数学常被认为是对纯粹理性的最冷酷无情的表达。但鲜有比数学更能激发热情的学科了。尽管，在众多时候数学被理想化为超脱于人类的杂乱的生活，但实际上离开了人的因素，数学什么都不是，可以说——数学即人学！鲁本·赫什编著的《爱+恨数学(还原最真实的数学)》主要讲是人性、情感和社会因素决定了数学的发展，并对数学家和学生产生影响。本书的写作方式灵活多变和语言通俗易懂，让人容易接受，其中扣人心弦的故事和与数学相关的轶事加深了数学人生的认识。

数学往往被当作一种冰冷的逻辑表达，然而，很少有其他学科，能够像数学这样，在从业者中引起如此火热的爱恨情感。数学往往被想象成一片理想的净土，远离世俗与人性的繁杂，然而关于数学的故事，却总是和人性息息相关，甚至比其他故事更能体现人性。鲁本·赫什编著的《爱+恨数学(还原最真实的数学)》所要做的，便是揭示那些隐藏着的、塑造了数学，并影响着数学家及学生成长的人性、情感和各种社会因素。本书以一种生动活泼、平易近人的风格，讲述数学上的大事和趣闻，希望以此让读者们领略那些发生在数学生活中的强烈的快乐和痛苦。

《爱+恨数学(还原最真实的数学)》中的故事试图澄清人们对数学的几个误解。比如：数学是一项离群索居的职业；“数学是年轻男性的游戏”；数学家都具有另类的情感；甚至有不少人认为，神经质的人更容易成为大数学家。鲁本·赫什和薇拉-约翰一斯坦纳讲述了很多数学家从少年到老年的数学经历，包括他们的教学和辅导，竞争和友谊，爱情和婚姻。传统上，妇女和少数民族在数学界的地位并不高，有关他们的故事也是本书的重要内容之一。读者还将了解到数学可以帮助很多深受病痛、战争折磨，甚至身陷囹圄的人获得心灵的平静；也可以使某些人走火入魔，甚至犯下谋杀的罪行，虽然这样的人只是少数。

数学为什么是最理性的，同时也是最具有感情色彩的人类行为?对于任何想要了解这一点的人，这本书是最佳的选择。

前言

第一章 数学起步

与生俱来的数学热情

青少年时期的数学兴趣

数学家的心理特征

数学家的性格特点

教师的作用

数学竞赛

研究生导师

当个数学家，想好了吗

第二章 数学文化

数学认知和情感

数学之美

数学家的社交生活

数学家逸事

冲突与解决之道

伯克利分校的职位之争

第三章 以数学慰藉心灵

专 注

监狱里的故事

数学与政治

我的思想放飞自由

第四章 数学成瘾：通向死亡的逻辑

早期生活

格洛腾迪克的理论

新几何之后的格洛腾迪克

精神错乱

特德·凯辛斯基

安德鲁·布洛赫

库尔特·哥德尔

第五鲞 友谊与合作

导师情谊

哈代、李特伍德和拉马努金

柯尔莫哥洛夫和亚历山大洛夫

朋友与同事

哥德尔和爱因斯坦

数学家的婚姻

朱莉娅·鲍曼和拉斐尔·鲁宾逊

女数学家之间的友情

第六章 数学组织

专家与门外汉

布尔巴基

无名团体

哥廷根

科朗研究院

莫斯科大学的黄金年代

犹太人民大学

女性数学家联合会

第七章 性别问题与年龄问题

女数学家

玛丽一索菲·热尔曼

索菲娅·瓦西里耶芙娜·

柯瓦列夫斯卡娅

艾米·阿美来·诺特

现代女性数学家

我们能做什么？

老年数学家

一份调查报告

赫什的问卷调查结果

调查报告的结论

第八童 数学的教学方式：严厉或是友善

罗伯特·李·摩尔和克拉伦斯·

弗朗西斯·史蒂芬斯

摩尔和摩尔教学法

政策的转变

黑人数学拓荒者

克拉伦斯·史蒂芬斯以及他的

波茨坦教学模式

结 论

第九章 又爱又恨的学校数学教育

怨声载道的学生

课本上的数学与生活中的数学

数学改革

不同的观点

大学数学教育

小 结

结语

参考文献

阅读书目

推荐书目

著名数学教育学家安内莉·拉克斯(Anneli Lax，1922～1999)的童年同样受到二战的影响。数学成了她“完美的避风港：我不需要任何工具，也不需要去找图书馆或者书本。我只需要找个地方坐着，然后把一个个数学题做出来”。

