Frederico Xavier，潮小李所著的《现代极小曲面讲义》主要是强调用复分析的方法来讨论极小曲面，重点讨论了浸入极小曲面的Gauss映射(第三章)以及Calabi猜想(第四章)，同时在第五章说明了Calabi猜想成立的一个充分条件(即曲率有界)，并讨论了具有有界曲率的嵌入极小曲面的特征。关于嵌入的单连通极小曲面的新结果均不是利用极小曲面和复分析之间的经典联系来处理的，而这种联系曾被成功地用于极小曲面的其他一些基本问题的研究。如果能从复分析的角度来理解Colding和Minicozzi的理论，那我们就可以更好地揭示嵌入极小圆盘。为此，我们在第六章给出Catalan定理的复分析证明，这是我们利用经典的工具来认识嵌入极小圆盘的第一步。同时，有很多迹象表明，单值函数理论中的另一个强有力的工具——Lownei理论——也很有希望拿来考虑共形调和嵌入，期待以后能有所突破。第七章提出了我们比较关心且与复分析相关的一些问题和想法。另外，我们在附录中也介绍了近年来Colding和Minicozzi发展起来的一些新理论和方法，这些是对本书的重要补充。

极小曲面广泛存在于自然界中，很多问题也源于自然界，其理论已经发展成为微分几何的一个内容十分丰富的分支。Frederico Xavier，潮小李所著的《现代极小曲面讲义》主要强调利用复分析的方法来研究极小曲面，重点讨论了极小曲面的Gauss映射、Calabi猜想以及Catalan定理的复分析证明，同时作：为《现代极小曲面讲义》的重要补充，在附录中也介绍了近年来由T，H，Coldinq和W P Minicozzill发展起来的一些新的理论和方法。

《现代极小曲面讲义》可作为微分几何专业的高年级本科生和研究生的教材或参考书，也可供数学和物理相关领域的研究人员参考。

中文序言

英文序言

第一章 基本知识

 1.1 曲线的曲率

 1.2 曲面的曲率

第二章 极小曲面的weierstrass表示

 2.1 等温坐标

 2.2 Weierstrass表示

第三章 完备性与极小曲面的Gauss映射

 3.1 完备极小曲面

 3.2 完备极小曲面的Gauss映射

第四章 Calabi猜想

 4.1 Runge逼近定理

 4.2 Calabi猜想

 4.3 Calabi猜想的最新进展

第五章 Poisson积分及其在极小曲面理论中的应用

 5.1 Poisson积分

 5.2 Poisson积分的边界行为

 5.3 Riesz定理

 5.4 局部Fatou定理和Privalov唯一性定理

 5.5 调和共轭的边界行为

 5.6 极小曲面的凸包

 5.7 具有有界曲率的嵌入极小曲面

第六章 Catalan定理的复分析证明

 6.1 基本知识

 6.2 极小曲面的渐近线

 6.3 一类螺旋面

 6.4 Catalan定理的证明

第七章 未解决的问题

附录A 螺旋面的唯一性

附录B 极小曲面理论在Poincare猜想证明中的应用

 B.1 宽度和有限消失定理

 B.2 能量减少映射

参考文献

名词索引