对于大多数学生来说，微积分或许是他们曾经上过的倍感迷茫且很受挫折的一门课程了。本书不仅让学生们能有效地学习微积分，更重要的是提供了战胜微积分的可靠工具。 

本书源于风靡美国普林斯顿大学的阿德里安·班纳教授的微积分复习课程，他激励了一些考试前想获得成功但考试结果却平平的学生。

作者班纳是美国普林斯顿大学的知名数学教授，并担任新技术研究中心主任。他的授课风格非正式、有吸引力并完全不强求，甚至在不失其详尽性的基础上又增添了许多娱乐性，而且他不会跳过讨论一个问题的任何步骤。
这本经典著作将易用性与可读性以及内容的深度与数学的严谨完美地结合在一起。对于每一个想要掌握微积分的学生来说，本书都是极好的资源。当然，非数学专业的学生也将大大受益。

阿德里安·班纳（Adrian Banner） 澳大利亚新南威尔士大学数学学士及硕士，普里斯顿大学数学博士。2002年起任职于INTECH公司，现为INTECH公司首席执行官兼首席投资官。同时，他在普林斯顿大学教学数学系任兼职教师。

本书是作者多年来给普林斯顿大学本科一年级学生开设微积分的每周复习课。本书专注于讲述解题技巧，目的是帮助读者学习一元微积分的主要概念。深入处理一些基本内容，还复习一些主题。本书不仅可以作为参考书，也可以作为教材，定会成为任何一位需要微积分知识人学习一元微积分的非常好的指导书。

