本书是《百科故事会》丛书之一《数学的故事》，用故事的方式深入浅出地介绍了数学领域中的各种知识、趣闻，以及数学之于生活的种种实际应用。

本书采用故事这种深入浅出的叙述方式来介绍数学领域中的各种知识、趣闻，以及数学之于生活的种种实际应用，将艰深的数学理论化身为有趣的问题，目的在于激发读者的阅读兴趣，带领读者进入数学的世界，认识数学的起源、各种运算方法和原理。

《百科故事会》丛书由风靡世界的经典故事集结而成，内容极具代表性和普遍性，故事妙趣横生，文字亲切平易，插图精美珍贵，是一部将科学性与趣味性完美结合的精致课外百科故事全书!它必将引领你进入一个陌生神秘、异彩纷呈、激动人心的知识世界。

它是一套专门为青少年朋友准备的学与用的小百科丛书，易读、易懂而又叫人着迷。阅读这些知识，能够启迪心灵、陶冶情操、培养趣味、开阔眼界、开发智力，同时又适用于成人和家长阅读，极具启智及收藏价值。

本书是《百科故事会》丛书之一《数学的故事》，用故事的方式深入浅出地介绍了数学领域中的各种知识、趣闻，以及数学之于生活的种种实际应用。

第一章 定理大发现

 数之概念伊始——结绳记事

 “数学史上最妙的发明”——十进制记数法

 纸草卷上的秘密——代数最早的意义

 高速发展的开始——数学符号的起源

 数字与图形的“爱情”——毕达哥拉斯定理

 13岁少年的游戏——帕斯卡三角形

 棋盘上的麦粒——等比数列求和

 高次方程的最早解法——秦九韶法

 数独规律的奥秘——杨辉纵横图

 墓志铭上的发现——圆柱体积的求法

 军事天才的数学造诣——拿破仑定理

 皆大欢喜——导出圆面积公式

 衣服上诞生的微分原理——卡瓦列里原理

 最具水准的情书——心形线的发现

 数学界的珠穆朗玛——哥德巴赫猜想

 十万马克悬赏的证明——费尔马问题

 男孩多于女孩吗——概率的稳定性

 醉鬼走路也有规律——布朗运动模型

 模糊变精确的秘密——浅谈模糊数学

 善于观察——你也可以发现数学定理

第二章 数学实验室

 科学的受难——平面几何三大作图难题

 可以控制的概率——布丰投针试验

 “一笔画”趣题的原型——七桥问题

 地图着色的尝试——四色问题

 着了魔的数字——角谷猜想

 植物中的神秘规律——斐波纳契数

 视觉构图的黄金定律——黄金矩形

 不可思议的数字游戏——幻方拾趣

 平面镶嵌的奇妙——简单的拓扑几何

 数格点算面积——皮克定理

 不可能图形——克莱因瓶与麦比乌斯带

 一个永恒运动的世界——y=f(x)的故事

 殊途同归——圆周率丌的计算历程

 用毕达哥拉斯定理求无理数——作图法

 埃拉托斯散筛——素数制造仪

 正多面体的规律——制作柏拉图体

 1=2的证明——发现推理的漏洞

 揭秘宇宙的规律——完美的圆锥截线

 著名的旅行货郎问题——哈密尔顿游戏

 奇妙的规律——大金字塔之谜

 神机妙算——孙子兵法中的计算规律

 圆上的格点问题——数形结合问题

 有趣的位置几何问题——变与不变

 生命不可实验——一个小数点与一场大悲剧

 最早的智力玩具——来自古老中国的难题

第三章 数学与生活

 欧洲代数复兴——数学史上的一场论战

 丁谓施工——简单的运筹学实践

 漫谈日月食——沙罗周期

 揭开电脑算命的真相——鸽笼原理

 赌金风波的意外收获——概率论的诞生

 彩票中奖的骗局——概率计算

 从兔子的繁殖规律说起——斐波纳契数与生物规律

 美妙的对称——世界的存在方式

 健康指针——人体中的数字

 混沌的美丽——鸟群运动模拟

 数数看——花园中的数学

 数字服务于生活——打电话的数学

 编制密码——质数的巨大功用

 趣味数学建模——足球联赛的理论保级分数

 自然的数学语言——六边形与自然界

 一数定乾坤——战争中的数学应用

 伟大的数学家——美国空军的三块钢板

 美的奥秘——数学与雕塑

 充填空间的艺术——数学与建筑

 理智与情感——数学与音乐

 历史的纪念——与数学有关的邮票

三重联结：三重联结是三条线段的交会点，交点处的三个角都是120°。许多自然事件是由于边界或空间利用率所引起的一些限制而产生的。三重联结是某些自然事件所趋向的一个平衡点。除了个别的场合外，三重联结见于肥皂泡群、玉米棒子上谷粒的构成、地面或石块的裂缝。

对称：对称是人们在蝴蝶躯体、叶片形状、人体结构、圆的完美性中看到和感觉到的完全平衡。从数学的观点看来，一个对象被认为具有轴对称的条件是：人们能找到一条线把它分成完全相同的两部分，如果有可能沿这条线折叠，这两部分将会完全重叠。一个对象具有点对称的条件是：对于一个特定的点，存在着无穷多条这样的对称轴，例如一个圆对它的中心点来说具有点对称。

镶嵌：镶嵌一个平面，就是说能用平坦的拼砖覆盖这个平面，并且拼砖间没有空隙，也不互相交叠，例如用正六边形、正方形或其他形状的拼砖进行的镶嵌。空间的镶嵌或充填则用立方体或截头八面体等三维对象。

