25个世纪以来，数学史上发生了多次危机：非欧几何对欧氏几何的冲击、无理数的发现及数的扩张、微积分带来的分析困境、集合论悖论和其他逻辑悖论出现……使得数学大厦一次次面临倒塌的危险……
本书探讨数千年来数学在直觉、逻辑、应用之间穿梭往复的炫目旅程，再现数学真实的发展历程，阐述数学的起源、数学的繁荣和科学的数学化，直到当代数学的现状：数学与确定性(逻辑、严密性、完备性)渐行渐远。
克莱因透过数学史上的大事件一步一步剥开数学思想与数学思维变迁的脉络。

序言
引言：主题
第1章 数学真理的起源
第2章 数学真理的繁荣
第3章 科学的数学化
第4章 第一场灾难：真理的丧失
第5章 一门逻辑学科不合逻辑的发展
第6章 不合逻辑的发展：分析的困境
第7章 不合逻辑的发展：19世纪的困境
第8章 不合逻辑的发展：天堂之门
第9章 天堂受阻：理性的新危机
第10章 逻辑主义与直觉主义
第11章 形式主义与集合论公理化基础
第12章 灾难
第13章 数学的孤立
第14章 数学向何处去
第15章 自然的权威
参考书目
人名索引

数学发生了历史性的巨变！
数学曾被视为是精密论证的最高峰，它本身不但是道
理，同时也是万物运行背后的道理。但是现在的数学并不
拥有曾为它带来这么多尊重乃至景仰的这些属性，对于数
学的认识不得不做出根本性的改变。数学的地位到底发生
了什么变化？如何面对失落了“真理性”的数学？我们该
如何面对这个根本性的转变？现在的数学又是如何的？这
就是本书的主题。引言部分会对这些主题做简要描述。在
专业的数学史中，可以找到关于这个巨变散落的技术细节
，但对于想要了解这个转变的普通读者，一部简要的、没
有大量专业内容的作品会更便于抓住其要领。
关于现代数学的状况，许多数学家可能更愿意只在数
学界内取得共识，这些问题可能不宜公开，就像人们都不
乐意在大庭广众之下宣布自己的婚姻出了问题一样。但是
能够运用理性认识世界的人应该了解他的基本工具，认清
这个工具（理性）的能力范围和边界，这样远比盲目信任
强。这种盲目会产生出虚假的信念，这种信念甚至会导致
巨大的失败。
在此谨向牛津大学出版社致谢，感谢他们仔细编辑出
版本书；尤其需要感谢William C.Halpin和Sheldon
Meyer两位，他们意识到向大众介绍本书主题的必要性，还
要感谢Leona Capeless女士和Curtis Church先生宝贵的
批评建议，同时要感谢我的妻子为本书润色并校对。
最后要感谢美国数学协会（Mathematical
Association ofAmerica）同意我在第11章里引用《美国
数学月刊》（TheAmericanMathematicalMonthly）上的文
字。
M.克莱因
布鲁克林，纽约
1980年1月

莫里斯·克莱因对当代数学研究方法持批评态度，他认为大多数学家从现实世界退缩而转向关注于数学之中产生的问题，他们抛弃了数学的传统与遗产。本书是他对当代数学处在自给自足和自我设限的境地的最知名反思。克莱因是自欧几里得以来比任何人都理解数学的人。
本书是一部思想史，它追溯了从古希腊到1931年这期间复杂的数学思想的轨迹。哥德尔的论文不仅让数学家们颜面扫地，还证明了象牙塔本身就是一个毫无根据的神话。

数学家靠的不是运算准确、迅速，而是数学思维
——数学是一种思考方式。
克菜因能够几乎不借助公式，用数学来解析思想
，将数千年的数学探讨得如此深入，非常之了得。
自从欧几里得建立7现代数学的明确模式以来，克
菜因是比任何人都更好地理解了数学的思想家。
——0mni

