即使会数学，也不懂龟鹤算法，这并不是因为头脑笨，而是老师的教法不女子，实际上，小学所学的各种算法的本质是“比”，乍一看，这两者之间似乎没什么关联，但只要用本书好好训练一下，看到问题一下就会闪现出灵感解答，会掌握超群的计算能力和思考能力。

每年都会出很多让人大动脑筋的好题，让人感叹怎么想出来的啊。应试的孩子们凭借“自身的别出心裁”来解决这些问题。这时考察的就不只是是否记住了知识，而是考查学生是如何开动脑筋的。

人只要常动脑筋就会变聪明。虽然小孩和大人进步的速度不同，但一定会变聪明。有趣的是，无论是运动还是学习，只要反复练习就没有人会变差。反之，不常使用的话就会退化。

本书就是希望让各位读者来解答各种各样的问题，开动脑筋，以此来提高思考力和计算力，而并不是以“解答难题”为目标。确实就像在DQ中，费一番功夫打倒一个比较强的敌人能得到很多经验值一样，面对难题，若绞尽脑汁去击败它的话，也会得到相应的“聪明度”。但是，就像有可能被强大的敌人打败一样，面对难题有可能求解不出而结束了。因此，比起挑战难题，本书侧重于介绍面对一个问题时“换一个角度的解法”。可以说是在介绍动脑筋的方法吧。

前言

第1章 热身运动

 关于某某算法这种说法

 和与差

 三个人来分

 已知平均数的情况

 思考3个人的平均数

 时而多时而少

 人数一定是整数

 把差算到一起

 续篇·把差算到一起

 调换错数字

 后续·调换错数字

 年龄问题

 年龄的总和

 在这彦中想传达给大家的事

第2章 盐水问题

 什么是盐水问题

 盐水问题的正攻法

 猜猜会变成多大的浓度

 后续·猜猜会变成多大的浓度

 具体地算出浓度

 使用天平解决的问题

 增加食盐来调节味道

 从比例中求得增加的食盐的量

 从一部分的百分比值来求整体的量

 这次是“煮浓”问题

 浴缸里的开水

 相互调换内部的物质

 在这章中想传递给大家的信息

第3章 龟与鹤令人称奇的故事

 龟与鹤的故事

 凭直觉来猜

 从头开始攻克

 考虑比值

 使用面积图

 道具的使用方法

 脚数目之外的龟鹤问题 其一

 脚数目之外的龟鹤问题 其二

 脚数目之外的龟鹤问题 其三

 在这章中想传递给大家的信息

第4章 从整体到局部·从局部到整体

 让我们习惯用比例解答吧

 先进行通分

 不总是一样的

 百分比和比例

 后续·百分比和比例

 分数的除法

 后续·分数的除法

 再续·分数的险法

 从整体的量求局部，从局部求整体的量

 煮干盐水(再次)

 在这章中想传递给大家的信息

第5章 速度

 速度和时间和距离

 典型的追赶问题

 典型的相遇问题

 当某个量固定时

 同样的距离

 要是中途改变速度的话

 田径跑道上的追赶问题

 在跑道上相遇

 按比例思考相遇问题

 在好几次擦肩而过之后

 学校与家之间的往返

 寻找相同的量

 上山下山

 步幅和频率

 和电车擦肩而过 其1

 什么是运动的，什么是静止的

 和电车擦肩而过 其2

 在这章中想传递给大家的信息

第6章 工作

 两个人一起工作

 哪个男的更能干？

 两个人工作变成一个人的工作

 知道两个人相对的工作效率之时

 中途放弃任务

 3个反比的算法

 工作中的龟鹤

 后续·工作中的龟鹤算

 在这章中想传递给大家的信息

第7章 牛顿先生的工作

 什么是牛顿算法

 牛顿算法很难的原因

 用单纯化的问题来练习

 实际上是工程问题

 用图来解答

 通过符号的加减来解答

 为什么不能使用方程式呢

 只用比例来解答

 在这章中想传递给大家的信息

第8章 特殊的速度

 经过问题

 列车之间的追及·相遇问题

 用比例解答追及问题

 像河流一样

 两个划桨手

 河流速度急剧增大

 扶梯的升降问题

 续·扶梯的升降问题

 在这章中想传递给大家的信息

后记

问题的答案

在算术中有各种各样的类型、类别的题，把这些题进行分组，给各个组起一个叫“○○法”的名字。在一些有名的地方，有本书题目中的“龟鹤法”，甚至还有人可能听说过“植树法”。

