数学与音乐有着怎样的奇妙关系？黄晶晶编译的《数学与音乐的创造力(捕捉未知与无形)/图灵新知》中钢琴音乐家、数论研究者、国际数学奥赛金牌得主、日本在线数学教育教材开发者中岛幸子讲解数学与音乐的精髓和奇妙关联，让错过数学与音乐的人，与乐趣再度相遇。

中岛幸子编著黄晶晶编译的《数学与音乐的创造力(捕捉未知与无形)/图灵新知》以通俗的语言再现数学与音乐知识的发现思路，从数学、音乐各自角度讲解了两门学科的本质精神，并由此阐释了两者之间的奇妙关联和各自的“创造”的方法。没有复杂拗口的专业术语，用最基本的认知和逻辑创造属于自己的数学与音乐吧！

序言

第1章 数学与音乐相似吗？

 数学和音乐都是充满刺激的世界

 每个人都是伟大的数学家和音乐家！

 数学与音乐间的依存关系

 第二次文艺复兴？混沌与统一的时代

 发现与创造的关键在于感知

第2章 联想——发现新的关联

 不要被表面关联所蒙蔽，将两者综合比较

 数学是一种联想游戏

 小趣闻 从鬼脚图中发现问题！

 质数、原子和音乐的种子是三角函数？

 如果所有东西都是由自由伸缩的橡胶膜组成会怎么样？

 专栏 图形中数字的“约定”（拓扑学）

第3章 想象——超越维度的视角

 想象眼睛看不到的世界

 进入高维度空间

 探究四维空间

 小趣闻 日本文化与想象力

第4章 自由与创造——摒除成见

 数学就是“不直白”

 从成见到自由！思考曲面几何学

 专栏 99%的精确度当真算高吗？

 数学真的正确吗？

 有没有“对”与“错”之间的中间地带？

 伽罗瓦和拉马努金——推动数学发展的“鬼才”

第5章 神秘的自然——自然中的数学

 自然知晓那些未解之谜的答案吗？

 数学很粗糙！自然很复杂！

 分形图形中的高效率

第6章 创造属于自己的数学

 成为埃舍尔

 创造问题，提出猜想

 创造一个新“距离”

 创造新的“加法”

 专栏 如果世界上只有3个数字

 数学中的音乐

第7章 创造属于自己的音乐

 参与音乐的乐趣·感受现场的即兴性

 音与和弦的绘画

 发明新节奏·第1步“将大家粗略分成几部分（宏观上）”

 发明新节奏·第2步“将细小部分归总为几个集合（宏观上）”

 小插曲 本田竹广先生“爵士乐与3”

 制作乐器

 小插曲 日常“感觉”中隐藏的数学

第8章 音乐是自由的

 音乐和想象力

 Ⅴ度（五度）关系

 小插曲 五度音阶

 一个音中隐藏的无数“泛音”（倍音）

 形形色色的Do、Re、Mi、Fa、Sol、La、Si、Do

 探究音与音间的奥秘——Mi与Mi间的布鲁斯

 音乐是自由的

第9章 时代与感知力

 21世纪与感知力

 悄然隐藏在日常中的数学

 跨越藩篱的综合时代

 人与人相遇的奥秘

 释放感性·人类“生存”的温暖

后记

数学和音乐都是充满刺激的世界

音乐中充满了像数学的创造性，而在数学中，又存在着许多“感性”的部分，就像感受原野上一朵盛开的花的美丽。

对于数学领域中的发现和理解来说，感性和心灵非常重要，再抽象的数理描述，最终其实都要由人来理解、体验和阐释，这种情况与将意识中的外界刺激转化为有序的音乐何其相似。

音乐中的感动，就是自由地放大人的感受，去追求和探索，这一点又与数学证明不谋而合。

数学和音乐绝不是什么高不可攀的学问，男女老少都可以根据自己的感受和步调乐在其中，在那个世界里，梦想可以无限扩张。

并且，在世界全球化不断推进的今天，研究、生产领域也都渐渐迈向全球化、综合化。专家们默默雪藏的“感觉”和现象开始互融共通，以新的“视角革命”，带来了交互性的创新。

这些创新，必然与日常生活和工作中的一些发现及感动相关联。了解数学知识，并内化运用，可以在工作中找到新方法；而“育儿”这种极具创造性的工作，说不定可以启发新的数学思考角度。

总之，数学与音乐就是这样神圣深远而又妙趣横生的世界，它们就存在于我们身边，在它们的世界里人人都能成为主角，享受乐趣。

考试!演奏会!让我们从这些压力中解脱出来，将自卑意识抛诸脑后，一起去寻找属于自己的数学与音乐之乐吧!每个人都是伟大的数学家和音乐家!