第1章函数、图像和直线 
1.1 函数 
1.1.1 区间表示法 
1.1.2 求定义域 
1.1.3 利用图像求值域 
1.1.4 垂线检验 
1.2 反函数 
1.2.1 水平线检验 
1.2.2 求反函数 
1.2.3 限制定义域 
1.2.4 反函数的反函数 
1.3 函数的复合 
1.4 奇函数和偶函数 
1.5 线性函数的图像 
1.6 常见函数及其图像 
第2 章三角学回顾 
2.1 基本知识 
2.2 扩展三角函数定义域 
2.2.1 ASTC方法 
2.2.2 （0，2π）以外的三角函数 
2.3 三角函数的图像 
2.4 三角恒等式 
第3 章极限导论 
3.1 极限：基本思想 
3.2 左极限与右极限 
3.3 何时不存在极限 
3.4 在∞和—∞处的极限 
3.5 关于渐近线的两个常见误解 
3.6 三明治定理 
3.7 极限的基本类型小结 
第4 章求解多项式的极限问题 
4.1 x→a时的有理函数的极限 
4.2 x→a时的平方根的极限 
4.3 x→∞时的有理函数的极限 
4.4 x→∞时的多项式型函数的极限 
4.5 x→—∞时的有理函数的极限 
4.6 包含绝对值的函数的极限 
第5 章连续性和可导性 
5.1 连续性 
5.1.1 在一点处连续 
5.1.2 在一个区间上连续 
5.1.3 连续函数的一些例子 
5.1.4 介值定理 
5.1.5 一个更难的介值定理 
例子 
5.1.6 连续函数的最大值和 
最小值 
5.2 可导性 
5.2.1 平均速率 
5.2.2 位移和速度 
5.2.3 瞬时速度 
5.2.4 速度的图像阐释 
5.2.5 切线 
5.2.6 导函数 
5.2.7 作为极限比的导数 
5.2.8 线性函数的导数 
5.2.9 二阶导数和更高阶导数 
5.2.10 何时导数不存在 
5.2.11 可导性和连续性 
第6 章求解微分问题 
6.1 使用定义求导 
6.2 用更好的办法求导 
6.2.1 函数的常数倍 
6.2.2 函数和与函数差 
6.2.3 通过乘积法则求积函数的导数 
6.2.4 通过商法则求商函数的导数 
6.2.5 通过链式求导法则求复合函数的导数 
6.2.6 那个难以处理的例子 
6.2.7 乘积法则和链式求导法则的理由 
6.3 求切线方程 
6.4 速度和加速度 
6.5 导数伪装的极限 
6.6 分段函数的导数 
6.7 直接画出导函数的图像 
第7 章三角函数的极限和导数 
7.1 三角函数的极限 
7.1.1 小数的情况 
7.1.2 问题的求解——小数的情况 
7.1.3 大数的情况 
7.1.4 其他的"情况 
7.1.5 一个重要极限的证明 
7.2 三角函数的导数 
7.2.1 求三角函数导数的例子 
7.2.2 简谐运动 
7.2.3 一个有趣的函数 
第8 章隐函数求导和相关变化率 
8.1 隐函数求导 
8.1.1 技巧和例子 
8.1.2 隐函数求二阶导 
8.2 相关变化率 
8.2.1 一个简单的例子 
8.2.2 一个稍难的例子 
8.2.3 一个更难的例子 
8.2.4 一个非常难的例子 
第9 章指数函数和对数函数 
9.1 基础知识 
9.1.1 指数函数的回顾 
9.1.2 对数函数的回顾 
9.1.3 对数函数、指数函数及反函数 
9.1.4 对数法则 
9.2 e的定义 
9.2.1 一个有关复利的问题 
9.2.2 问题的答案 
9.2.3 更多关于e和对数函数的内容 
9.3 对数函数和指数函数求导 
9.4 求解指数函数或对数函数的极限 
9.4.1 涉及e的定义的极限 
9.4.2 指数函数在0附近的行为 
9.4.3 对数函数在1附近的行为 
9.4.4 指数函数在∞或—∞附近的行为 
9.4.5 对数函数在∞附近的行为 
9.4.6 对数函数在0附近的行为 
9.5 取对数求导法 
9.6 指数增长和指数衰变 
9.6.1 指数增长 
9.6.2 指数衰变 
9.7 双曲函数 
第10 章反函数和反三角函数 
10.1 导数和反函数 
10.1.1 使用导数证明反函数存在 
10.1.2 导数和反函数：可能出现的问题 
10.1.3 求反函数的导数 
10.1.4 一个综合性例子 
10.2 反三角函数 
10.2.1 反正弦函数 
10.2.2 反余弦函数 
10.2.3 反正切函数 
10.2.4 反正割函数 
10.2.5 反余割函数和反余切函数 
10.2.6 计算反三角函数 
10.3 反双曲函数 
第11 章导数和图像 
11.1 函数的极值 
11.1.1 全局极值和局部极值 