像“取名字”这种行为，有利也有弊。

分类学是一切学问的基础。将事物进行分类，给各个类别取一个名字可以说是人类的本能。只要各个部位都取上了名字，在展望算术整体的时候就能看得很清楚。并且取了名字后，就可以和他人进行交流，能够“向他人传达”。这些就是所谓的利。

另一方面，取了名字可能就“难以脱离类别的框架”。例如想“用过与不足法来出题”时，就很难出加入过与不足法以外的因素的题。

不管怎么说最不愿听到的就是孩子们说：“老师，这个就是那个叫○○法的吧？我们还没学过所以我不会解。”等等。在前言中也提到了，学习算术是为了让头脑变聪明。

只是记住了○○法这个名称不能称之为学习

并不是分组本身不对，而是仅仅知道了如何分组往往就满足了，这才是缺点。不要总是发牢骚，动动你的脑筋，孩子们。

在设置算术的教育课程之时，笔者当然也会用“以这样的顺序来安排○○法……”的方式来进行。但是，在现场以孩子们为对象的时候就会留心不用类似“这个叫做○○法”这样的解释。无论如何都希望在那堂课上，通过解决好几道类似的题目，

自然而然地在他们的头脑中形成概念

但是，在本书中，按各章划分了“○○法”，在文中也会出现“○○法”。可能会被人指责说，这和你说的怎么不是一回事啊，但那是因为读者对象有所不同。手拿本书的人，想必大多都知道这些名称了吧。既然大家都知道，我想反过来享受“向他人传达”之优点。

并且，我希望大家不要仅满足于分组，而是抱着“让头脑变聪明”的目的来读这本书。

本书中涉及的仅仅是算术中很小的一部分。特别需要指出的是，本书没有涉及任何图形问题，因此，想不出梯形的面积公式等也是完全没问题的哦！笔者在本书中选出来作为教育课程的内容，全都是非常有用的东西。

其中，本章就是为大家所准备的热身阶段。作为正式比赛龟鹤法的助跑，为了让大家感受到“啊，算术是这样的啊”，请跟着我一起跑吧。

和与差

让我们来做一做“和差法”类型的题目。笔者非常喜欢这个名字。和就是加法，差就是减法。虽然不知道原来的数字是多少，但是我们知道加法或减法的结果。那么，原来的数字是多少呢。大概就是类似这样的题目。

太郎和次郎总共有2000日元的零花钱，为了让太郎比

次郎多分得400日元，两人应各自分得多少零花钱呢？

我们知道两人零花钱的和与差。从那里拿出两个人的金额。

假如太郎和次郎分同样多的话会怎么样呢？将两个人的和除以2就得出答案了吧。这就是思维的出发点。现在两个人的差是400日元。也就是说，在总的2000日元加上400日元，再除以2，就成了“太郎的”和“次郎的+400曰元”，即

