马里奥·利维奥（Mario Livio），哈勃太空望远镜科学研究所的天体物理学家，科学和数学科普作家，美国科学促进协会会员，卡内基基金会“世纪优秀教授”，皮亚诺奖和国际毕达哥拉斯数学畅销书奖得主。其众多数学和天体物理学领域的文章在《自然》《经济学人》《科学》等期刊上得到极高评价。

第1章 未解之谜
第2章 神秘学：命理学家和哲学家
第3章 魔法师：大师和异端
第4章 魔法师：怀疑论者和巨人
第5章 统计学家和概率学家：不确定的科学
第6章 几何学家：未来的冲击
第7章 逻辑学家：思考推理的人
第8章 无理由的有效性？
第9章 人类大脑中的数学和宇宙
注释
参考文献
图片版权

第1章 未解之谜
几年前，我在美国康奈尔大学做过一个演讲。当时，我的一张幻灯片的标题是：“上帝是数学家吗？”当这张幻灯片放出来时，我听到坐在前排的一位学生倒吸了一口凉气，说：“哦，天啊，我希望不是如此。”
我之所以提出这个问题，既不是因为我打算从哲学上定义上帝，也不是因为我有意吓唬那些害怕数学的人。我只是想向听众介绍一个让众多最富创新的大脑苦苦思索了几个世纪的谜团——数学“无所不在、无所不能”的力量，而这类特征通常只有在人们描述一位神明时才会用到。正如英国物理学家詹姆斯·金斯（James Jeans，1877-1946）所说：“宇宙看上去是由一位理论数学家设计的。”数学貌似不仅在描述和解释整个宇宙时太过有效，甚至在描述和解释一些最混沌的人类活动时也是如此。
不论是物理学家试图构造种种关于宇宙的理论，证券分析师绞尽脑汁预测下一次股价暴跌的时间，神经生物学家尝试为脑功能建模，还是军事情报统计师力图优化资源配置，他们都要使用数学。此外，尽管他们应用的可能是从不同数学分支发展出来的形式体系，但他们仍然仰赖的是同一个完整、内在一致的数学。那么，是什么赋予了数学如此惊人的威力？或者，正如爱因斯坦曾好奇地发问：“数学，这个独立于经验的人类思维的产物，为何能如此完美地符合物理实在中的对象？”
这样的困惑古已有之。一些古希腊哲学家，特别是毕达哥拉斯和柏拉图，早就惊叹于数学塑造并支配宇宙的不言而喻的能力，同时意识到，数学的存在貌似无法被人类所改变、引导或影响。英国政治哲学家托马斯·霍布斯（ThomasHobbes，1588-1679）也无法掩饰自己的崇敬之情。在讨论社会和政府基础的《利维坦》一书中，他将几何学作为理性论证的典范：
“既然真理存在于由各种名称正确排序后所组成的断言中，那么追求严谨真理的人就需要记住他所使用的每个名称的含义，并把它们放于相应的地方，否则他会发现自己困于文字的纠缠中，就好像一只被抹了胶的树枝粘住的小鸟，越挣扎越不能自拔。因此，在几何学（这是迄今为止唯一令上帝满意并恩赐给人类的学问）中，人们首先确定名称的含义（他们把确定含义称为‘定义’），并把它们作为认知的起点。”
上千年来，令人印象深刻的数学研究和广博的哲学思考都没有真正解释清楚数学力量的奥秘，甚至可以说，在某种意义上，数学的这种神秘感又加剧了。比如，著名的英国牛津大学数学物理学家罗杰·彭罗斯（Roger Penrose）意识到，人类周围不仅有一个世界，而应该有三个神秘世界。按彭罗斯的划分，这三个世界是：意识感知的世界、物理现实的世界和数学形式的柏拉图世界。第一个世界是我们所有精神影像的家园，包括我们看到自己孩子笑脸时的欢欣愉悦，欣赏落日余晖壮美景色时的心旷神怡，或者观察怵目惊心的战争场面时的恐惧和憎恶。在这个世界中还包括爱、忌妒、偏见、害怕，以及我们欣赏音乐、闻到美食时的感觉。第二个世界就是我们日常所提到的物理现实世界，包括鲜花、阿司匹林药片、白云、喷气式飞机，还有星系、行星、原子、狒狒的心脏和人类的大脑，这些真实存在的东西构成了这个世界。第三个世界是数学形式的柏拉图世界。这里是数学的家园，对彭罗斯而言，这个世界和精神世界与物理世界一样，也是真实存在的，在其中有自然数1，2，3，4，…，欧几里得几何学中的所有图形和定理，牛顿运动定律、弦论、突变论以及研究股票市场行为的数学模型等。彭罗斯还观察到了这三个世界之间神秘相连的三种现象。首先，物理世界的运行似乎遵循着一定的法则，而这些法则真实存在于数学世界中。这也令爱因斯坦感到困惑。诺贝尔物理学奖得主尤金·维格纳（Eugene Wigner，1902-1995）也有同样的疑惑：
“数学语言适于表达物理法则，这种奇迹是上天赐予我们的绝妙礼物。事实上，我们并未真正理解这份礼物，同时也受之有愧。我们应当感谢这份礼物，希望它在未来的研究中仍然有效，而且可以给予我们欢乐，抑或困惑——无论是好还是坏——以及广泛的学问。”
P1-3

