学是通往其他世界的入口。数字让我们得以瞥见更大的宇宙，从自然科学到社会科学，从生态灾难和疾病传播的建模到我们对大脑结构的认识，数学都扮演了难以估计的角色。

本书是一份包含许多有趣又诡异的事实、问题、轶事、方程、谜题及箴言的自助大餐。你可以自由选择浏览不同的章节，内容从钱珀努恩常数到戈贝尔数。热情的读者经常满怀欣喜地回答作者的古怪题目，享受这个过程吧！

数学引发了一场革命。它塑造了我们的思想，指引着我们的思维方式。

数学改变了我们看世界的方式。

本书由IBM研究中心大数学家Pickover写成，内容包括数学圈内的奇闻轶事以及谜题。它是当今世界最有原创性的大数学家关于数学的离奇故事。

导言

1 数字，历史，社会与人

2 神奇的数字

3 代数，百分比，魔咒，神奇的数学运算

4 几何，游戏及其他

5 概率：抓住你的机会

6 大数和无穷大

7 数学与美

解答

参考书目

毕达哥拉斯是谁？

你可以从以下的几段小节的陈述中看出，我热衷于写些有关古希腊著名数学家毕达哥拉斯的轶事。他的思想在历经三千年的数学发展后仍然繁荣蓬勃。哲学家伯特兰·罗素(Bertrand Russell)曾写道，毕达哥拉斯是有史以来最为重要的智者之一，不管是他明智时还是不明智时，都是如此。毕达哥拉斯是历史上最令人迷惑的数学家。他创建了一个数字宗教，主要教义包括灵魂的轮回、吃豆子有罪以及其他的一系列古怪的教条和规章。对于毕达哥拉斯信徒们来说，数学是让人心醉神迷的启示。

毕达哥拉斯信徒，就像当代的分形学家，与音乐家很是相似。他们在发现数学真理的同时，创造了图案和完美。数学与神学的融合源于毕达哥拉斯，并且最终影响了希腊的所有的宗教哲学体系，在中世纪的宗教中占了一席之地，并延伸到现代影响到康德。罗素认为如果没有毕达哥拉斯，神学家就不会试图寻求上帝和不朽存在的逻辑证明。

如果你想更多地了解毕达哥拉斯，请参看我的《上帝的织机》和戈曼的《毕达哥拉斯传》。

数学领域

“数学不是一部带有封面和黄铜搭扣的书，只需耐心去查找目录；也不是矿藏，虽然花费了很长时间才将其征服，而其中却只有数量有限的矿脉；也不是泥土，肥沃得足以连续不断地耕种还有收成；也不是陆地和海洋，地域可以绘制出来，轮廓确定——它是无限的以至于空间过于狭窄容不下它的野心；它的可能性是无限的，正如这个世界，宇航员永远都看不完整；它不能被限制在确定的界限内，也不可能有永远正确的定义；它如意识和生命，在每个单细胞生物体内，在物质的每个原子中，在每片树叶、每个蓓蕾、每个细胞中静止，却永远都准备着爆发，进化为新的植物和动物存在。”(西尔维斯特，《西尔维斯特数学论文选集》，第三卷，在约翰·霍普金斯大学校庆上的演讲，1877年2月22日)

数字的秘密生活

对于毕达哥拉斯和他的拥趸们来说，数字就像神灵，纯粹而自由，不随物质变化而变化。数字1到10的价值对毕达哥拉斯信徒来说，就是一种多神信仰。

毕达哥拉斯信徒认为，数字是有生命的，独立于人类的，并具有心灵感应的意识形式。人类可以抛开他们的三维躯壳，用各种方式的冥想和数字心灵感应。数字冥想是与神灵的沟通，这些神灵只要求人类虔诚的崇拜和默祷。数字冥想是一种不求神灵偏爱的祈祷。

这种想法对现代数学家来说并不陌生，他们经常争论数学究竟是人类大脑的产物还是宇宙中固有的不依存于人类思维的。观点迥异。少数数学家认为数学是人类逻辑的一种形式，不必在世间万物上都正确。

前世与数字216

古希腊数学家毕达哥拉斯是不是曾是株植物？这看起来是个奇怪的问题。不过，毕达哥拉斯曾宣称在他过去的生命中，他是植物和动物，而且，他还像圣弗朗西斯一样向动物布道。毕达哥拉斯和他的拥趸们笃信人有前世。在毕达哥拉斯时代，多数的哲学家都认为只有男人才是幸福的。毕达哥拉斯则认为植物、动物以及女人同样幸福。

