在16—17世纪，赌博玩家和数学家把随机性从一个难解之谜变成了概率论，在诸多领域中引发了一系列变化和突破，从赌博、数学、统计学、经济学、金融学、物理学到计算机科学。这本书讲述了关于概率的10个伟大思想背后的故事：是谁构建了这些伟大的思想？这些思想的哲学意义和应用价值体现在哪些方面？
两位作者从16世纪的医生、数学家、专业的赌博玩家吉罗拉莫·卡尔达诺讲起，卡尔达诺提出了“概率确实可以测度”的伟大思想。之后的思想家又陆续就“频率与概率之间有什么关系”“贝叶斯定理如何改变了世界”“如何用数学方法解决概率问题”“如何用图灵机生成随机序列”“如何用概率论回答休谟问题”等问题进行了长久的争论、探索和研究。
这10堂课可谓星光熠熠，智识云集，妙趣横生。牛顿、休谟、拉普拉斯、贝叶斯、伯努利、帕斯卡、费马、希尔伯特、玻尔兹曼、庞加莱、冯·诺依曼、丹尼尔·卡尼曼等众位大师会在书中为你授课，讲述概率与数学、经典力学、统计学、哲学、量子力学、计算机科学、宇宙学等学科的“缘分”，解密概率与台球、硬币、骰子、扑克牌、薛定谔的猫、图灵机、鹅卵石、狗身上的跳蚤、你的银行卡密码之间的“黑盒子”。
概率课开始了，赶快坐好听讲吧！

前言
第1课 概率是可以测度的
概率测度的开始
帕斯卡和费马
惠更斯
伯努利
小结
附录1 帕斯卡和费马
附录2 抛硬币的物理学原理
附录3 巧合与生日问题
第2课 相关性判断就是概率
部分Ⅰ：赌博与判断概率
部分Ⅱ：效用与判断概率
小结
附录1 条件赌注的相关性
附录2 概率运动学
第3课 概率心理学不同于概率逻辑学
启发法和偏见
框架
小结
附录1 埃尔斯伯格：有序性还是独立性？
附录2 动态一致性与阿莱
第4课 频率与概率之间有什么关系？
雅各布·伯努利与弱大数定律
伯努利骗局与频率主义
伯努利骗局与假设检验
频率学派的中坚力量
对理想化方法的再思考
小结
第5课 如何用数学方法解决概率问题？
在数学与现实之间Ⅰ
有限集的概率
集合的长度与概率
希尔伯特的第6个问题
柯尔莫哥洛夫的贡献
把概率论视为数学的一个分支
把条件概率视为随机变量
从有限维到无限维
在数学和现实之间Ⅱ
随机选择的整数？数学的旁白
柯尔莫哥洛夫对概率空间的有穷性的看法
小结
附录1 复杂集合的测度
附录2 不可测集
第6课 贝叶斯定理如何改变了世界？
贝叶斯vs休谟
贝叶斯的概率研究
反演问题与台球桌
拉普拉斯的玩笑
广义的拉普拉斯定律
相容性
为什么公开发表的研究结果大多是错的？
贝叶斯、伯努利和频率
改变世界
小结
附录 贝叶斯关于概率和统计学的思考
第7课 菲尼蒂定理与可交换概率
菲尼蒂的论著
有限可交换序列
菲尼蒂定理与一般可观测量
菲尼蒂定理与正态分布
马尔可夫链
部分可交换性
小结
附录1 遍历理论——菲尼蒂定理的推广
附录2 菲尼蒂可交换定理
第8课 如何用图灵机生成随机序列？
随机数生成器
随机算法理论
可计算性
马丁-洛夫随机序列
随机性的变化
小结
第9课 世界的本质是什么？
玻尔兹曼
概率、频率和遍历性
冯·诺依曼和伯克霍夫的遍历性研究
庞加莱
遍历性的层次结构
玻尔兹曼归来
量子力学
非定域性
量子概率归来
量子混沌
小结
附录 量子形而上学：窥视潘多拉的盒子
第10课 如何用概率论解答休谟问题？
休谟
康德
波普尔
归纳怀疑论的不同等级
贝叶斯-拉普拉斯
无知如何量化？
概率是否存在？
如果置信度不可交换，会怎么样？
那些用来描述世界的谓词呢？
附录 概率辅导课
符号：把事情记录下来
案例：非传递性悖论
基本事实：游戏规则
随机变量和期望
条件期望和鞅
案例：波利亚的罐子
从离散到连续再到更大空间
计算机登场
致谢
注释