11.1.2 极值定理 
11.1.3 求全局最大值和最小值 
11.2 罗尔定理 
11.3 中值定理 
11.4 二阶导数和图像 
11.5 对导数为零点的分类 
11.5.1 使用一次导数 
11.5.2 使用二阶导数 
第12 章绘制函数图像 
12.1 建立符号表格 
12.1.1 建立一阶导数的符号表格 
12.1.2 建立二阶导数的符号表格 
12.2 绘制函数图像的全面方法 
12.3 例题 
12.3.1 一个不使用导数的例子 
12.3.2 完整的方法：例一 
12.3.3 完整的方法：例二 
12.3.4 完整的方法：例三 
12.3.5 完整的方法：例四 
第13 章最优化和线性化 
13.1 最优化 
13.1.1 一个简单的最优化例子 
13.1.2 最优化问题：一般方法 
13.1.3 一个最优化的例子 
13.1.4 另一个最优化的例子 
13.1.5 在最优化问题中使用隐函数求导 
13.1.6 一个较难的最优化例子 
13.2 线性化 
13.2.1 线性化问题：一般方法 
13.2.2 微分 
13.2.3 线性化的总结和例子 
13.2.4 近似中的误差 
13.3 牛顿法 
第14 章洛必达法则及极限问题总结 
14.1 洛必达法则 
14.1.1 类型A：0／0 
14.1.2 类型A：±∞／±∞ 
14.1.3 类型B1：（∞—∞） 
14.1.4 类型B2：（0x±∞） 
14.1.5 类型C：1±∞，00或∞0 
14.1.6 洛必达法则类型的总结 
14.2 关于极限的总结 
第15 章积分 
15.1 求和符号 
15.1.1 一个有用的求和 
15.1.2 伸缩求和法 
15.2 位移和面积 
15.2.1 三个简单的例子 
15.2.2 一段更常规的旅行 
15.2.3 有向面积 
15.2.4 连续的速度 
15.2.5 两个特别的估算 
第16 章定积分 
16.1 基本思想 
16.2 定积分的定义 
16.3 定积分的性质 
16.4 求面积 
16.4.1 求通常的面积 
16.4.2 求解两条曲线之间的面积 
16.4.3 求曲线与y轴所围成的面积 
16.5 估算积分 
16.6 积分的平均值和中值定理 
16.7 不可积的函数 
第17 章微积分基本定理 
17.1 用其他函数的积分来表示的函数 
17.2 微积分的第一基本定理 
17.3 微积分的第二基本定理 
17.4 不定积分 
17.5 怎样解决问题：微积分的第一基本定理 
17.5.1 变形1：变量是积分下限 
17.5.2 变形2：积分上限是一个函数 
17.5.3 变形3：积分上下限都为函数 
17.5.4 变形4：极限伪装成导数 
17.6 怎样解决问题：微积分的第二基本定理 
17.6.1 计算不定积分 
17.6.2 计算定积分 
17.6.3 面积和绝对值 
17.7 技术要点 
17.8 微积分第一基本定理的证明 
第18 章积分的方法I 
18.1 换元法 
18.1.1 换元法和定积分 
18.1.2 如何换元 
18.1.3 换元法的理论解释 
18.2 分部积分法 
18.3 部分分式 
18.3.1 部分分式的代数运算 
18.3.2 对每一部分积分 
18.3.3 方法和一个完整的例子 
第19 章积分的方法II 
19.1 应用三角恒等式的积分 
19.2 关于三角函数的幂的积分 
19.2.1 sin或cos的幂 
19.2.2 tan的幂 
19.2.3 sec的幂 
19.2.4 cot的幂 
19.2.5 csc的幂 
19.2.6 约化公式 
19.3 关于三角换元法的积分 
19.3.1 类型1：pa2？x2 
19.3.2 类型2：px2+a2 
19.3.3 类型3：px2？a2 
19.3.4 配方和三角换元法 
19.3.5 关于三角换元法的总结 
19.3.6 平方根的方法和三角换元法 
19.4 积分技巧总结 
第20 章反常积分：基本概念 
20.1 收敛和发散 
20.1.1 反常积分的一些例子 
20.1.2 其他破裂点 
20.2 关于无穷区间上的积分 
20.3 比较判别法（理论） 
20.4 极限比较判别法（理论） 
20.4.1 函数互为渐近线 
20.4.2 关于判别法的陈述 
20.5 p判别法（理论） 
20.6 绝对收敛判别法 
第21 章反常积分：如何解题 
21.1 如何开始 
21.1.1 拆分积分 
21.1.2 如何处理负函数值 
21.2 积分判别法总结 
21.3 常见函数在∞和—∞附近的表现 