在不同的古希腊著作中，我们知道毕达哥拉斯两次身世之间间隔的时间是216年。有趣的是，毕达哥拉斯认为216是个神秘的数字，因为它是6的立方。6也被认为是个“环数”，因为它的幂都是以6结尾。胎儿被认为是216天才发育成形的。

数字216还时常在神学文献的不经意的地方跳出来。柏拉图在《理想国》(The Republic，viii，546 B-D)的一篇艰涩的文章中提到216=63。它也和吉祥符号一起出现在佛经中。  鬼影

毕达哥拉斯相信即使是石头也是具有精神存在的。山脉从大地上升起是由于大地的持续的疼痛，毕达哥拉斯告诉他的信徒们，地震是由于死去鬼魂的影子引起的地下的骚乱而产生的。

毕达哥拉斯祭祀

有些历史学家声称，毕达哥拉斯在发现了著名的直角三角形定理时，曾高兴地以百牲祭庆祝。这应该是非毕达哥拉斯学派人的诽谤，并不是真实的。毕达哥拉斯是反对以动物祭奠的。相反，毕达哥拉斯信徒笃信雕塑的魔力——用香草、熏香和金属神像吸收宇宙的力量。

毕达哥拉斯与外星人

UFO和外星生命是今天的热门话题。可是难以置信的是，几千年前这些相同的想法就已经吸引了毕达哥拉斯及其信徒。实际上，毕达哥拉斯学派认为太阳系的所有行星都是有人居住的，而且这些外星人要比地球人更为先进。(让人好奇的是，这种高级外星邻居的观点一直延续到现在。)

P26-27

欢迎你来数学圈！那是我们熟悉而陌生的园地。

我们熟悉它，因为几乎每个人都走过多年的数学路，从123走到6月6(或7月7)，从课堂走进考场。然后，我们把它留给最后一张考卷，解放的头脑，不再为它留一点儿空间。我们也陌生，模糊的记忆里，是残缺的公式和零乱的图形，是课堂的催眠曲，是考场的蒙汗药……去吧，那些被课本和考卷异化和扭曲了的数学；忘记那一朵朵恶之花，我们会能迎来新的百花园。

“数学圈丛书”请大家走进数学圈，也走近数学圈子里的人。这是一套新视角下的数学读物，它不为专门传达任何具体的数学知识和解题技巧，而以“非数学的形式来普及数学”，着重宣扬数学和数学家的思想和精神。它的目的不是教人学数学，而是改变人们对数学和数学家的看法，把数学融入大众文化，回到人们的生活。读这些书不需要智力竞赛的紧张，而是要一点儿文艺欣赏的平和。你可以怀着360样心情来享受数学，经历它的趣味和生命，感悟符号背后的情感和人生。

没有人怀疑数学是文化的一部分，但诺大的“文化”，却往往将数学排除在外。当然，从人数来看，数学家在文化人中顶多占一个测度为零的空间。但是，数学的每一点进步都影响着整个文明的根基。借一个历史学家的话说，“有谁知道，在微积分和路易十四时期的政治的朝代原则之间，在古典的城邦和欧几里得几何之间，在西方油画的空间透视和以铁路、电话、远距离武器制胜空间之间，在对位音乐和信用经济之间，原有深刻的一致关系呢？”(斯宾格勒《西方的没落?导言》)所以，数学不在象牙塔，就在身边。上帝用混乱的语言摧毁了石头的巴比塔，而人类用同一种语言建造了精神的巴比塔，那就是数学。它是艺术，也是生活；是态度，也是信仰；是最复杂的简单，也是最单纯的完美。

数学是生活。当然，我们的意思不是说生活离不开算术，技术离不开微积分；而是说数学本身也能成为大众的生活态度和生活方式。很多人感觉数学枯燥无味，是因为他把数学从生活中赶走了。当你发现一个小公式也像一首小诗那么多情的时候，还忍心把它忘记吗？大家能享受“诗意的生活”，从这点说，数学是一样的。

数学的生活很简单。如今流行着很多深藏“大道理”的小故事，那些道理多半取决于讲道理的人的态度和立场。它们是多变的，因为多变而被随意扭曲，因为扭曲而成为多样选择的理由。在所谓“后现代”的今天，似乎一切东西都成为多样的，人们像浮萍一样漂荡在多样选择的迷雾里，起码的追求也失落在“和谐”的“中庸”里。数学能告诉我们，多样的背后存在统一，极端才是和谐的源泉和基础。从某种意义说，数学的精神就是追求极端，它永远选择最简的、最美的，当然也是最好的。数学决没有圆滑的道理，也不为模糊的借口留下一点儿空间。