这本书是由我们在斯坦福大学合作教授了约10年的一
门课程衍生而来的。这是一门大型的混合性课程，听课的
人是本科生或研究生，他们分别来自哲学、统计学和一些
交叉学科。随着课程的不断发展，我们越来越相信它的内
容应该可以吸引更多的听众。学习这门课的一个先决条件
，就是接触过一门概率论或统计学的课程，这本书的读者
同样需要满足这个条件。但是，考虑到某些读者可能是在
很久以前学过这类课程，我们在书中以附录的形式，对概
率论进行了一次简要的复习。
这本书涉及的内容包括历史、概率和哲学。我们不仅
介绍了概率论发展过程中的一些伟大思想及其历史，还致
力于探索这些思想的哲学意义。一位阅读过本书初稿的读
者抱怨说，读到最后，他仍然不了解我们关于概率的哲学
观点，原因或许是我们过于中立。这个问题现在已经解决
了，你会发现我们是彻头彻尾的贝叶斯学派，是贝叶斯
（Thomas Bayes）、拉普拉斯（Pierre-Simon Laplace
）、拉姆齐（Frank Ramsey）和菲尼蒂（Bruno de
Finetti）的信徒。有人认为贝叶斯学派是与频率学派相对
立的，而我们并不否认频率的重要性，或者讨论客观概率
的价值。不仅如此，我们还会在合理的置信度框架内统一
考虑这些问题。
在这本书的开头，我们与先驱者一起思考，涉及的工
具很简单。但到了后半部分，我们将回到当下，不可避免
地会接触到一些技术性细节。为了保证行文简洁流畅，我
们将把某些细节内容放到附录中，大家可以根据需要查阅
。我们还做了大量注释，以方便读者深入挖掘自己感兴趣
的内容。在这本书的最后，我们列出了一份参考书目。此
外，脚注也给出了较为详细的解释。
佩尔西·戴康尼斯
布赖恩·斯科姆斯

佩尔西·戴康尼斯、布赖恩·斯科姆斯著的《10堂极简概率课》是一本很棒的书，既剖析了概率的本质，又讲述了概率的思想史，其间还穿插介绍了量子物理、心理学和行为经济学的知识。它不但能吸引大众读者的目光，还能激发科学家在概率应用方面的思考。

这本引人入胜的书是对近年来出版的众多概率论
普及读物的一次受欢迎的“瘦身”。书中有众多接地
气的案例、启发思考的问题，读者可从这本书中学到
很多关于概率论和统计学的有用的新知识。
——约瑟夫·马祖尔（Joseph Mazur），美国万
宝路学院名誉教授、数学科普作家
这是一本很棒的书，既剖析了概率的本质，又讲
述了概率的思想史，其间还穿插介绍了量子物理、心
理学和行为经济学的知识。它不但能吸引大众读者的
目光，还能激发科学家在概率应用方面的思考。好书
！
——史蒂芬·谢弗（Stephen Schaefer），英国
伦敦商学院教授
在这本内容吸引人的书中，两位作者驱散了笼罩
在概率和随机性头上的“疑云”。从抛硬币到量子物
理，他们讲解了概率这个困扰众多学术大咖几个世纪
的问题。我无法想象，这本篇幅较短的书竟然能够容
纳下如此多的伟大思想！
——乔恩·埃尔斯特（Jon Elster），美国哥伦
比亚大学教授

