本书前3章主要介绍了Riemann流形、Riemann联络、Riemann截曲率、Ricci曲率和数量曲率，详细论述了全测地、全脐点和极小子流形等重要内容。此外，还应用变分和Jacobi场讨论了测地线、极小子流形的长度与体积的极小性。在证明了Hodge分解定理之后，论述了Laplace-Beltrami算子△的特征值估计以及谱理论。进而，介绍了Riemann几何中重要的Rauch比较定理、Hessian比较定理、Laplace比较定理和体积比较定理。作为比较定理的应用，我们有著名的拓扑球面定理。这些内容可视作近代微分几何必备的专业基础知识。在叙述时，我们同时采用了不变观点（映射观点、近代观点）、坐标观点（古典观点）和活动标架法。无疑，这些对阅读文献和增强研究能力会起很大作用。第4章、第5章是作者关于特征值的估计和等谱问题、曲率与拓扑不变量等方面部分论文的汇集，将引导读者如何去阅读文献，如何去作研究，以及如何取得高水平的成果。
本书可作为理科大学数学系几何拓扑方向硕士生、博士生的参考书，也可作为相关数学研究人员的参考书。

序言
前言
第1章 Levi-Civita联络和Riemann截曲率
1.1 向量丛上的线性联络
1.2 切丛上的线性联络、向量场的平移和测地线
1.3 Levi-Civita联络和Riemann流形基本定理
1.4 Riemann截曲率、Ricci曲率、数量曲率和常截曲率流形
1.5 C∞浸入子流形的Riemann联络
1.6 活动标架
1.7 C∞函数空间C∞(M，R)=C∞(∧0M)=F0(M)上的Laplace算子△
1.8 全测地、极小和全脐子流形
1.9 Euclid空间和Euclid球面中的极小子流形
1.10 指数映射、Jacobi场、共轭点和割迹
1.11 长度和体积的第1、第2变分公式
第2章 Laplace算子△的特征值、Hodge分解定理、谱理论和等谱问题
2.1 星算子*、上微分算子δ、微分形式Fs(M)=C∞(∧sM)上的Laplace算子△
2.2 Hodge分解定理
2.3 不可定向紧致C∞Riemann流形的Hodge分解定理
2.4 Laplace算子△的特征值
2.5 主特征值的估计
2.6 等谱问题
第3章 Riemann几何中的比较定理
3.1 Rauch比较定理、Hessian比较定理、Laplace算子比较定理、体积比较定理
3.2 拓扑球面定理
第4章 特征值的估计和等谱问题的研究
4.1 紧致Riemann流形上第1特征值的估计
4.2 关于Laplace算子的大特征值
4.3 紧致流形的Laplace算子的谱
4.4 球面上紧致子流形的等谱问题
4.5 Clifford超曲面Mn1，n2的谱
4.6 紧致极小超曲面上Laplace算子的谱
4.7 紧致超曲面上Laplace算子的谱
第5章 曲率与拓扑不变量
5.1 具有非负Ricci曲率和大体积增长的开流形
5.2 完备非紧流形上射线的excess函数
5.3 具有非负Ricci曲率的开流形的拓扑
5.4 具有非负曲率完备流形的体积增长及其拓扑
5.5 小excess与开流形的拓扑
5.6 曲率下界与有限拓扑型
5.7 excess函数的一个应用
5.8 小excess和Ricci曲率具有负下界的开流形的拓扑
5.9 具有非负Ricci曲率的开流形的基本群(Ⅰ)
5.10 具有非负Ricci曲率的开流形的基本群(Ⅱ)
5.11 渐近非负Ricci曲率和弱有界几何的完备流形
5.12 曲率与Betti数
5.13 球面同伦群的伸缩不变量
5.14 积分Ricci曲率有下界对基本群和第1 Betti数的限制
5.15 具有有限调和指标的极小超曲面
参考文献