匈牙利裔的美国物理学家尤金·维格纳(Eugene Wigner，1902～1995)在11岁的时候感染了肺结核，于是不得不在奥地利的一家疗养院待上几个星期。研究几何问题帮他度过了那段痛苦的时期。“坐在折叠躺椅上，我全神贯注地解决了这么一个几何问题：构造一个三角形，使得它的三条高线等于给定的长度。这个问题现在对我来说是如此的简单，以至于我在梦中就能解决。但在当时，我集中精力花了几个月的时间才解决了它。”L6’维格纳和约翰·冯·诺依曼(John von Neumann，1903～1957)都毕业于匈牙利首都布达佩斯一所著名的高级中学，他们在那里一起学习，并结为一生的朋友。“那所中学应该是匈牙利最好的高中，也可能是全世界最好的。”‘‘我一门心思扑在数学上，对于语文则不上心。在那所高级中学期间，我发现了数学家称之为“幂五定律”的规律：任何一个一位数的五次方的个位数仍然等于这个数。比如2的五次方是32，3的五次方是243，等等。一开始我并不知道数学家们把它称为“幂五定律”，我也不知道为什么会有这样的规律。我发现了这个事实，并且为之欣喜不已。”

史蒂芬‘斯托加茨。(Steven Strogatz)是康奈尔大学的物理学家和应用数学家，他向我们描述了他对数学的震惊和敬畏之情。那是一次物理实验后，他惊讶地发现，实验得到的图像和代数书本上的函数图像一模一样。他那时正在记录单摆摆线的长度与单摆摆动的时间周期之间的关系。当他把数据描绘在坐标纸上时，他意识到：  这些点散落在一条特殊的曲线周围，这条曲线我一眼就认出了是在代数课上学过的抛物线，喷泉的水滴的运行轨迹也是这样的形状。一种发自内心的畏惧油然而生，进而是敬畏之情。就好像……单摆也懂得代数!代数中的抛物线和单摆运动之间到底有什么关系?这种关系切切实实地反映在我的坐标纸上。这一刻我被深深震撼了，我第一次体会到“自然法则”的威力。突然间我也明白了人们常说的宇宙秩序是什么意思，没有学过数学的人不能理解其中的奥秘。那种震撼，我时至今日也无法忘怀。

据我们了解，从小就立志于学数学的人并不多。但无论如何，只要一个人从小喜欢和数字打交道，那么他长大后一定会对数学的某些分支着迷。此外，对于正在经历苦难的人来说，研究数学可以给他们提供慰藉。青少年时期的数学兴趣

大多数著名的数学家在中学阶段就显示出了他们对数学浓厚的兴趣。国际数值分析领域的领导者约翰·托德(John Todd，1 908～1994)曾经说过，“我是这样开始我的数学生涯的。在中学，我参加了一个音乐班。但是我的歌唱水平是如此糟糕，以至于老师都害怕我的存在会影响到其他同学唱歌，于是我不得不离开!学校里还有其他的班级可以选择，其中一些就是针对全国统考的学习班。我只好选择了一个这样的班级——那是一个二年级的代数班!我就是这样和数学结下不解之缘的。”