要搞清楚一门学科的本质，认真研究该学科的开创者的想法是一条可行的路径。事实上，某些基础性哲学问题从一开始就是显而易见的。关于概率，我们的第1堂课要介绍的第一个伟大思想是：概率是可以测度的。这个观点的形成时间是16—17世纪，过程为何如此漫长，这个问题至今仍然是一个谜。希腊神话中有命运女神堤喀（Tyche）；德谟克利特（Democritus）及其追随者假设，构建宇宙的所有原子都会受到某种物质偶然性的影响；卢克莱修（Lucretius）在《物性论》（DeRerum Natura）中指出，这种偶然性就是原子的偏离；古埃及人和古巴比伦人学会了用指关节骨或骰子玩概率游戏，到了罗马时期，这种游戏流行开一来，士兵们通过抽签决定基督斗篷的归属。后来，古希腊学园派怀疑论者将概率视为人生的指南。不过，这些时期似乎都没有出现有关概率的定量理论。
想一想，我们是怎么测量东西的？以长度为例，我们会先找到一个长度标准，然后计数某个东西包含多少个这样的标准长度。比如，在我们用脚步测量距离时，这个长度标准就是我们的脚。但是，不同的脚有可能得出不同的测量结果，因此，1522年，有人提议改进法定路德（杆）的确定方法。如图1—1所示，当人们从教堂鱼贯而出时，将排成一列的16个人的脚的总长度设定为法定路德。从图1—1可以看出，这些人的脚长度不一，但通过一群人来设定这个长度单位具有明显的平均效应，因此很多人接受了这个方法。不过，当时似乎还没有人明确提出平均数这个概念。
我们有必要指出，这个方法存在哲学上的异议。我们的目的是定义长度，但在用脚长测量距离时，我们已经假定我们采用的长度标准等长。因此，这是一个循环论证的过程。
任何有头脑的人都不会因为这个异议而放弃用脚长测量距离的方法。我们的测量活动就始于此，最终建立并完善了长度的概念。脚的长度因人而异，路德会长短不一，标准米尺的长度在足够高的精度条件下也会各不相同。借助物理学知识，我们可以不断改进长度测量方法。因此，这确实是一个循环论证的过程，但它并不是一个致命的缺陷，反而为我们指明了一条趋于完善的道路。
概率的测度同样如此。在测度之前，我们先要找到（或者制造）同等可能性的情况，然后计数这些情况发生的次数。于是，事件A的概率，记作P（A），为
P（A）=事件A发生的次数/所有可能发生的事件的次数
注意，从上式可知：
1、概率永远不会是负值：
2、如果所有可能发生的情况中均包含事件A，则P（A）=1；
3、如果事件A和事件B不会同时发生，则P（A或B）=P（A）+P（B）。
此外，某个事件不会发生的概率等于1与该事件发生概率的差：
P（非A）=1-P（A）。
这个概念虽然十分简单，但如果运用得巧妙得当，就会产生令人惊讶的效果。我们以生日问题为例。如果不考虑闰年，并且假设出生日期的概率均相等，每个人的生日相互独立（即没有双胞胎），那么房间内的所有人中至少有两个人的生日在同一天的概率是多少？如果你以前没有见过这个问题，它的答案肯定会让你大吃一惊。
一群人中有人生日在同一天的概率等于1减去所有人生日均不相同的概率。第二个人与第一个人的生日不同的概率为（364／365）。如果前两个人的生日不同，那么第三个人的生日与他们俩都不相同的概率为（363／365），以此类推。因此，Ⅳ个人中有人生日相同的概率为
□（数学公式）
如果你对同额赌注感兴趣，就可以利用上述公式，找到使输赢概率趋近1／2的Ⅳ的值。当房间里一共有23个人时，生日相同的概率会略高于1／2。如果房间里有50个人，这个概率就会接近97％。
人们经常利用生日问题来考虑一些令人吃惊的巧合情况，因此生日问题出现了很多变种。比如，两个美国人的生日相同，而且他们的父亲、祖父和曾祖父生日相同的可能性大到令人吃惊的程度。为帮助大家应对这些问题，本堂课内容的附录部分给出了一些有用的近似值。最后，本书在结尾部分又利用这些近似值，证明了菲尼蒂定理。现在，大家只要知道“等可能情况”这个基本结构应用广泛和深入就可以了。
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