＝2的情况。
我们回到一般性问题，它的答案虽然是整数，但通常的表示形式是一个分数，它以n（n－1）…（n－k＋1）为分子，而以1×2×…×k为分母。这样的分子对于初学者来说好像有点吓人，但它不过是从n开始向下的连续k个整数的乘积而已。（对这个公式来历有兴趣的读者在第29篇可以找到答案。）
下面我们举几个例子：
·对我们的乐透问题，我们需要将49×48×47×46×45×44除以1×2×3×4×5×6，而其结果正是13983816。
·对扑克牌问题，我们计算52×51×50×49×48除以1×2×3×4×5所得的商，结果等于2598960。由于这些组合之中只有4种王牌同花顺，即4种花色的从A到10的顺子。因此，得到王牌同花顺的概率是4／2598960＝1／649740。换句话说，
大约每200万次抽牌会出现3次王牌同花顺。
·握手问题很简单，通过心算就可以完成：14×13除以1×2，结果等于91。4千米高的一摞牌
我们前面虚构了随机挑选电话号码以寻找雨伞失主的方式，它可以帮助我们理解乐透大奖中奖可能性之微小。类似的例子并不难得，下面我们再举一个：
首先，如果把13983816张牌摞在一起，它的总高度将达到4。37千米。现在，我们假设其中只有一张做过记号，那么只抽一次却恰恰抽中做过记号的牌的可能性，就与买一张彩票就中得乐透大奖的概率一样。我们顺便在这里指出，同样用扑克牌打比方，德国超级乐透大奖的概率，相当于从4。37千米高的一摞扑克牌中一次即抽中唯一做过记号的牌张。意大利的乐透
几乎每个国家都有乐透，但规则却各不相同。我们可以拿意大利的乐透来做例子，它的乐透有两种不同的玩法。通常的玩法是在总共90个数字的彩票上选取2个、3个、4个或5个数字。开奖时公布的是5个数字，是否中了什么奖取决于我们选中了其中多少个数字。如果我们选5个数字，那么它和德国的乐透是相似的，只不过相当于n＝90，而k＝5的情形。计算90×89×88×87×86除以1×2×3×4×5，我们得到数字组合的总数为43949268，比德国的乐透更难中奖。
意大利的另一种乐透是“90选6”的变体，它有622614630可能的得奖数字组合，与德国超级乐透一样是中奖概率极低的彩票。
德国乐透有一个规则

这本书的内容总共分为100篇，每篇介绍一个数学话题，平均每篇阅读时间大约为五分钟。贝兰茨博士凭借巧妙的切入点，以简短的篇幅，深入浅出地讲述、剖析一个又一个有趣的与数学紧密相关的问题。简短、易读而又有趣，这是本书最大的特色，是它最为成功的地方。

第1版前言
在2003年，德国全国
性报纸上第一个数学专栏
诞生于影响卓著的《世界
报》（DIEWELT）。每个
星期一，《世界报》都会
在它的《五分钟数学》专
栏刊登一篇数学文章，而
《柏林人邮报》则在数周
后异步转载。
两年之后，100篇专栏
文章公诸于世。这些文章
题材广泛，有兴趣的读者
可以从中读到涉及数学很
多方面的内容：密码学与
编码理论，迷人的素数与
无穷，CD播放器以及计
算机断层扫描技术的数学
原理，曾经引起广泛讨论
的“三门问题”等迷人的概
率论话题，等等。
本书收入该专栏迄今
所刊载的全部文章，文章
收入时经过认真的编辑，
添加了注释和插图。正因
此，本书的篇幅比原来的
专栏增加了一倍。
对不具备专业数学知
识，又想要了解当代数学
诸方面的读者，这是一本
很合适的休闲数学书。当
然，作者也希望在学校中
饱受数学摧残的读者相信
，擞学不是枯燥无趣的，
它事实上充满魅力，读起
来让人兴奋不已。
埃温哈德·贝兰茨
2006年7月于柏林
第2版前言
《五分钟数学》出版
以来受到了广泛的欢迎，
现在已经有了日语和英语
译本。与英文译者大卫·
克雷默的交流让我受益甚
多，他指出了多处打字及
排版错误，对书中一些地
方提出非常有益的问题，
这让我们得以纠正原版的
排印错误，同时对某些文
章做出更易于读者理解的
修改。
需要指出的是，《五
分钟数学》专栏目前依然
在《世界报》继续刊登。
现在，12位作者共同担任
专栏作者，每人负责一个
月，而我自己则负责专栏
的协调工作。
埃温哈德·贝兰茨
2008年5月于柏林
第3版前言
本版增加了若干新的
内容，特别应该指出的是
，我们增加了关于乐透彩
票、指数增长等内容的短
视频的链接，扫描书中提
供的二维码①，读者就可
以在Youtube上观看这些
视频。
我非常高兴的是，本
书的成功并不局限于德国
的版图之内，它在2006年
被译为日文，2008年被译
为英文，并在2012年被译
为法文，而意大利文、俄
文和土耳其文版本也将在
不久之后面世。
亲爱的读者，请您们
相信，数学确实具有很多
有趣的方面，它是我扪文
化的一个重要部分。更关
键的是，即便没有特殊的
数学教育背景，您也能够
欣赏许多数学的美妙。
埃温哈德·贝兰茨
2012年12月于柏林

2003年，德国《世界报》不畏艰难，把数学题材引入报纸专栏，结果取得巨大成功。根据该专栏100篇文章结集的《五分钟数学》风靡世界，多次再版，并被翻译成英、法、俄、意、日、韩、土等多个语种在数十个国家出版发行，对于中国读者来说，这是一本迟来的数学科普名著。
数学世界常常令人敬畏又头疼，但通过阅读本书题材广泛的内容，读者可以认识到：数学是有用的，数学是迷人的，数学是自然的语言。这本书为我们挖掘了当代生活中蕴含的丰富有趣的数学素材，从乐透中奖的可能性、三门问题等概率论问题，到期权交易、对冲与风险等金融数学话题；从棋盘上堆放谷粒的数量、音乐与数学的关系等趣味数学的传统内容，到庞加莱猜想、量子计算机等新时代热门的讨论对象……向读者展示了由基础数学、应用数学、金融数学以及日常生活中的数学所构成的、广阔而新奇的数学天地。书中还讲述了数学发展史上的传奇故事和伟大人物，启发我们要继续沿着数学道路去理解这个世界。
文章简短易读，文笔洗练有趣，是本书最大的特色，也是它最为成功的地方。这是一本为所有学校里的和走出学校的人准备的数学科普书。正如作者所言：“数学确实具有很多有趣的方面，它是我们文化的一个重要部分。更关键的是，即便没有特殊的数学教育背景，您也能够欣赏许多数学的美妙。”