21.3.1 多项式和多项式型函数在∞和—∞附近的表现 
21.3.2 三角函数在∞和—∞附近的表现 
21.3.3 指数在∞和—∞附近的表现 
21.3.4 对数在∞附近的表现 
21.4 常见函数在0附近的表现 
21.4.1 多项式和多项式型函数在0附近的表现 
21.4.2 三角函数在0附近的表现 
21.4.3 指数函数在0附近的表现 
21.4.4 对数函数在0附近的表现 
21.4.5 更一般的函数在0附近的表现 
21.5 如何应对不在0或1处的瑕点 
第22 章数列和级数：基本概念 
22.1 数列的收敛和发散 
22.1.1 数列和函数的联系 
22.1.2 两个重要数列 
22.2 级数的收敛与发散 
22.3 第n项判别法（理论） 
22.4 无穷级数和反常积分的性质 
22.4.1 比较判别法（理论） 
22.4.2 极限比较判别法（理论） 
22.4.3 p判别法（理论） 
22.4.4 绝对收敛判别法 
22.5 级数的新判别法 
22.5.1 比式判别法（理论） 
22.5.2 根式判别法（理论） 
22.5.3 积分判别法（理论） 
22.5.4 交错级数判别法（理论） 
第23 章求解级数问题 
23.1 求几何级数的值 
23.2 应用第n项判别法 
23.3 应用比式判别法 
23.4 应用根式判别法 
23.5 应用积分判别法 
23.6 应用比较判别法、极限比较判别法和p判别法 
23.7 应对含负项的级数 
第24 章泰勒多项式、泰勒级数和幂级数导论 
24.1 近似值和泰勒多项式 
24.1.1 重访线性化 
24.1.2 二次近似 
24.1.3 高阶近似 
24.1.4 泰勒定理 
24.2 幂级数和泰勒级数 
24.2.1 一般幂级数 
24.2.2 泰勒级数和麦克劳林级数 
24.2.3 泰勒级数的收敛性 
24.3 一个有用的极限 
第25 章求解估算问题 
25.1 泰勒多项式与泰勒级数总结 
25.2 求泰勒多项式与泰勒级数 
25.3 用误差项估算问题 
25.3.1 第一个例子 
25.3.2 第二个例子 
25.3.3 第三个例子 
25.3.4 第四个例子 
25.3.5 第五个例子 
25.3.6 误差项估算的一般方法 
25.4 误差估算的另一种方法 
第26 章泰勒级数和幂级数：如何解题 
26.1 幂级数的收敛性 
26.1.1 收敛半径 
26.1.2 求收敛半径和收敛区域 
26.2 合成新的泰勒级数 
26.2.1 代换和泰勒级数 
26.2.2 泰勒级数求导 
26.2.3 泰勒级数求积分 
26.2.4 泰勒级数相加和相减 
26.2.5 泰勒级数相乘 
26.2.6 泰勒级数相除 
26.3 利用幂级数和泰勒级数求导 
26.4 利用麦克劳林级数求极限 
第27 章参数方程和极坐标 
27.1 参数方程 
27.2 极坐标 
27.2.1 极坐标与笛卡儿坐标互换 
27.2.2 极坐标系中画曲线 
27.2.3 求极坐标曲线的切线 
27.2.4 求极坐标曲线围成的面积 
第28 章复数 
28.1 基础 
28.2 复平面 
28.3 复数的高次幂 
28.4 解zn=w 
28.5 解ez=w 
28.6 一些三角级数 
28.7 欧拉恒等式和幂级数 
第29 章体积、弧长和表面积 
29.1 旋转体的体积 
29.1.1 圆盘法 
29.1.2 壳法 
29.1.3 总结和变式 
29.1.4 变式1：区域在曲线和y轴之间 
29.1.5 变式2：两曲线间的区域 
29.1.6 变式3：绕平行于坐标轴的轴旋转 
29.2 一般立体体积 
29.3 弧长 
29.4 旋转体的表面积 
第30 章微分方程 
30.1 微分方程导论 
30.2 可分离变量的一阶微分方程 
30.3 一阶线性方程 
30.4 常系数微分方程 
30.4.1 解一阶齐次方程 
30.4.2 解二阶齐次方程 
30.4.3 为什么特征二次方程适用 
30.4.4 非齐次方程和特解 
30.4.5 求特解 
30.4.6 求特解的例子 
30.4.7 解决yP和yH间的冲突 
30.4.8 IVP 
30.5 微分方程建模 
附录A 极限及其证明 
A.1 极限的正式定义 
A.2 由原极限产生新极限 
A.3 极限的其他情形 
A.4 连续与极限 
A.5 再谈指数函数和对数函数 
A.6 微分与极限 
A.7 泰勒近似定理的证明 
附录B 估算积分 
B.1 使用条纹估算积分 
B.2 梯形法则 
B.3 辛普森法则 
B.4 近似的误差 
符号列表 
索引