另一个例子来自于加州大学伯克利分校的数学教授珍妮。哈里森(Jenny Harrison)。年轻时哈里森的主要兴趣是自然和音乐，而不是数学，在和本书作者约翰一斯坦纳(John—Steiner)的一次访谈中，她谈到了她是如何转行研究数学的。珍妮’哈里森出生于佐治利亚州的亚特兰大，在课余时间，她最喜欢去小树林玩。对自然界的好奇心和探索精神影响着哈里森的一生，也影响着她开拓新的数学领域的方法。她谈到了在森林里观察探索、开拓路径的快乐，这种特殊的习惯使得她日后对几何产生了极大的兴趣。来自哥哥的影响和鼓励使得她的能力和自信心有所增强，并对一些基础的物理问题产生了兴趣。’

虽然哈里森很早就显示出了在数学方面的特殊才能(她曾得到全州范围的数学竞赛的第一名)，但是她更喜欢音乐。她年轻时一直在学钢琴，并相信将来肯定会以音乐为职。但她渐渐发现自己终究是一个害羞的人，始终无法在大庭广众下自如地表演。“我知道我不适合从事音乐了，只好合上了钢琴盖。后来我被三个有点哲学味道的问题迷住了，它们分别是意识、时间和光的本质。我试图清楚地解答它们，并选择数学作为解释的工具，因为我觉得只有数学才能给我提供令人信服的答案。”现在，音乐仍是她生活的一部分。

朱莉娅·鲁宾逊。(Julia Robinson)因为曾在希尔伯特第十问题上做出重要贡献而闻名于数学界(第十问题指：证明不存在一个公式或者程序，可以判定任意的整系数多项式方程是否具有整数解)，她曾写道：“我最初有关数学的回忆，是在刺眼的太阳下，躲到大仙人掌的阴影中，眯着眼睛排列鹅卵石。我想我对自然数有一种天然的喜爱，对我来说，它们是非常有意义的东西。”P13-15

不同于其他数学书，本书既不介绍数学知识，也不宣传什么主义思想。我们的重点是数学家。我们将介绍他们在社交生活中展现出的多样的个性，揭示他们对数学的热爱及其他复杂的情感。

欧几里得和牛顿把数学变成了一门公理化、定理化的科学。数学给人的感觉首先是浑然天成、自圆其说的，如果有人质疑，那么得到的回答往往是：“这是真理，这是证明，无需多言，仅此足矣。”即使追溯到柏拉图和笛卡儿的年代，数学也往往只被当作是一种理论推理，一项完美而永恒的才能。而关于数学家们的思考，他们的快乐和痛苦，却不包含在数学之内。

理性不足以代表数学。事实上，数学是一种人造的艺术品，就像诗歌、小说和戏剧一样。而置身于所处时代和环境中的数学家和平常人一样有血有肉，他们的思维不可避免地夹杂着各种社会关系和个人情感。于是他们在自己的宏图伟业中，比如构建数学的结构，将这些情感融于其中。本书介绍的故事，将力争为读者还原数学家的感性因素。数学家的工作除了有严谨的逻辑推理，还充满了快乐、迷茫、痛苦和其他一些情感。我们发现一方面数学家容易受到社会现实的影响，比如战争、政治迫害、性别歧视和种族歧视等；另一方面，他们也会影响数学圈中的其他数学家甚至整个社会。

最近，有关思维和情感的联系是科学界的研究热点之一。神经科学家安东尼奥。达马西奥(Antonio Damasio)及其合作者指出：“现代生物学的研究表明，人类首先是感性的、社会性的动物。令我们这些接受过教育的人意想不到的是，我们在学校学到的各种高级认知能力，包括逻辑推理、判断决策，以及和语言、阅读、数学有关的技能，虽然可以不分个体地施展，但终究无法摆脱感情和个体的影响……无论施展何种技能，做什么决策，内在的情感总是悄然地在背后起作用。”缺少了主观情感的参与，人类便无法在复杂的环境中有效地使用“在学校和实验室学到的技能和知识”，做出纯理性决策。

理性的数学既可能让人兴奋，也可能让人绝望。可想而知，数学新手感受更多的是绝望，而数学大师们体验更多的则是兴奋。但无论他们的数学水平如何，他们总能同时感受到这两种截然相反的情感。数学家们的童年、壮年和老年的情感经历是本书要讨论的一个重要话题。

