在《数学思想概论(第4辑数学中的归纳推理)》中，将从数学的角度讨论推断所依赖的推理模式。虽然这种推理不能成为严格的数学证明，但这种推理依然是具有逻辑性的，称这种推理模式为归纳推理。归纳推理的定义：从经验和概念出发，按照某些法则所进行的、前提与结论之间有或然联系的推理。比较演绎推理的定义可以看到，归纳推理与演绎推理的出发点是根本不同的。特别是，归纳推理比演绎推理要灵活得多，这是因为：在推理过程中，“概念”是必要的，但不需要抽象为严格的定义；“法则”是必要的，但不需要确立为严格的规定；前提与结果之间的“联系”是必要的，但这种联系可以是或然的。正因为归纳推理具有这种灵活性，才可能从事物(事情和实物)的现实出发，对事物的过去或者未来进行推断。

绪论 为了推断的推理
第一讲 原始推理的基础：想象和抽象
§1．1 人与动物的区别
是劳动吗？是思维吗？是直立行走吗？容量扩充了的大脑．特
殊的发音器官．想象能力．抽象能力．
§1．2 智力如何形成
脑的构造．大脑皮层的区域功能．计算机的启发．早期教育．智力
开发．
§1．3 基本思维能力
智商不是思维的基础．思维是由想象和抽象派生的．爱因斯坦的
思考．范仲淹的想象．
§1．4 直觉有时是不可靠的
直观不是直觉．直观需要逻辑判断．眼见为实吗？一些几何学的
例子．
第二讲 基础思维的对象：类
§2．1 基于联想的思维
认识是从观察开始的，想象是从联想开始的．联想的三个定律．
联想的结果是类．
§2．2 通过共相得到类
如何得到类．形式分类．实质分类．自然数的类．方程解的类．
§2．3 通过异相划分类
如何区分类．区分牛和马．有限单群分类．有理数的认识．三角形
的认识．
第三讲 知识形成与归纳推理
§3．1 定义与类的关系
类是定义的基础．函数定义的形成过程．点线面定义的形成
过程．
§3．2 知识形成过程中的归纳推理
知识与定义的关系．通过“风险”的认知过程理解归纳推理的
效能．
§3．3归纳推理与类的关系
归纳推理与抽象．归纳推理是基于类的推理．归纳推理也作用于
类的形成过程．
第四讲 基于一个类的归纳推理门
§4．1 结果可能是必然的归纳推理
推理模式．哥德巴赫猜想．费马大定理．
§4．2 如何让学生感悟归纳推理的过程门
积累思维的经验．分数的除法．参数方程．计算公式的形成．
§4．3 结果已知是或然的归纳推理门
推理模式．废品率的推断．动物数量的推断．社会问题的推断．
第五讲 归纳推理的合理性门
§5．1 最大可能Jl生原则门
基于概率的思维解释．数学定义的概率．模型中的概率．频率．最
大可能性估计．
§5．2 归纳推理的原理
归纳推理的出发点．自然齐一性原理．概率是事物的属性．平均
相等标准．极限相等标准．
§5．3 偶然与必然：一个遗传学的启示
事物的发生形态．必然不可知．孟德尔的思维过程．构建必然的
假说．通过偶然验证假说．一个统计学的工具．判断真理的
原则．
§5．4 原因与结果：休谟问题
原因是结果的必要条件．原因的层次．原因的界定．联系恒定性
原理．因果模型．药物的有效性．经济增长原因．休谟问题的
回答．
§5．5 归纳推理的有限性
存在确切观察的不可能的情况．测不准原理．历史的不可重复
性．序列延续．混沌．周期．随机游走．
第六讲 基于两个类的归纳推理
§6．1 结论可能是必然的类比
参照另一个类已知结论的推理．类比的推理模式．点的表示与两
点间距离．角的大小与向量的内积．球与球的表面．
§6．2 结论已知是或然的类比
参照另一个类可能结果的推理模式．股票价格推断．彩票中奖
推断．
§6．3 基于两个类推理的可能性
类比方法与归纳方法的区别．类比方法与归纳方法本质的一致
性．《墨经》的启发．如何进行类比方法的教学．
人名索引