数学生活也浪漫。很多人怕数学抽象，却喜欢抽象的绘画和怪诞的文学。可见抽象不是数学的罪过。艺术家的想象力令人羡慕，而数学家的想象力更多。希尔伯特说过，如果哪个数学家一旦改行做了小说家(真的有)，我们不要惊奇——因为那人缺乏足够的想象力做数学家，却足够做一个小说家。懂一点儿数学的伏尔泰也感觉，阿基米德头脑的想象力比荷马的多。我们认为艺术家最有想象力，那是因为我们自己太缺乏想象力。

数学是明澈的思维。生活里的许多巧合——那些常被有心或无心地异化为玄妙或骗术的巧合，也许只是自然而简单的数学结果。以数学的眼光来看生活，不会有那么多的模糊。有数学精神的人多了，骗子(特别是那些穿戴着科学衣冠的骗子)的空间就小了。无限的虚幻能在数学找到最踏实的归宿，它们“如龙涎香和麝香，如安息香和乳香，对精神和感观的激动都一一颂扬。”(波德莱尔《恶之花?感应》)

数学是奇异的旅行。数学在某个属于它们自身的永恒而朦胧的地方，在那片朦胧的土地上，我们已经看到了三角形的三个内角和等于180度，三条中线总是交于一点而且三分每一条中线；在那片朦胧的土地上，还存在着无数更令人惊奇的几何图形和数字的奇妙，等着我们去和它们相遇。

数学是纯美的艺术。数学家像画家和诗人，都创造“模式”，不过是用思想来创造，用符号来表达。数学的思想，就像画家的色彩和诗人的文字，以和谐的方式组织起来。数学的世界里没有丑陋的位置。在数学家的眼里，自己笔下的公式和符号就像希腊神话里的那位塞浦路斯国王，从自己的雕像看到了爱人的生命。在数学里，在那比石头还坚硬的逻辑里，真的藏着数学家们的美的追求，藏着他们的性情和生命。

数学是精神的自由。惟独在数学中，人们可以通过完全自由的思想达到自我的满足。不论王摩诘的“雪地芭蕉”还是皮格马利翁(Pygmalion)的加拉提亚(Galatea)，都能在数学中找到。数学没有任何外在的约束，约束数学的还是数学。

数学是永不停歇的人生。学数学的感觉就像在爬山，为了寻找新的山峰不停地去攀爬。当我们对寻找新的山峰不再感兴趣，生命也就结束了。

不论你是不是知道一点儿(或很多)数学，都可以走进数学圈，孔夫子说了，“知之者不如好之者，好之者不如乐之者。”只要“君子乐之”，就走进了一种高远的境界。王国维先生讲人生境界，是从“望极天涯”到“蓦然回首”，换一种眼光看，就是从无穷回到眼前，从无限回归有限。而真正圆满了这个过程的，就是数学。来数学圈走走，我们也许能唤回正在失去的灵魂，找回一个圆满的人生。

1939年12月，怀特海在哈佛大学演讲《数学与善》中说，“因为有无限的主题和内容，数学甚至现代数学，也还是处在婴儿时期的学问。如果文明继续发展，那么在今后两千年，人类思想的新特点就是数学理解占统治地位。”这个想法也许浪漫，但他期许的年代似乎太过久远——他自己曾估计，一个新的思想模式渗透进一个文化的核心，需要1 000年——我们的希望是，这个过程会快一点儿，更快一点儿。

最后，我们借从数学家成为最有想象力的作家的卡洛尔笔下的爱丽思和那只著名的“柴郡猫”的一段充满数学趣味的对话，来总结我们的数学圈旅行：

“你能告诉我，我从这儿该走哪条路吗？”

“那多半儿要看你想去哪儿。”猫说。

“我不在乎去哪儿——”爱丽思说。

“那么你走哪条路都没关系，”猫说。

“——只要能到个地方就行，”爱丽思解释。

“噢，当然，你总能到个地方的，”猫说，“只要你走得够远。”

我们的数学圈没有起点，也没有终点，不论怎么走，只要走得够远，你总能到某个地方的。

李泳

2006年8月

“皮科夫几乎每年都能出版一本书，他的书突破了计算机、艺术和思维之间的界限。”

——《洛杉矶时报》

“他是20世纪的范·列文虎克。”

——OMNI杂志

“皮科夫的工作是奇特、美丽、极好的现实主义的代表。”

——《科学美国人》

“巴克·富勒曾经想得很广泛，亚瑟·C·克拉克目前想得很广泛，但皮科夫胜过他们两个。”

——《连线》杂志