第1章 数学真理的起源
任何值得一提的文明都探索过真理。思索过人们尽管不能但总是试图去理解复杂多变的自然现象，去解开人类如何定居在这个地球上的谜题，去弄明白人生的目的，去探索人类的归宿在哪里。在所有早期文明中，这些问题的回答都是宗教领袖给出的，并为人们所普遍接受。只有古希腊文明是个例外。希腊人发现（人类所做出的最伟大的发现）了推理的作用。正是古典时期（公元前600年至公元前300年间的鼎盛时期）的希腊人，认识到人类有智慧、有思维（有时佐以观察或实验），能够发现真理。
是什么导致希腊人做出这个发现，这个问题不大好回答。把推理用于人类活动和思维的始祖曾生活在爱奥尼亚——古希腊人在小亚细亚的一个定居处。许多历史学家试图依据政治和社会环境对此做出解释，比如爱奥尼亚人有更大的自主性去无视统治欧洲希腊文明的宗教信仰。但是，我们所知的在约公元前600年以前的希腊历史过于零碎，无法做出明确的解释。
当时希腊人把推理用于政治体系、伦理道德、法律、教育和其他许多方面。他们对后代文明的主要贡献是接受了对推理的最强有力的挑战，知道了自然界有规律可言。在做出这个贡献以前，希腊人和古代其他文明时期的人们认为自然是混乱、反复无常，甚至是恐怖的。自然现象是无法解释的，或者是由神的意志决定的，只有通过祈祷、祭祀和其他宗教仪式来解脱。他们卓越的文明可追溯到公元前3000年的巴比伦人和埃及人，他们确实注意到了日月运动的周期现象，并据此设立了历法，但却没有更深入地研究它们。这些极少的偶然的观察没有改变他们对自然的态度。
希腊人敢于正视自然。他们的精神领袖（如果不是普通民众）摒弃了传统观念、超自然力、迷信、教条和其他思想束缚。他们是最早检验并试图理解各种谜一般的复杂的自然活动的人。他们以思维与瞬息万变的宇宙现象抗争，将理性之光洒于其上。
他们有着永不满足的好奇心和勇气，他们提出和回答了许多人遇到过，但却极少有人试图解决，并且只能被具有最高智力水平的人所解决的问题。整个宇宙的运转是有计划的吗？植物、动物、人类、星系、光和声，仅仅是物理现象还是一个完美设计的一部分？由于希腊人总梦想着提出新见解，所以他们建立了后来统治整个西方思想中关于宇宙的概念。
希腊的哲人们对自然采取了一种全新的态度。这种态度是理性的、批判的和反宗教的。神学中上帝按其意愿创造了人和物质世界的信仰被摒弃了。哲人们终于得出了这样的观念：自然是有序的，按完美的设计而恒定地运行着。从星体的运动到树叶的颤动，所有感官能感知的现象都能用一种精确、和谐而理智的形式来描述。简而言之，自然是按理性设计的，这种设计，虽然不为人的行为而影响，却能被人的思维所理解。
希腊人不仅是探索混杂现象的秩序和规则的勇敢的先驱，而且也是以才智发掘出自然现象显而易见所遵循的基本模式的先驱。他们敢于询问并且发现了人类观测到的最壮观的景象的基本规律：朝升夕落的太阳、阴晴圆缺的月亮、光彩夺目的行星、星汉灿烂的夜空以及奇妙无比的日食和月食。正是公元前6世纪的爱奥尼亚哲学家们首先尝试寻求对大自然和宇宙运行规律的合理解释。这一时期的著名哲学家们，如泰勒斯、阿那克西曼德、阿那克西美尼、赫拉克利特和阿那克萨哥拉，各自恪守一个主旨去解释宇宙的构成。比如泰勒斯认为万物都是由气态、液态和固态的水组成的，他试图用水的观点解释许多现象——这是一个不无道理的解释。因为云、雾、露、雨和雹是水的不同形态，而水是生命不可或缺的，它滋润庄稼，养育动物。现在我们知道甚至人体的90％都是水。
爱奥尼亚人的自然哲学是一系列大胆的观察、敏锐的猜测和天赋的直觉的产物，而不是广泛而细致的科学研究的成果。这些人也许有些过于急切地看到世界的全貌，从而匆匆忙忙得出一些泛泛的结论。但他们的确抛弃了一些陈腐的神秘观点，而代之以唯物主义的、对宇宙的设计和运行的客观解释。他们以理性方法取代了幻想和非批判的观点，用推理来论证自己观点的成立。这些人敢于用思维来应对世界，拒绝依赖神灵、意志、鬼怪、妖魔、天使和其他也许能够维护或毁灭自然现象的神秘力量。可以用阿那克萨哥拉的话来表述这种理性观点的精髓：“理性统治着世界。”
P9-12