(2000日元+400日元)÷2=1200日元

这是太郎的。只要从这里减掉400日元就是次郎的，因此可以得出

1200日元—400日元=800日元

这两个数相加得2000日元，相减得400日元。

在算术中常会画下页的图。这叫做线段图。  三个人来分

这次要分给3个人。

太郎，次郎，三郎争夺5000日元的零花钱。太郎比次郎多争到了1000日元，次郎比三郎多了500日元。三个人的零花钱各自是多少呢？

在上一页的题目中，将次郎以太郎为参照物，单纯地把总数除以2就得出了答案，利用的是这样一个思路。这次也同样的，将3个人以某一个人为参照物，再按人数来除吧。

我们已知太郎和次郎的差、次郎和三郎的差，因此以次郎为参照物似乎会比较好。

从总的5000日元减去太郎的1000日元，再加上三郎的500日元的话，就成了次郎钱的3倍了。(请看右边的图哈)因此，次郎应为

(5000日元—1000日元+500日元)÷3=1500日元

太郎，三郎各自从次郎的数中加加减减，就可得出

1500日元+1000日元=2500日元

1500日元—500日元=1000日元

将三个人的零花钱相加，正好得出5000日元。是正确的呢。啪啪啪啪(鼓掌声)。P10-14

在日本的教育课程中，小学前期学习“算术”这门课程，中学会学习“数学”这门课程。要说算术和数学有什么不同，我们常说抽象度不同。

算术大多是以身边的事物为对象，是一个极易产生联想的世界。而数学则是把事物一般化、学习方程式，用文字来表示物体。

算术和数学相比，数学似乎要显得更了不起一点。但这并不是说算术就无法进行抽象地表达了。算术也可以有各种各样的表达方式。

这本书以算术为题材进行讲解。选它为题材的理由并不是从抽象度出发的。算术和数学的另一个不同，就是不得不记住的东西的量。

从算术来看，由于其对象有具体性，不得不记住的东西有时早已掌握了。

然而，是否有很多人都把学习看做是“掌握知识”呢？那并不是错误的，但仅仅是学习的一部分。学习应该是为了提高思考力。

掌握知识，是以为提高思考力而进行训练为前提的，它不是终点。以拥有的知识为武器，如何动脑筋才是学习。

也许有的人会在考试的前一天晚上临阵磨枪，把考试范围内的东西全背了下来，凭它度过了难关。之所以全背下来就能渡过难关，是因为那次考试所考的仅仅只是“记忆知识”阶面上的东西。本来还想以更难的为考试内容，本来应该是“动脑筋的考试”。

这，就是算术。

就像前面所提到的，算术中需要记住的东西并不多。它没有负数，也没有根号，更没有方程式这样的东西。函数又是什么？

并且，这些都是受到制约的。算术中有规定：不可以使用负数或根号、方程式。

算术中需要记忆的东西很少，可以使用的工具也很少。但并不能因为这样就说算术是水平很低的东西。每年的1、2月份，负责中学入学考试的学校都会出新颖的算术考试题，那是各校老师们发表别出心裁的成果的时候。

每年都会出很多让人大动脑筋的好题，让人感叹怎么想出来的啊。应试的孩子们凭借“自身的别出心裁”来解决这些问题。这时考察的就不只是是否记住了知识，而是考查学生是如何开动脑筋的。

人只要常动脑筋就会变聪明。虽然小孩和大人进步的速度不同，但一定会变聪明。有趣的是，无论是运动还是学习，只要反复练习就没有人会变差。反之，不常使用的话就会退化。

本书就是希望让各位读者来解答各种各样的问题，开动脑筋，以此来提高思考力和计算力，而并不是以“解答难题”为目标。确实就像在DQ中，费一番功夫打倒一个比较强的敌人能得到很多经验值一样，面对难题，若绞尽脑汁去击败它的话，也会得到相应的“聪明度”。但是，就像有可能被强大的敌人打败一样，面对难题有可能求解不出而结束了。因此，比起挑战难题，本书侧重于介绍面对一个问题时“换一个角度的解法”。可以说是在介绍动脑筋的方法吧。

真要埋头对付的话，算术还真是一个很值得去应对的对手。对于认为“算术这种东西早就忘光了”的人，我边期待着要是这本书能成为他们再次发现算术趣味的契机该多好啊，边结束这篇前言。

那么，欢迎来到算术的世界！

2008年鹿持涉

学完这本书，大家对算术的世界有没有什么改观呢？

笔者在小学的时候亲身经历过小学考试。还记得在补习班从老师那儿学到了很多东西，常常全神贯注地埋头做题。

现在站到了老师的位置，并不敢肯定孩子们、学生们有多热爱做题，现在的教育能提起他们多大的兴趣。但是，我想尽可能地让他们感受到算术的乐趣。

笔者在学生时代可谓一窍不通，不像现在的学生能够在课程中反复得到训练，进步得很快。有的孩子循序渐进慢慢进步，也有的孩子会突飞猛进。进步的方式多种多样，不过绝对没有不进步的孩子。世上所有的老师在某一点上是共通的，那就是看着自己的学生进步，会感觉到由衷的高兴。

本书所写的内容，是按笔者的授课顺序来安排的，和笔者自身在小学时的理解、解法有很大的不同。那些方法都是在成为老师之后，从其他教材和其他老师那儿学到的，也有一部分是从学生的解法中提炼总结出来的。是的，笔者也在不断地训练自我。

在“前言”中也反复提到了，头脑是越用越聪明，不用就会退化。因此，算术作为锻炼大脑思维的训练手段，是一个非常棒的题材。也许对于大多数人来说，进入中学后就和算术无缘了，直到自己的孩子开始学算术才会重新拾起。但是，如果因为这本书而加深了和算术的缘分的话，那就再好不过了。

最后，请容许我对所有为这本书作出贡献的人表示感谢。

负责校对的中村爱给予了我很多宝贵的建议。插画师Manakachi Hiro将笔者非常粗略的草图做成了非常漂亮的插图。石鸠编辑让我各种各样的想法得以实施。而且，读者们拿着这本书，和我一起开动了脑筋。

这本书能够出版，我真的感到非常幸福。感谢大家。我们下次再见。

2008年鹿持涉