数字服务于生活——

打电话的数学

每次当你拿起电话听筒打电话、发传真，或上网发布信息时，你就进入了非常复杂的巨大网络。覆盖全球的通信网是惊人的，很难想象每天有多少电话在这个网络上打来打去。一个系统被不同国家和水域的不同系统“分割”，它是如何运行的呢？一次电话是如何通向你所在的城市、你所在的国家或另一国家中的某个人的呢？

在电话发明后的早期阶段，打电话的人拿起电话听筒不能立即拨号与通话方联系，而是摇动曲柄，先与本地交换台的接线员联系，把对方的号码告诉他，然后由他把你同试图通话的对方连接起来。如今，这一过程由于有了各种不同的转换和送达通话的先进技术而变得简单易行。这些技术包含线性规划的各种复杂类型，以及有关二进制和二进编码的数学，已脱离了潜在的不稳固地位而成为有意义的东西。

声音是如何行进的？最早的方法是将声音产生的声波在听筒中转换成电信号，今天，这些电脉冲可以用许多不同的方法传递和转换。它们可以变成激光信号，然后沿光纤电缆传递；可以转换成无线电信号，然后利用无线电或微波线路在一个国家内从一座塔传送到另一座塔；或者仍旧作为电信号沿着电话线传送。在许多国家里，大部分电话都是由自动交换系统接通的，十分快捷方便安全。这个系统有一个程序，它包含电话运行的所有方面所需的信息，并且时刻在了解哪些电话正在使用，哪些通道是空闲的。通话可以由不同频率的电流传送，或转换成数字信号。这两种方法都能使多重通话沿同一电线传送。最新式的系统把通话转换成数字信号，然后再用二进制数列编码，于是各个通话可以沿着线路以特定的次序“同时”行进，直到它们被译码并到达各自的目的地。

打电话时，电话系统自动选择最佳通话途径，并发出一连串指令，以接通线路，整个过程只需几分之一秒。通话线路最好是直接通向对方的一一从节省距离和时间的观点看来，这是人们所期望的。但是如果直接线路正在为别的通话服务，新的通话就必须沿其他线路中最好的一条进行。这正是需要用到线性规划的地方。我们把电话线路问题当做一个有几百万个面的复杂几何立体形来看待，每个顶点代表一个可能的解，问题是要找出最优解，而不必计算每一个解。1947年，数学家乔治·B．丹齐克研究出了求解复杂线性规射问题的单纯形法。单纯形法实质上是沿着立体的棱进行，依次检查每一隅角，并总是向着最优解前进。当可能解的数目不超过15000～20000时，这方法能有效地求得解答。1984年，数学家纳伦德拉·卡马卡发现一种方法，它使求解很麻烦的线性规划问题，例如长距离电话最优通话线路问题所需的时间大为缩短。卡马卡算法采取了一条通过那立体内部的捷径，在选择了一个任意内点之后，使整个结构变形，以把问题改造得使所选择的点正好在立体的中心。下一步是朝着最优解的方向找到一个新的点，再将结构变形，又使新点位于中心。必须进行变形，否则那些看来能给出最优改进的方向都是虚假的，这些重复的变换以射影几何的概念为基础，很快便能得到最优解。

今天，古老的电话敬语“请报号码”已经成为一种回忆，看似简单的拿起电话听筒打电话的过程，现在正依赖着一个庞大而复杂的网络运作着。P167-169

从讨厌数学到迷上数学

数学，是一个庞大的世界。

并非数学本身庞大，而是数学应用的范围十分庞大。如何全面地概括数学的内涵与外延，我认为是高不可及的，因为它所涵盖的面是如此宽广。

我们的世界是包裹在数学的圣衣中不断发展的，换言之，世界成长于数学之上，又毫无例外地寓于数学之中。古代文明中孕育出的数学基因，在漫长的人类历史中衍衍而生，数学离不开客观世界，同样，客观世界也离不开数学。

于是，从我们记事起就在不停地学习数学，从学习数字的运算到了解和把握数学思想，从小学一直到大学。只不过很久以来，我们一直都相信，传授知识比传播快乐更重要。所以，即使是考虑到自己的能力和愿望，也还是只能将艰深、枯燥的瓣业术语一个个啃下去，一点点灌进去，好像不这样就学不好似的。然而，有多少人真正把学习数学当成一种乐趣呢？

《小学生数学报》曾经作过一份问卷调查，在孩子们接触的各类数学知识中，以什么样的形式出现最受学生们的欢迎呢？结果，数学故事，包括童话故事受欢迎率达到了91.6％，排在第一位。

其实，不光是孩子们，成人又何尝不爱听故事呢？听故事是人的一种近乎本能的需求。考古学者的研究发现，早在新石器时代，乃至旧石器时代的原始人就开始听故事了。他们是研究了原始人类的头骨之后得出这个结论的。英国著名学者福斯特说：“当时的听众是一群围着篝火听得入神、连打呵欠的原始人。这些被大毛象或犀牛弄得精疲力竭的人，只有故事的悬宕才能使他们不至于入睡。”在《天方夜谭》里，国王山鲁亚尔也是个爱听故事的人，而山鲁佐德公主就是由于会讲故事，才最终挽救了萨桑国妇女的性命，也救了她自己。

本书也采用了故事这种深入浅出的叙述方式来介绍数学领域中的各种知识、趣闻，以及数学之于生活的种种实际应用。将艰深的数学理论化身为有趣的问题，目的在于激发读者的阅读兴趣，带领读者进入数学的世界，认识数学的起源、各种运算方法和原理。

我的青少年时代很少看得到学科故事，所以我编著了这本数学故事集，希望生活在今天的青少年能多一份轻松和开心，并且在生动有趣的数学故事熏陶影响下，从讨厌数学的人变成喜欢数学的人！

2006年12月