为了揭示数学生活的方方面面，我们阅读了很多数学家的传记和自传。我们将在本书介绍一些钟爱抽象数字的数学家的怪癖和奇闻逸事。我们很多时候会整段地引用数学家的原话，争取tE读者看到原汁原味的数学家生活。

本书还有一个目的，就是要纠正读者对数学学科和数学家的一些误解。。

第一个常见的误解是，数学家往往是缺乏感情的异类。

很多人相信，为了从事复杂的抽象推理，数学家必须克制自己的情感。在本书的前四章，大家会发现这种看法是错误的。数学家和平常人一样，也有感情生活，他们在童年和青少年时需要有人照顾，在壮年和老年时需要有人配合和相互支持。

如何平衡工作和生活对所有人来说都是一种挑战，对数学家更是如此。为了探索抽象世界中终极的确定性，数学家们必须全身心地投入。这种投入是数学家们获得成就与快乐的源泉，但也可能使他们最终迷失自我。因为没有任何成功的模式可循，数学家特别容易感到绝望与孤立。数学家的大脑，即使是和他最亲近的人也难以理解。因此他们的创造性劳动更需要理解和支持。我们将讲述一些与世隔绝的数学家最终走向毁灭的故事。当然也有一些幸运的数学家，这种与世隔绝正好使他们暂时地忘却战争和政治迫害带来的痛苦。数学为他们的心灵提供了最好的庇护。对数学的爱与恨是贯穿全书的主线。

在第一章，我们首先提出一个问题：小孩子是如何走上数学家之路的?我们试图向大家揭示小孩子们在发现数学、体验数学中感受到的乐趣。我们采访了参加过国际数学奥林匹克竞赛的小选手以及他们的父母。我们也将介绍一些数学家研究生时期的故事。在所有这些故事中，数学家们所体验到的，既有赞美也有怀疑，既有挫折也有欣喜，既有协作也有敌意，既有友谊也有妒忌。

第二章的主题是数学文化(社会)现象。数学的社会化意味着数学家们要在群体中维护共同的价值观、认知方式、社会实践与信仰，也意味着他们在为人处事、解决斗争等各方面都要遵守一定的规矩。我们将给读者介绍数学历史上三个重要的事件：费马最后定理的证明；“混沌”现象的发现；“庞加莱猜想”证明的优先权之争(其一般化是瑟斯顿(Thurston)提出的三维拓扑猜想)。“庞加莱猜想”牵扯到了两位著名的几何学家，格里高利‘佩雷尔曼(Grigori Perelman)和丘成桐，从中大家可以体会一下数学家们研究动机的异同。我们还将介绍加州大学数学家珍妮。哈里森(Jenny Harrison)教授的职位之争。(本书附录“阅读书目”中列有更多数学家的传记。)

在第三章，我们会看到数学如何为一些遭遇牢狱之灾和战争迫害的数学家提供心灵庇护的故事。我们将要介绍的第一个人物是吉恩一维克托·彭斯乐(Jean—Victor Poncelet)。彭斯乐是拿破仑军队的一名士官，战败后被捕入狱。被关在西伯利亚监狱中的彭斯乐“文思如泉涌”，做出了很多重要的几何发现。我们要介绍的最后一个人物是乌拉圭人乔斯·路易斯·马塞拉(Jose Luis Massera)，监狱成了他传播数学的教室，数学给囚犯们带去了生存下去的决心和希望。

