现在你手上的这本《千年难题(七个悬赏1000000美元的数学问题)》由基思·德夫林著，沈崇圣译。总体而言，作者的目的并不是详细描述这些问题。用非专业的语言来准确描述这些问题是不可能的——甚至用大学本科数学程度的人所熟悉的术语也无法做到。(那只能告诉你关于这些问题之性质的一些事。)相反，作者的目的是提供每个问题的背景，描述它是如何产生的，解释是什么使它特别困难，并让你在某种程度上感到为什么这些问题在数学家看来是如此重要。

《千年难题(七个悬赏1000000美元的数学问题)》由基思·德夫林著，沈崇圣译。2000年，美国马萨诸塞州剑桥的克莱基金会发起了一场颇具历史意义的竞赛：任何能够解决七大数学难题之一的人，在专家认定其解答正确之后，都可以获得100万美元的奖金。之前也有过这样的先例：1900年，当时最伟大的数学家之一希尔伯特(David Hilbert)提出了23个问题(现被称作希尔伯特问题)，在很大程度上为20世纪的数学设定了议程。千年难题很可能获得同样的地位。对它们的解答(或者解答不出)将对21世纪的数学研究起到巨大的影响。这些问题涉及纯粹数学和应用数学中大多数最迷人的领域：从拓扑学和数论到粒子物理学、密码学、计算理论甚至飞机设计。著名的数学阐释者德夫林在《千年难题(七个悬赏1000000美元的数学问题)》中向我们讲了这七大难题的内容、由来以及它们对数学和科学的意义。

对本书的评价

内容提要

作者简介

序言

第零章 挑战已经发出

第一章 素数的音乐：黎曼假设

第二章 构成我们的是场：杨-米尔斯理论和质量缺口假设

第三章 当计算机无能为力的时候：P对NP问题

第四章 制造波动：纳维-斯托克斯方程

第五章 关于光滑行为的数学：庞加莱猜想

第六章 解不出方程也明白：伯奇和斯温纳顿-戴尔猜想

第七章 没有图形的几何学：霍奇猜想

进一步的读物

第零章 挑战已经发出

求知欲是人类的本性之一。遗憾的是，已确立的各种宗教不再提供令人满意的答案，这就转变成对确定性和真理的一种需求。这就是数学为什么而运作，为什么人们为之奉献终身。它是对真理的渴望，是对驱动着数学家的数学之美妙和优雅的回应。

——克莱(Landon Clay)，克莱千年难题的赞助人

2000年5月24日，在巴黎法兰西学院(College de France)的演讲大厅，世界著名的英国数学家阿蒂亚(Michael Atiyah)爵士和美国数学家泰特(John Tate)宣布，对首先解决七个最困难的悬而未决的数学问题中任何一个的人或团体将授予100万美元的奖金。他们说，这些问题从此将被称为“千年难题”(Millennium Problems)。

这700万美元的奖金——每个问题100万美元，解答在时间上没有限制——是由一位富有的美国共同基金投资公司巨头和业余数学爱好者克莱捐赠的。一年前，克莱就建立了克莱数学促进会(Clay Mathematics Institute，简称CMI)，这是设在他的家乡马萨诸塞州剑桥的一个非营利性组织，旨在促进和支持数学研究。CMI组织了巴黎会议，并将掌管千年大奖的角逐。

这七大难题是由一个国际知名数学家小组经过数月选出的。这个小组由克莱促进会首任会长贾菲(Arthur’Jaffe)博士领导，其成员由CMI的科学顾问委员会选定。贾菲曾任美国数学学会会长，现在是哈佛大学的克莱数学教授。选题委员会一致认为选出的这七大难题是当代数学中最重要的未解决问题。对此大多数数学家都会赞同。这些问题位于数学主要领域的中心，全世界许多最优秀的数学家曾试图解决它们，但都无功而返。

拟订这个问题表的专家之一是怀尔斯(Andrew Wiles)爵士，费马大定理这个有330年历史的难题没被选人的唯一理由显然是因为六年前已被他解决了。其他的专家，除了贾菲之外，还有阿蒂亚和在巴黎作了演讲的泰特，以及法国的孔涅(Alain Connes)和美国的威滕(Edward Witten)。