可能的话，我希望那些讨厌数学又没有音乐细胞的人，或是那些认为自己早已和数学与音乐失之交臂的人，读起这本书时不会感到恐惧或无聊。

实际上，我本人在数学和音乐方面也不是全才。跟朋友吃饭AA制时总是算锴，以至于大家奚落：“幸子，认真点呀!”在古典音乐演奏会上也会非常紧张，竖笛就是我的软肋。在数学上，因为对一些初级知识不甚了解，所以解题时会创造出自己独创的解法，答案又长又不整齐，让老师们非常困扰。

但是从反复尝试中得到自己的答案，是巨大的财富。在漫长蜿蜒的道路上，一个奇妙的“灵感”为你开辟出一条近路，若是不经历之前“长路”的艰辛，是绝对体味不到这种感动的。

不过每个人邂逅灵感的方式都不尽相同，这和每个人不同的个性(知识、环境等因素的塑造)有着很大的关系，当两个人对数学和音乐的理解接近时，也就可以说他们的个性是相近的。

因此，理解音乐和数学，需要发展自己的个性，并保持其开放、独立。这种开放、独立会带来创造性的心态，在日常生活中也可以发现数学和音乐，如尝试思考新关联、探索音乐中的新节奏。若能将自己的探索成果在教科书等平台发表出来，那会更有乐趣。

接触数学和音乐的方法遵从上述的自我个性即可。当然，若是和别人类似也没有关系，从模仿他人开始无可厚非。只是千万别让他人的节奏和感受捆住手脚，一定要坚定探索自己的第一个发现、第一个理解和第一个成果。当你第一次理解勾股定理时，历史的瞬间会在你的内心重现，真是可喜可贺。当某种灵感一闪而过，帮你解答面前的难题时，如果你认为这个灵感应该被称作XX定理，那么只管将其命名为xX猜想即可。就算只创作出2小节的旋律，我也希望大家能为它附上名字，珍借这来之不易的成果。

在反复的失败和尝试后，若能感受到问题背后存在着某种东西，那么即使没有解开问题，也是当之无愧的数学家。至于音乐嘛，只要活着，每个人都在演奏着至高无上的乐章。

姑且不论现今逻辑领域的飞跃性进展，数学和音乐其实就沉睡在生活的角落。

每个人都是伟大的数学家、天才的音乐家。数学与音乐间的依存关系

音乐和数学充满了自由和意外，并且洋溢着让人欢欣雀跃的创造l生。若想要迈向这个世界的更深处，我们就必须在数学中看到音乐的感受性；在音乐中体会到数学的自由与新意。

在数学的世界中，我们要用感f生和逻辑的力量来解放先入为主的视野。在那里我们能超越日常生活中平凡的感觉，观察到一个奇妙的世界。

比如说在高中一年级时，我第一次见到欧拉公式。

P2-5

一天，日本讲谈社的一位女编辑突然联系我，问我是否有兴趣出一本书，将数学的妙趣直观地传达给普罗大众。这个想法实在是妙哉。“您对数学如此热衷，那么向形形色色的人们，比如主妇、上班族、老人、小朋友等传递一个关于数学的观念想必也并非难事，那就是——数学并不可怕，它可是笑脸迎人的，而且它就在我们身边!”这就是那位女编辑的提案。简直妙极了!她千劲十足的口吻和她所追求的“梦想”深深吸引了我，而我自己也对这个计划心向往之，便一口应了下来。

那时我首先想到的是，现在身为爵士乐钢琴家的我该以何种方式向大家传达，传达具体内容的又是什么。

如今我在从事音乐活动的同时，还在“K会”(河合塾的讲座。这并不是考试辅导班，而是可以真正体验学问本质的地方)向孩子们讲述数学的魅力。2012年春天，我又参与开发了NET LEARNING公司e—learning项目。不管怎么说，我一直梦想能让“教育”变得有活力。也希望能借助数学与音乐那怡然自得的力量，来向更多人传达创造的快乐。

我本人对音乐和数学非常痴迷，常常想，若能向全社会来传达“人人皆是数学与音乐的主角”的理念乐趣该有多好。

在数学和音乐的海洋中，沉浸于数学研究，参与创作音乐，让想象力自由张扬，成就心血之作，这种种体验无不陕乐至极。

因此，我想要写就这样一本书，能把数学和音乐笼络到一起，比起写一些智力游戏和趣味问答，我更希望能告诉大家这样一些事：“世界上有一些自由而巧妙的思考方法”“以这种出人意料的想法为契机来孕育和发现新事物”“数学和音乐可以自由发挥创作，真是妙不可言!”“在数学和音乐中，重要的是‘感知’的力量”。