数学也可能像毒药一样慢慢侵蚀数学家的心灵。是什么让数学家们只为数学而活?如果数学成了祸害，那么又有什么能够解救数学家们脆弱的心灵?在第四章我们将看到20世纪最伟大的数学家亚历山大·格洛腾迪克(Alexandre Grothendieck)把毕生精力奉献给数学之后，愤然谴责数学界的腐朽，并最终与数学分道扬镳，退隐山林的故事。读者还将看到一个发了疯的数学家安德鲁·布洛赫(An&6 Bloch)，他被拘押在法国沙朗通(Charenton)精神病院，却每日严格按照时刻表做一些数学研究工作，并且成了单值函数方面的专家。最著名的数学疯子是特德。凯辛斯基(Ted Kaczynski)，这个“邮件炸弹犯’’竟然给报社邮寄了一篇用数学论证过的滑稽诗文，宣扬自己的犯罪其实是在拯救世界。另一位数学大师库尔特‘哥德尔(KurtG6del)的悲惨结局则告诉我们数学天才往往是偏执狂。

关于数学家的第二个误解是：数学家为了研究数学都过着离群索居的生活。我们将在第五章和第六章驳斥这个论断。

的确，专注而持久的数学思考需要一个清静的环境和一个能够高度集中注意力的大脑。但是没有亲人朋友的关怀，思考和发现将无从谈起，脑力和情感也都将无法延续。人们习惯把数学家们想象得古怪而孤独，而忽略了他们丰富的社交生活，比如师徒之情和同事之谊。

在第五章，我们将探讨数学家的友谊和合作。我们介绍了很多对数学家合作的故事。大家将会看到，大卫·希尔伯特(DavidHilbert)和赫尔曼·闵可夫斯基(Hermann Minkowski)愉快的交往是数学家们合作的典范。英国数学家G．H_哈代(G．H．Hardy)与同胞约翰·李特伍德(John Littlewood)，以及印度数学家拉马努金(Srinivasa Ramanujan)两人的合作虽成果丰硕，但却略显辛酸。由于性格和文化的差异，他们在合作过程曾经发生过很多不愉快。大家还会看到卡尔·魏尔施特拉斯(KarlWeierstrass)和年轻的俄国学生索菲娅·柯瓦列夫斯卡娅(SonyaKovalevskaya)之间亦师亦友的深厚情谊。这对师生一度维持着非常亲密的感情，但最终的结局却令人伤感。格蕾丝·奇肖姆(Grace Chisholm)与威廉·杨(William Young)夫妇是一对著名的数学家夫妻，从她们的故事中大家不难发现，以前的女数学家在婚姻中要付出多么大的牺牲。她们的故事也许更值得我们关注，因为从20世纪开始，数学家之间的婚姻正变得越来越普遍。

在第六章，我们将探讨数学团体特有的特点与文化，以及它们在数学家的成长和工作过程中所起到的作用。在数学历史上，曾经涌现出一些极具结合力的数学团体或者数学组织，有了雄心壮志的领导、亲密的人际关系和大机构的支持，这些机构创造了一个个数学黄金时期。20世纪初哥廷根大学便是这样的一个数学组织。理查德。科朗(Richard Courant)后来在纽约大学创立的科朗研究院延续了哥廷根传奇。(幸运的是，本书的作者赫什的研究生生涯便是在科朗研究院度过的，后来又到那里读博士后。)我们将要介绍的著名数学组织还有，位于法国南锡市和巴黎市的布尔巴基组织(Bourbaki group)和大约在四十多年前的莫斯科大学机械与数学系。这些数学组织的光芒时至今日仍然影响着很多大型的国际数学组织。在这一章我们还会提到女数学家们为争取平等、尊敬和认同而创立的女数学家联合会(Association for Women in Mathematics)。这个组织为很多女性提供了支持和帮助。  第三个误解和哈代的名言有关，“数学是年轻男性的游戏(mathematics is a young man’s game)。”在第七章，我们将讨论数学家的年龄问题和性别问题。我们发现无论男性和女性，都可以在老年时期继续自己的数学追求。我们将介绍50岁以上，甚至是70岁以上的数学家的调查研究报告。有关这个年龄段的数学家的研究并不多见。这个误解也把女性排除在数学家群体之外。数学系或数学研究所里越来越多的女性数学家很好地驳斥了这个论断。虽然性别歧视仍然存在，但近些年不少女性已经成为了数学系或数学组织的领导。在本章，我们会介绍三位女性数学家先驱：索菲‘热尔曼(Sophie Germain)、索菲娅．轲瓦列夫斯卡娅(Sofia Kovalevskaya)和艾米·诺特(Emmy Noether)。我们还会介绍一些献身数学的当代女性，比如玛丽·鲁丁(Mary Rudin)、琼·伯曼(Joan Birman)、勒诺·勃鲁姆(Lenore Blum)和卡伦·于伦贝克(Karen Uhlenbeck)等。