《华盛顿邮报》评为最佳图书！风靡全球十年的经典著作，重装再现！
没有晦涩难懂的数学公式，只有色彩斑澜的历史故事。
数学是人类的发明还是发现？
数学貌似能解释宇宙万物，而这种无处不在、无所不能的威力究竟从何而来？
上帝是数学家吗？这既是一本经典的思想史巨著，又是一本妙趣横生的故事节，献给所有喜爱数学、历史和哲学的读者。

当你从事宇宙学研究时，不可避免遇到的一件事是，
每周都会有人发来信件、电子邮件或传真，希望向你描述
他（没错，他们无一例外是男性）自己关于宇宙的理论。
对此，你可能犯下的最大错误，就是礼貌地回复说自己想
了解更多，这随即会引发无休止的信息轰炸。如何才能避
免遭受这种“攻击”？我发现有一个战术相当有效，并且
不会像完全置之不理那样不礼貌，那就是指出一个事实：
只要他的理论无法用数学语言精确描述，我们就可以说，
无法对此加以评判。这样的回复会让大多数宇宙学爱好者
望而却步。现实是，如果没有数学，现代宇宙学家就无法
在理解自然法则的道路上前进哪怕一小步。数学是建设任
何宇宙学理论所需的坚实“脚手架”。这乍听上去并不令
人惊讶，但你会意识到，我们其实没有完全弄清数学的本
质。正如英国哲学家迈克尔·达米特爵士所说：“两门最
抽象的学科——哲学和数学，都引发了同样的困惑：它们
究竟是关于什么的？这种困惑并不纯粹源自无知，因为这
两门学科的专家们甚至都觉得很难回答这个问题。”
在本书中，我将试着澄清数学本质的一些问题，尤其
是数学与我们所观察到的世界之间的关系的本质。本书无
意成为一本全面的数学史。更确切地说，我将梳理一些重
要概念的演进，这些概念有助于我们理解数学在人类认识
宇宙的历程中所扮演的角色。
长久以来，很多人为本书的诞生直接或间接地提供了
帮助。我要感谢迈克尔·阿蒂亚爵士、乔治·德瓦利、弗
里曼·戴森、希勒尔·高奇曼、大卫·格罗斯、罗杰·彭
罗斯爵士、马丁·里斯爵士、拉曼·桑德拉姆、麦克斯·
泰格马克、史蒂文·温伯格以及史蒂芬·沃尔弗拉姆，与
他们的交流使我获益良多。我还要感谢多萝西·摩根斯坦
·托马斯允许我使用奥斯卡·摩根斯坦所述的库尔特·哥
德尔在美国移民及归化局的经历的全文。感谢威廉·克里
斯滕斯-巴里、基思·诺克斯、罗杰·伊斯顿和威尔·诺埃
尔热心地向我细致解释了他们破译阿基米德重写本的经历
。特别感谢劳拉·加尔博利诺为我提供了一些数学史的重
要资料和珍贵文件。我还要感谢美国约翰·霍普金斯大学
、芝加哥大学和法国国家图书馆的特藏部帮助我找到了一
些珍贵手稿。
我要感谢斯特凡诺·卡塞尔塔诺为我翻译了许多拉丁
文文献。我还要感谢伊丽莎白·弗雷泽和吉尔·拉格斯特
伦为我提供的极为宝贵的文献和语言帮助（他们总是满脸
笑容）。
特别感谢莎伦·图兰在准备书稿上提供了专业帮助，
以及安·费尔德、克丽丝塔·维尔特和斯泰茜·本为本书
绘制了部分图片。
而在本书漫长的写作过程中，我从妻子索菲亚那里得
到的始终不渝的支持，大概是每一位作家梦寐以求的。
最后，我要感谢我的文学经纪人苏珊·拉比纳，没有
她的鼓励，就不会有这本书。我还要诚挚感谢本书的编辑
鲍伯·本德，他仔细审读了书稿，并给出了富有洞察力的
评论。感谢Simon&Schuster出版公司的整个编辑、印制和
营销团队的辛勤工作，特别是乔安娜·李在印制、洛蕾塔
·登纳和埃米·瑞安在文字编辑，以及维多利亚·迈耶和
凯蒂·格林奇在营销方面所给予的宝贵支持。

数学是人类的发明还是发现？数学无处不在、无所不能的威力从何而来？本书讲述了数学概念的演化过程，引经据典地从哲学、历史、文化角度全方位地探讨了数学的本质，揭示了数学与物质世界、与人类思维之间的微妙关系，讨论了困惑几代思想家的重大问题，并以通俗、曼妙的手笔讲述了从柏拉图、阿基米德、伽利略、笛卡儿等哲学和数学先贤到罗素、哥德尔等近现代数学巨匠和科学家的生活经历与思想，是一本妙趣横生而又十分经典的数学思想史著作。本书适合所有对数学感兴趣的读者阅读。