我特别想要传达给大家的是，我在思考数学与音乐时发现的惊奇视角和感动。这种视角下会看到数学与音乐在根本层面上是共通的，并且可以自由组合；而感动则源于联通在一起的数学与音乐，其各自的呈现形式又活灵活现、充满生气。这种视角和感觉既自然朴素又充满新意，如果只让数学和音乐方面的专家们独享这些体验，实在太可惜了。这应该是全人类共享的财产，而且能在我们日常生活中发挥出不可估量的巨大威力。

与数学和音乐世界的邂逅方式因人而异，至于我的情况可就说来话长了，不过我还是把我跟数学和音乐邂逅的梗概讲给大家听，以供参考。

我小时候特别喜欢音乐。虽然对练习并不十分热衷，但非常喜欢自己编曲即兴演奏。附上曲名，想象着某个场景，将音符一个一个编织进去。自己想象各种景色和情感孕育出曲子，时而还会在其他人面前演奏。这个过程真是有趣极了。一直到初二我都沉迷在音乐创作的世界中。

可是，那时我的人生历练还不成熟，创作的曲子渐渐变得干篇一律，于是在初二时，我毅然决然地彻底放弃了音乐。

这样一来我就有了大把的自由时间，于是我又深深迷上了数学。

当时我还什么都不懂，数学对我来说就像是一种有趣游戏的延伸。而且在我看来，数学的研究者们似乎都像遁世的哲学家一般(若是这种形容有所冒犯，还望见谅)，心中偷偷向往。那里一定沉睡着一个无比壮美的世界，这就是当时数学给我的印象。

对我来说，数学不应该一味地由老师教授，而是应该自己去体验，不断走弯路、犯错误，然后突然灵光一现，醍醐灌顶。有一天，对数学一知半解的我看到了一本“公式集”，那简直就是一个宝箱，里面装满了过去的“数学宝藏”!将那些公式一个一个独立证明的过程就像历史再现一般有趣。之后一次偶然的机会，我得知并参加了骏台补习学校主办的英才小组，当时这个小组每个月都会组织一次自由学习活动。小组的考试时间有7～8个小时，可以随时离开考场，或者到院子里去答题，还可以随意翻阅任何参考书，就这么自由。甚至还有“请自己出题”这种题目，真是太有意思了!当时，《大学的数学》月刊有个栏目叫“彼得·弗朗克尔的作业角”，弗朗克尔先生每个月会出一道非常有趣的难题，解答出来的人在截止日期前将答案寄回，他们会将收集到的各种巧妙的解题方法介绍给大家。有一次，一道难题让我烦恼了近一个月，结果在一个发高烧的早上，我正躺在床上休息时，突然灵光一闪找到了思路，这种兴奋感真是不可言表。通过这个栏目，我还拜访了弗朗克尔先生的事务所，每次都带着很多难题满载而归，也为此享受了一段痛苦挣扎而又无比快乐的时光。这次经历，让我体会到了“靠自己的力量开拓出一条道路的乐趣”，特别是“将问题向更深一层拓展，进行小小的研究的乐趣”。当全心投入时，不管睡着、醒着还让人振奋。当重温过去的伟人们的发现，然后以数学理论来思考伟人们为什么会想到这一点、为什么做出这样的定义等时，反思他们的动机和思考过程，会变得更加有趣。这一点和音乐相同。

我对数学和音乐的相似性颇为感怀。两者都十分自由，充满了意外的发现和创造性。而且数学、音乐和生活的诸多细节都有着微妙的联系，像跨文化交流、人际交往、家务、育儿以及种种其他工作。

在日常生活中，一定有很多有趣又重要的东西沉睡在深处，那可能是数学和音乐都不可匹敌的。

现在我正在各式各样的旅途中漫步游览，希望能把自己在旅途中的感受传递给大家，因此我写下了这本书。

再次引用史蒂芬·乔布斯先生的话。

“根本问题在于，科技与人文艺术之间横亘着一条鸿沟……创造科技需要直觉和创造性，创造艺术需要修炼和规律。明白这两点的除了我再没有别人了。”

数学(理性)和音乐(感性)有相似之处。这和与乔布斯的话很像吧。

这句话乍一看是否定的含义，实际却是对未来的肯定。它紧密连接下一个时代的可能性——技术与艺术自然共存，包括家庭主妇在内的每个人都能度过充满创造性的每一天。这句话让我们意识到，每个人都拥有综合的小宇宙。不仅要贯彻好自己的职责，还要认识到技术家和艺术家不分家的事实。

伴随IT技术的发展，这句话是对每个人都是主角的未来时代的宣言。

乔布斯的思想大大推动了时代的发展，iPad和iPhone使包括家庭主妇和学生的任何人变成创造者。他开启了一个全新的时代，这是非常了不起的事情。他的思想让人人成为主角，综合关联学问、艺术、工作、日常生活和人生，推动着时代的前进。为实现这一理念，技术的发展也被推动了。