最后一个误解，是很多人认为“数学是进入高等教育的过滤器”。我们将在最后两章，从各个不同的侧面分析从小学到大学各个层次的数学教育。这个话题无可回避，因为数学教育是数学生活的重要组成部分。现在，人们对数学存在两种截然相反的观点。一方面，人们认为数学和实际生活毫不相干，数学的高度抽象性似乎印证了这种看法。另一方面，很多人认为数学是从事一些有声望的工作——比如工程师或建筑师——的必要条件。谁应该成为数学家，也存在着两种趋势，即，精英化和大众化。本书将在更宽泛的社会背景中讨论数学的作用，为读者还原最真实的数学，并给出我们对以上问题的解答。

数学界关于如何教育孩子学习数学的争论是非常强烈的。在最后两章我们将坦诚地面对这些问题，并提出一种实际的、人性化的教育方法，我们相信这种方法能够提高美国数学教育水平。

在第八章，我们将介绍两种风格迥异，却相互影响的美国教育模式，得克萨斯州奥斯丁市的精英教学模式“摩尔教学法”(Moore method)和纽约州北部的大众化模式“波茨坦模式”(Potsdam model)。在介绍它们的同时，大家将会了解到美国数学历史上曾经存在着多么严重的种族隔离问题。

在第九章，我们将讨论一个重要的问题：数学应该如何教?我们能不能给那些喜欢数学的人提供更好的教育?我们应不应该放弃那些不喜欢数学的学生?社会无休止地抱怨过于低下的数学教学质量，那么，真正有效的教育方法应该是什么呢?我们在本章提出了一种非正规的，但却切实有效的、人性化的教育方法，并强调情感在学习过程中的作用。

在本书的结尾，我们将展望一种学习与工作并重、感性与理性并存的快乐而平衡的数学生活。

本书不是一本教育类书籍，我们不提供任何课程建议或课堂实验的统计分析。但我们试图通过本书传递数学学习、教学和研究的酸甜苦辣。本书也不是一本科研类数学书，我们不具体涉及任何一门分支。我们虽然提到了福瑞兹·约翰(Fritz John)的“均值有限振荡函数”  (functions of bounded mean oscillation)和高木贞治(Teiji Takagi)的“类域论”(class field theory)．但我们仅仅是为了细数他们的数学成就。想了解更具体细节的读者可以参阅其他文献或者教科书。我们在介绍亚历山大·格洛腾迪克的时候最为详细地解释了他的数学，是为了让读者更好地理解他的情感生活。

我们相信本书可以让读者，包括心理学家、神经科学家、人类学家和社会学家，更好地理解数学家的生活。我们期待看到更多类似这样的书籍。  本书的作者一位是数学家，另一位是心理学家。我们的专业和兴趣相差很大，但我们都相信，与数学相关的各种活动本质上是人文主义范畴的。物理学家雅各布·布罗诺夫斯基(JacobBronowski)是一名雄辩的人文主义哲学支持者。他曾写道，科学界必须“坚持独立和原创，鼓励分歧、自由和容忍：这些特征是科学的第一需求，也是科学界所要塑造的品质。每个科学家都应该是一个民主主义者。只有保持相互质疑和尊重，学会容忍但不盲从，才能让科学持续发展。最中心的道德问题是和谐统一地看待所有这些特征，包括公共需求和个人私欲”。

我们希望，我们对数学生活中的隔绝、合作、逻辑、探索、纷争和尊重等给出的解读，可以让读者认识一个更加丰富多彩的数学世界。