尹万科编著的这本《实流形在复流形中的全纯不变量》主要研究了Bishop曲面在复空间中的双全纯等价性问题。全书共四章：第一章介绍了多复变中的一些整体和局部双全纯等价问题，以及对本书的主要工作进行了综述。第二章引入了一个不同于以往的权理论，得到Bishop不变量为0的Bishop曲面的形式正规型，进而得到了此类曲面在形式变换群下的完全不变量。第三章首先对所研究的曲面进行复化，利用Moser-Webster的投影化思想和Huang-Krantz中的平坦化定理，得到了一簇贴于曲面上的圆盘，从而建立了Bishop不变量为0、Moser不变量为有限时的Bishop曲面上的双曲几何。第四章研究了Moser定理的一个高维推广，对于高维复空间中的一类余维数为2的奇异CR子流形，给出了它的拟正规型，同时得到了拟正规型能平坦化的充要条件。

多复变函数论是当今数学中一个非常重要的分支，这一学科由Poincare、Hartogs、E.Levi和E.Cartan等著名数学家在20世纪初创立，且其后一直备受关注。在多复变的众多基本问题中，有一类重要的问题是实流形在复流形中的双全纯等价性。在这一研究领域，由于包括Cartan、Moser、Bishop、陈省身和Webster等一流数学家在内的许多人的共同努力，已经取得了相当大的进展；然而直到现在，这一领域仍有许多基本的问题没有解决。

《实流形在复流形中的全纯不变量》是基于尹万科和他的导师黄孝军教授分别在2007年3月和2008年2月合作完成的两篇文章[HY07]和[HY08]。他们主要研究了Bishop曲面在复空间中的双全纯等价问题。《实流形在复流形中的全纯不变量》的第一部分包括第二章和第三章，研究的是C2中Bishop不变量为0的椭圆Bishop曲面，这一工作可以看成是Moser-Webster在1983年的著名工作[MW83]和其后Moser在1985年的著名工作[Mos85]的继续，他们解决了Moser在1985年的工作[Mos85]中提出的著名问题，这一部分来自于他及其导师黄孝军教授合作的文章[HY07]；论文的第二部分为第四章，他们把Moser的工作[Mos85]推广到高维的情形，利用KAM快速迭代法，证明了一个余维数为2的实解析子流形与一个对称模型双全纯等价当且仅当它们形式等价，这一部分内容来自于作者及其导师黄孝军教授合作的文章阻章[HY08]。

具体说来，本文由下面四章组成：

在第一章中，介绍了多复变中的一些整体和局部双全纯等价问题，详细介绍了Bishop曲面研究的发展过程，直至最新的进展；然后介绍了Cn+1（n≥2）中复切点的CR，维数大于或等于2的实子流形的最新发展状况；最后对本文的主要工作进行了综述。

在第二章中，引入了一个不同于以往的weight理论，这就使得他们可以成功地求解一个复杂的非线性方程，最终得到Bishop不变量为0的Bishop曲面的形式正规型，进而得到了此类曲面在形式变换群下的完全不变量。特别地，他们证明了当Bishop不变量为0、Moser不变量为某个固定的s时，其模空间是一个无穷维Frechet空间。由此马上可以得到Moser问题的一个否定答案，即Bishop不变量为0时Bishop曲面不能被其taylor展开的一个有限截断所决定。结合Poincare[P01907]中的证明思想，他们得到入=0，s≠∞时Bishop曲面一般不能双全纯等价于一个代数曲面。

在第三章中，首先对所研究的曲面进行复化，利用Moser—Webster[Mw83]的投影化思想和Huang-Krantz[HK95]中的平坦化定理，得到了一簇贴于曲面上的圆盘，从而建立了Bishop不变量为0、Moser不变量为某个固定s的Bishop衄面上的双曲几何。接着他们证明了两个Bishop不变量为0、Moser不变量为某个固定s的Bishop曲面双全纯等价当且仅当它们的形式正规型经过一个旋转变换（z，w）→（eiθz，w），eiθs=1后相同，从而解决了这一曲面的全纯等价分类问题。最后他们研究了一类特殊Bishop曲面的一些等价性质。

在第四章中，他们研究了Moser定理的一个高维推广。对于Cn+1（n>2）中的一类余维数为2的奇异CR，子流形，给出了它的拟正规型，同时得到了拟正规型能平坦化的充要条件。然后运用著名的KAM快速迭代法，证明了如果这个子流形能双全纯等价于正规型中一个对称的二次曲面当且仅当它们形式等价。

第一章 综述

 1.1 一些整体和局部等价问题的研究概况

 1.2 本文的主要工作

第二章 具有消失Bishop不变量的Bishop曲面的形式理论

 2.1 近似正规型间形式映射的唯一性

 2.2 具有消失Bishop不变量的Bishop曲面的完全形式不变量

 2.3 具有消失Bishop不变量的Bishop曲面的代数等价性

第三章 具有消失Bishop不变量的Bishop曲面的双曲几何和等价分类问题

 3.1 具有消失Bishop不变量的Bishop曲面上的双曲几何性质

 3.2 具有消失Bishop不变量的Bishop曲面的等价分类问题

 3.3 一类特殊Bishop曲面的一些等价性质

第四章 一类余维数为2且形式等价于一个二次曲面的CR奇异流形

 4.1 一些记号和背景介绍

 4.2 一类余维数为2的CR奇异流形的拟正规型

 4.3 用二次曲面的自同构对全纯映照正规化

 4.4 主要定理的收敛性证明

参考文献

致谢