现在是时代的转折点。随着数码设备的出现和学问的综合发展，每个人都可成为发言者、文化的创造者，成为学习中的主角。教育将改头换面，以学习者为本，让学习者占据主导地位。

在今后的时代中，学习不仅限于孩子，而要延伸到工薪族、家庭主妇和老人之中，学习将变成陕乐的游戏。

正因如此，请不要感觉有压力。放轻松地享受乐趣，用自己的节奏钻研学习，不时通过考试和创作作品来检验学习的成果就可以了。不要一味地从别人那里索取知识，而要注重主体性的学习过程——产生思考的动机，思考的内容，自然的解释，发现类似点的诀窍，自己发现、研究、学习和创作作品的喜悦。

本书内容都是我个人的思考和观点，一定有很多人跟我意见相悖。但是音乐和数学通向无限世界的深奥和妙趣数不胜数，这点是毋庸置疑的。如果能让大家在各自的身边体会到这种学问和艺术的活力，那是我莫大的荣幸。

数学和音乐的乐趣需要亲身体验才能明白。在真正意义上的空闲时间里放慢脚步，绕个远路也没关系。可以做些研究，花三天时间考虑一个问题，谱写旋律，创作节奏……经过这些体验，你会发现自己的心兴奋得跳个不停。你会兴高采烈地试图了解历史上的人物出于什么动机发现了这样那样的成果。希望大家可以珍惜这种感觉。

最后，我要感谢讲谈社的编辑佐藤美奈子女士给我创作本书的机会。同时，感谢为本书绘制了生动插图的惠比寿丸穗先生。

还要对支持我工作的父母和女儿表达诚挚的谢意!

女儿也在本书画了许多插图。谢谢你!

在本书的创作过程中，我得了脑疝，让周围的人担心了。给大家添了诸多麻烦，实在抱歉。同时，也谢谢大家对我的鼓励!

小山信野先生(东洋大学)和黑川信重先生(东京工业大学)在数学方面给我了许多帮助。他们让我重拾了数学的妙趣和研究的乐趣，向他们致谢!至今为止，许多人将音乐和数学的魅力传授给我，在这里也要谢谢他们。K会培养了我传授学问中的乐趣的理念。在本书中我充分运用了该理念。K会真的是不可多得的优秀的梦之学堂。本书中介绍了入门讲座中的一些问题。如果想要体验愉快的课堂就到K会来吧。希望不久的将来可以放宽对年龄的制约，使幼儿园小朋友和老爷爷老奶奶也能自由地接受教育。

此外，对河合塾MEPLO、骏台预备学校的英才研讨会给我的照顾也表示衷心感谢。还要感谢喜欢数学和音乐的学生们。

我在在线教育和充满刺激、气氛欢快的职场中感受到了未来教育的方向，也感受到了时代的推动力。感谢大家!

还有音乐上的伙伴们，你们对我来说太重要了。一直以来都很感谢你们!让我们从现在开始，孜孜不倦地开拓自由的未来吧!让我们一起创造开心的事情，有趣的事情和美好的希望!还要谢谢一直以来支持我们的每个观众和店里的工作人员。谢谢我出色的朋友们，还有“家长同好会”的朋友以及孩子们。

音乐是一场相遇并不断持续的旅行，我还有很多不足，也会在这条道路专注地走下去。

2011年日本发生了大地震。这一年在日本发生了许多灾害：地震、核辐射、台风、雪灾……

对地震中丧生和受灾的人们从心底表示慰问。这种悲伤和缺失的痛苦一定难以磨灭。

人生常常会发生让我们无法接受的荒唐的事情。

但是震灾发生后，我感觉到了人们互相沟通心灵，互相帮助的力量的伟大。希望之花在一点点盛开。我深刻感受到人类力量的可敬和温暖。这种感觉是无可取代的。

数学和音乐能打开我们的心扉，使我们坦诚相见，是十分人性化的温暖魔法。这种魔法治愈我们的内心，让我们保持生命的活力。

但愿通过数学和音乐的力量，地球可以变得更好。

也祝愿未来可以充满希望。

希望我们能用每个人自己的双手，让未来变得更加光明。

最后再次感谢所有人。祝好。

中岛幸子

2012年夏

这是一本以数学和音乐为主题的随笔集，但充满了对世界看法的新启示，新的思考角度能让人看到一个完全不同的世界。

——日本亚马逊读者评论

了解到数学创造与自由的本质，原来数学并不仅仅是算数，作者的文章非常有个人色彩，没有数学音乐基础的人也能愉快阅读。

——日本亚马逊读者评论