本书旨在帮助你学习单变量微积分的主要概念, 同时也致力于教会你求解问题的技巧. 无论你是第一次接触微积分, 还是为了准备一次测验, 或是已经学过微积分还想再温习一遍, 我都希望本书能够对你有所帮助.
　　

写作本书的灵感来自我在普林斯顿大学的学生们. 他们在过去的几年里发现,与课堂授课、作业讲解以及他们的教科书一样, 本书的初稿是很有帮助的学习指南.以下是他们在学习过程中提出的一些你可能也想问的问题.
　　

这本书为什么这么厚？ 我是假设你真的想要掌握这门课程, 而不只是想囫囵吞枣, 一知半解, 所以你已经准备好投入一些时间和精力, 去阅读并理解这些详尽的阐述.
　

阅读之前, 我需要知道些什么？ 你需要了解一些基本的代数知识, 并且要知道如何求解简单的方程式. 本书的前两章涵盖了你所需要的大部分的微积分预备知识.
　　

啊! 下周就要期末考试了, 我还什么都不知道呢! 从哪里开始啊？ 接下来的几页就会介绍如何使用本书来备考.
　　

例题的求解过程在哪里？我所看到的只是大量的文字与少量的公式. 首先, 看一个求解过程并不能教会你应该怎样思考. 所以我通常试图给出一种\\内心独白",即当你尝试求解问题的时候, 脑海中应该经历怎样的思考过程. 最后, 你想到了求解问题的所有知识点, 但仍然需要用正确的方式把它们全部写出来. 我的建议是,先看懂并理解问题的求解方法, 然后再返回来尝试自己解答.
　　

定理的证明哪儿去了？ 本书中的大部分定理都以某种方式被验证了. 在附录A 中可以找到更多正式的证明过程.
　　

主题没有次序! 我该怎么办呢？ 学习微积分没有什么标准次序. 我选择的顺序是有效的, 但你可能还得通过搜索目录来查找你需要的主题, 其余的可以先忽略. 我也可能遗漏了一些主题. 为什么不尝试给我发送电子邮件呢? 地址是adrian calc-lifesaver.com. 你一定想不到, 我可能会为你写一个附加章节(也为下一版写, 如果有的话!).
　　

你使用的一些方法和我学到的不一样. 到底谁的正确, 我的任课老师的还是你的？ 希望我们都没错! 如果还有疑问, 就请教你的任课老师什么是对的吧.
　　

页边空白处怎么没有微积分的历史和有趣的史实呢？ 本书中有一点微积分历史内容, 但不在这里过多分散我们的注意力. 如果你想记下这些历史内容, 就请阅读一本关于微积分历史的书①吧, 那才更有趣, 而且比零零散散的几句话更值得关注.
　　

我们学校可以用这本书作为教材吗？ 这本书配有很好的习题集, 可以作为一本教材, 也可以用作一本学习指南. 你的任课老师也会发现这本书很有助于备课, 特别是在问题求解的技巧方面.
　　

这些录像是什么？ 在网站www.calclifesaver.com 上, 你可以找到我过去复习课的录像, 其中涉及了很多(但不是全部) 本书的章节和例题.
　　

如何使用这本书备考
　　

如果你快要参加考试了, 那么发挥本书效用的机会就来了. 我很同情你的处境,因为你没有时间阅读整本书的内容! 但是你不用担心, 后面的那张表会标出本书的主要章节, 来帮助你备考. 此外, 纵观整本书, 下列图标会出现在书中页边空白处,让你快速识别什么是重要内容.
　　

－例题求解过程始于此行.
　　

－这里非常重要.
　　

－你应当自己尝试解答本题.
　　

－注意：这部分内容大多是为感兴趣的读者准备的. 如果时间有限, 就请跳到下一节.
　　

此外, 一些重要的公式或定理带有边框, 一定要好好学啊.

两个通用的学习小贴士
　　

－把你自己总结的所有重要的知识点和公式都写出来, 以便记忆. 虽说数学不是死记硬背, 但也有一些关键的公式和方法, 最好是你能自己写得出来. 好记性不如烂笔头嘛! 通常来说, 做总结足以巩固和加强你对所学知识的理解. 这也是我没有在每一章的结尾部分做要点总结的主要原因. 如果你自己去做, 那将会更有价值.
　　

－尝试自己做一些类似的考试题, 比如你们学校以前的期末试题, 并在恰当的条件下进行测验. 这将意味着遵守不间断, 不吃饭, 不看书, 不打手机, 不发电子邮件, 不发信息等诸如此类的考试规则. 完成之后, 再看看你是否可以得到一套标准答案来评阅试卷, 或请人帮你评阅.
　　

①对微积分历史感兴趣的读者, 可参阅《微积分的历程：从牛顿到勒贝格》(人民邮电出版社, 2010).｜｜ 编者注
　　

考试复习的重要章节(按主题划分)