很奇怪，克莱本人不是数学家。作为哈佛大学的本科生，他主修的是英文。然而他在其母校资助设立了一个数学教席，接着创办了克莱数学促进会(目前他的捐赠达到9000万美元)和现在的千年大奖。他说之所以有这些创举，部分是因为他看到一个如此重要的学科，从公众得到的资助却如此之少。通过提供一大笔奖金并邀请世界新闻界参加宣布解题竞赛开始的会议，克莱确保这些千年难题——乃至整个数学——会引起国际媒体的注意。但是为什么要到巴黎开会？

答案是历史。正是在100年前的1900年，巴黎是一次类似事件的发生地。起因是第二届国际数学家大会。8月8日，德国数学家希尔伯特(David Hillbert)——数学领域中的一位国际领袖，应邀发表演讲，他在演讲中提出了一个20世纪数学的议程表。希尔伯特列举了他判定为数学中意义最重大的23个未解决难题。它们随后被称为“希尔伯特问题”，是指引数学家迈向未来的灯塔。

希尔伯特陈述的问题中有少数几个比他预料的要容易，不久就被解决了。还有几个问题太不准确而不能得到一个确定的答案。但是绝大多数问题确实是十分困难的数学问题，这些“真正的”希尔伯特问题中的任一个能得到解答将立即使解答者在数学界声誉鹊起，完全就像获得诺贝尔奖一样意义重大。而且还有这样的好处：这些获得成功的数学家能立刻享有他们(所有的解答者都是男性)成功带来的好处，而不必等待数年之久——在数学界确认解答正确之时，荣誉同时到达。

到2000年，所有真正的希尔伯特问题除了一个之外都已被解决，这正是数学家再一次总结的适宜时间。哪些是第二个千年结束之时最有价值的问题？哪些未解决问题是每个人都认为的数学之珠穆朗玛峰？

巴黎会议部分地是对创造历史的一种尝试，但并非完全是。正如怀尔斯指出的，在拟订千年难题表时CMI的目的与希尔伯特并不完全相同。“希尔伯特试图用他的问题引导数学的发展，”怀尔斯说，“我们则试图记载重大的未解决难题。在数学中有着一些大问题，它们很重要，但很难从中孤立出单独的问题来在这张列表中占有一席之地。”换句话说，千年难题不可能向你提供关于数学走向的思想。但是它们十分精彩地简述了现今的前沿在何处。七大难题

那么千年难题是些什么问题？当今数学的状态使得它们没有一个能在缺乏相当多背景知识的情况下被正确地描述出来。这就是为什么你是在阅读一本书而不是一篇文章。但现在我至少能为你提供它们的名称，并让你对它们有个初步印象。

黎曼假设这是1900年希尔伯特列出的问题中唯一一个至今还未解决的问题。全世界的数学家都认为这个关于一特定方程之可能解的看上去晦涩难懂的问题，是数学中意义最重大的未解决难题。

1859年，德国数学家黎曼(Bernhard。Riemann)试图回答数学中最古老的问题之一：如果素数在全体计数数中的分布具有一定的模式，那么这个模式是什么？在这个过程中，他提出了这个假设。大约公元前350年，著名的希腊数学家欧几里得(Euclid)证明了素数是无穷尽的，即存在无穷多个素数。此外，由观察可知，当你向大整数方向行进时，素数好像越来越“稀疏”、越来越少见了。但是你能说得比这更多些吗？正如我们将在第一章中看到的，答案是肯定的。黎曼假设的证明将加深我们对素数和对描述素数的方法的理解。它远远不只是满足数学家的好奇心。此外，它在数学中的影响远远超过了素数的分布模式。它还将在物理学和现代通信技术中产生影响。

杨一米尔斯理论和质量缺口假设数学发展的许多动力来自科学，特别是来自物理学。例如，由于物理学的需要，17世纪数学家牛顿(Isaac Newton)和莱布尼茨(Gottfried Leibniz)发明了微积分。通过为科学家提供了描述连续运动的一种数学上的精确方法，微积分彻底改变了科学。虽然牛顿和莱布尼茨的方法奏效了，但人们大约花了250年的时间才使微积分背后的数学得以严格地建立起来。今天，在过去大约半个世纪以来发展起来的物理学的某些理论中，存在着类似的情况。这第二道千年难题向数学家发出再次赶上物理学家的挑战。

杨一米尔斯方程来自于量子物理学。大约50年之前，物理学家杨振宁和米尔斯(Robert Mills)在描述除引力之外所有的自然力时建立了这些方程。他们做了一项杰出的工作。来自这些方程的预测描述了在世界各地实验室中观察到的粒子。虽然从实践的角度说杨一米尔斯理论成功了，但它作为一个数学理论却还没有研究出来。在某种程度上，这第二道千年难题是要求从公理开始，补上这个理论的数学发展。这种数学将必须符合一些在实验室中已被观察到的情况。特别是，它将(在数学上)确定“质量缺口假设”，这涉及杨一米尔斯方程的假设存在的解。这个假设已被大多数物理学家接受，它提供了电子为什么有质量的一种解释。质量缺口假设的证明被看作对杨一米尔斯理论的数学发展的一个极好的检验。它同时也使物理学家受益。他们都不能解释电子为什么有质量；他们仅仅观察到它们有质量。

P对NP问题这是唯一一个关于计算机的千年难题。许多人将认为这一点很令人意外。“毕竟，”他们会问，“现在大多数数学问题不都是在计算机上做的吗？”不，事实上不是。的确，绝大多数数值计算是在计算机上完成的，但是，数值计算仅仅是数学的很小一部分，而不是数学的主要部分。

虽然电子计算机出自于数学——在20世纪30年代，首台计算机建成之前数年，有关数学的最后部分被解决——但计算机领域迄今仅仅产生了两个值得包含在世界最重大问题之中的数学问题。这两个问题涉及的计算是作为概念上的过程而不是任何特殊的计算设备，然而这不妨碍它们对真正的计算发挥重要的影响。希尔伯特把它们中的一个作为第10个问题写在他的1900年列表上。这个问题在1970年被解决，它要求证明某类方程不能由计算机解出。

P1-5

2000年5月，在巴黎的一个高度公开化的会议上，克莱数学促进会(Clay。Mathematics：lnstitute，简称CMI)宣布对七大悬而未决的数学难题以每个问题100万美元的赏格寻求解答——这七大难题是由一个国际数学家委员会在当今数学领域中选出的最难以攻克且具最重要意义的问题。这一宣布引发了不小的轰动，连续几周，媒体兴趣高涨。作为经常为非专业人士著书写文章并定期上广播节目的数学家，我被众多记者及广播节目制作人问到这些难题的背景，并要求作一些评论。一些有兴趣出版关于这一主题的图书的编辑也主动与我联系，其中就包括Basic Books的比尔·弗鲁赫特(Bill Frucht)。在出版我上一本为非专业人士所著的图书《数学基因》(The Math Gene)的时候，我曾与比尔合作。由此，我俩也建立了深厚的友谊。(由于其出色的编辑才华，在某种程度上他已经成为我的崇拜对象。)因此，我再次选择与比尔合作，并立即着手进行撰写本书所需要的大量研究工作。

不久，克莱促进会的主席贾菲(Arthur Jaffe)问我是否愿意与同样是数学普及工作者的伊恩·斯图尔特(Ian Stewart)一起为关于七大千年难题的官方图书撰写普及性的引言，克莱促进会正与美国数学学会合作，准备出版此书。在确保这两本书并没有太大的冲突后，我同意了。CMI的这本官方图书主要是对七大千年难题的详细而准确的介绍，每一篇都由这一问题的世界级权威专家撰写。由于每个问题悬赏100万美元，CMI的这本书也担负着法律责任，必须充分准确地陈述每个问题以让裁定者判断某个提出的解答是否达到了解题的标准。(这些问题与做一个长除法计算或是解一个二次方程几乎不能作最起码的比较，有时，仅仅是理解问题陈述中的某一个术语就需要花相当大的力气。)伊恩和我要做的是写一些描述这些问题的简短引言，使此书对数学家来说更为亲切，对那些有兴趣参阅关于这些问题的“官方图书”的记者及非专业读者来说更为有用。

现在你手上的这本书却与之大相径庭。总体而言，我的目的并不是详细描述这些问题。用非专业的语言来准确描述这些问题是不可能的——甚至用大学本科数学程度的人所熟悉的术语也无法做到。(那只能告诉你关于这些问题之性质的一些事。)相反，我的目的是提供每个问题的背景，描述它是如何产生的，解释是什么使它特别困难，并让你在某种程度上感到为什么这些问题在数学家看来是如此重要。

而CMI的官方图书正是开始于本书结束的地方。对任何一位在阅读本书后想解答克莱难题的读者而言，要做的第一步便是读一读CMI那本书中关于这些问题的确切描述。(如果不能理解那本书，你是无法解答这些难题的。千年大奖的竞赛就像是全美橄榄球超级杯赛：并非为业余者开设。)本书并非为那些希望解答出其中一个难题的人而写，而是为着那些对人类最古老的科学知识体系发展前沿的现状感兴趣的读者——无论是数学家还是非数学家。经过3000年的理性发展后，人类数学知识的极限究竟在何处？

阅读本书所需要的基础仅仅是高中阶段的数学知识。但仅仅这样还不够，还需要你对这个论题本身有着充分的兴趣，这比前者更为重要。我从一开始就意识到，无论怎样努力，本书都不可能成为一本简易读物。千年难题是当今世界未解决的数学问题中最困难、最重要的问题；全世界最优秀的数学头脑已花费了大量的时间和精力来寻求答案，然而都未有结果。即使让一个业余爱好者对问题之大概有所领会，也需要相当大的努力。但无论怎样，我依然坚信所有的努力都是值得的。难道这一切不是令人感兴趣的人类成就的顶峰吗？

幸运的是，还有另一个可有助你了解千年难题的途径。作为CMI开展的大力宣传千年难题竞赛的活动之一，我和贾菲以及电视制作人斯特恩(David Stern)共同参与了一个20分钟的电视短片制作。其中对于千年难题的引导性简要描述同斯图尔特和我在CMI官方图书上的普及性导言相类似。你可以在CMI的网站www.claymath.org上看到这个电视短片。(你还可以在这一网站上找到各个问题的专家对相应难题的专业描述。)

显然，参加电视短片的制作和CMI图书的编写对我撰写此书十分有帮助。我在此感谢CMI：的贾菲以及埃尔伍德(David Ellwood)，我同他们进行了多次对我颇有裨益的交谈。与斯图尔特合作为CMI图书撰写的引言也对本书产生了影响。然而归根结底，对你手中这本书中出现的任何舛错疏漏，都应由我负责。

我还要对弗鲁赫特深表感激之情。尽管我们处理的许多材料有着不可理解性，但他先是为我构思出了写作方案，然后与我一起为使此书尽可能地通俗易懂、饶有趣味而竭尽全力(并奋勇战斗)。还要感谢我的代理人，纽约的芬奇(Diana Finch)以及伦敦的汉密尔顿(BillHamilton)，他们不断说服世界各国的出版商，使他们相信天底下的确存在着被那个(几乎是)默默无闻、毫不张扬的群体的活动所迷住的人。我也荣幸地是这个群体中的一分子——那里是追寻着100％可靠的永恒真理的人们：数学家。

基思·德夫林

加利福尼亚州帕洛阿尔托市

2002年3月

精彩绝伦……如果你希望有一个对黎曼假设的简明介绍，这本书就是你所要的。

——《洛杉矶时报》

本书描述的七大“悬赏1000000美元的难题”的确位于数学之巅，至今仍悬而未决，它们或许比地球上任何真正的山峰更难征服。就我所知，没有什么能比德夫林这本精彩的书让那些善于思考的读者更靠近这些既光彩夺目又极具挑战性的问题了。

——艾森巴德(David Eisenbud)

美国国家数学研究所所长

德夫林关于数学的作品思路清晰，表述优雅；他对于背景思想的解释既浅显易懂，又鞭辟入里。他所写的一切都充满了个人魅力，集非凡的智慧、幽默与欢欣于一体。

——梅热(Barry Mazur)

哈佛大学数学系教授

德夫林做了一件超凡的事……对于任何一位尚记得一些高中数学的读者来说，[这本书]既引入入胜又浅显易懂。

——《基督教科学箴言报》

内容翔实，趣味盎然……这本书的最大成功在于它从某一方面努力揭示了人类智能之谜，以及这种智能所能达到的那个令人极其眩晕的高度。

——《波特兰信使报》

高质量地进行了数学阐释，强烈地传递了一种兴奋感，至少能让你一瞥那些巅峰，虽然攀登这些巅峰的艰难险阻被深深地笼罩在迷雾之中。

——《自然》