人们提的问题真可谓五花八门其中一些问题涉及数学的本质，如：猜中彩票头奖的几率有多大？国际象棋棋盘上能放多少颗谷粒？数学家费马所提出的最后一项定理是什么？也有关于数学史的问题，如：数字“0”出现于何时？13是不吉利的数字吗？1/2＋1/3等于多？非得要有公式存在吗？负负为什么得正？而另外一些问题则显然超出了数学的范畴：外星人能理解我们的数学吗？可以证明上帝的存在吗？为什么有些数学家算术不好？博伊特施帕赫以用幽默诙谐、紧张刺激的方法诠释专业学识闻名，他已经习惯了观众提出的任何问题。多年来他有了个想法，就是把那些最原始的最常提到的问题写下来，这就成了《数学问题如数家珍(了如指掌)》。

没有给出现成的方程和公式，没有提纲挈领的数学史介绍，也没有提供任何文字说明，位于吉森(Gieβen)的“数学驿站”互动博物馆用动手实验的方法激发人们的求知欲。它每年吸引了15万名各年龄段的游客前来参观，让人们流连忘返的方法其实就是玩掷骰子游戏、做肥皂膜实验或者探究人体中的黄金分割等。这使得人们在不经意间掌握了许多数学现象，并且尝试对数学的自主思考。

作为馆长，也是《数学问题如数家珍(了如指掌)》的作者，博伊特施帕赫以用幽默诙谐、紧张刺激的方法诠释专业学识闻名，他已经习惯了观众提出的任何问题。多年来他有了个想法，就是把那些最原始的最常提到的问题写下来，这就成了《数学问题如数家珍(了如指掌)》。更棒的是：没有一道题是不能解的。

基础知识

问题1：什么是数学？

问题2：数学产生于何时？

问题3：第一部数学著作是什么？

问题4：什么是点？

问题5：什么是证明？

问题6：什么是公理？

问题7：怎样证明某事物不存在？

问题8：数学是自然科学还是人文科学？

问题9：为什么数学如此抽象？

问题10：是毕达哥拉斯发现了毕达哥拉斯定理吗？

数

问题11：最早的数字是几？

问题12：人们从何时开始用数字进行计算？

问题13：古埃及人如何计算？

问题14：古罗马人如何计算？

问题15：0出现于何时？

问题16：0是偶数吗？

问题17：为什么0不能作除数？

问题18：为什么我们要学习乘法口诀？

问题19：一百万兆是多少？

问题20：什么是“Googol”？

问题21：什么是二进制？

问题22：数是无穷的吗？

问题23：为什么2+2=47

问题24：存在多少个质数？

问题25：存在质数公式吗？

问题26：1/2+1/3等于多少？

问题27：存在多少个分数？

问题28：是否存在无理数？

问题29：存在多少个无理数？

问题30：什么是费马大定理？

问题31：为什么人们需要复数？

模型与模式

问题32：古代数学的三大难题是什么？

问题33：化圆为方可能吗？

问题34：什么是毕达哥拉斯定理？

问题35：一张DIN标准的A4纸有多大？

问题36：每一个四边形都是正方形吗？

问题37：哪些多边形可以拼接？

问题38：为什么圆和球无法镶嵌？

问题39：为什么蜜蜂用六边形建造蜂巢？

问题40：为什么只存在五个柏拉图多面体？

问题41：平行线会在无穷远处相交吗？

问题42：什么是非欧几里德几何？

问题43：对称为什么美？

问题44：如何在空间中表示数？

问题45：四维空间可以想象吗？

公式

问题46：1+2+3+……+100等于多少？

问题47：棋盘上能放多少颗麦粒？

问题48：公元元年存的1欧元现在值多少钱？

问题49：负负为什么得正？

问题50：二项式定理用途何在？

问题51：什么是“平方根”？

问题52：所有方程都可解吗？

问题53：什么是超越数？

偶然事件

问题54：概率计算是如何开始的？

问题55：掷十次色子就一定会出现一次六点吗？

问题56：买乐透彩票中头奖的几率有多大？

问题57：两个人生日相同的概率有多大？

问题58：什么是“山羊问题”？

问题59：如何不靠捕捞来统计鱼的数量？

微积分

问题60：阿喀琉斯什么时候才能追上乌龟？

问题61：0.999…等于1吗？

问题62：数可以被无限地加起来吗？

问题63：如何从数学角度理解运动？

问题64：什么是指数函数？

问题65：为什么对数很有用？

问题66：知道几个条件就能确定整个函数？

应用

问题67：数学能应用在哪些领域？

问题68：数学是军工科学吗？

问题69：有没有能计算出复活节日期的公式？

问题70：计算机改变了数学吗？

问题71：可以衡量数学问题的难度吗？

问题72：检查比解题更容易吗？

问题73：数学(怎么)和音乐联系在一起？

数学难题

问题74：数学中还有什么可以研究的问题吗？

问题75：为什么数学问题很重要？

问题76：什么是“希尔伯特问题”？

问题77：什么是“百万美金问题”？

问题78：什么是“(3n+1)猜想”？

问题79：一切都可以被证明吗？

问题80：数学没有悖论吗？

数学家

问题81：为什么数学家算术不好？

问题82：数学家与现实格格不入吗？为什么？

问题83：谁是史上最伟大的数学家？

问题84：谁是德国最伟大的数学家？

问题85：女性没有数学天赋吗？

问题86：为什么没有诺贝尔数学奖？

问题87：什么是“希尔伯特旅馆”？

问题88：数学家也需要直觉和幻想吗？

教与学

问题89：为什么必须要学数？

问题90：为什么数学令人恐惧？

问题91：为什么数学这么难？

问题92：一定要有公式吗？

问题93：学数学有没有捷径？

问题94：为什么数学如此难学？

趣闻逸事

问题95：13是不吉利的数字吗？

问题96：数字有意义吗？

问题97：动物会数数吗？

问题98：最优美的数学公式是哪个？

问题99：能证明上帝的存在吗？

问题100：数学知识是被发现的还是被发明的？

问题101：外星人能理解我们的数学吗？

数学与天文学同属最古老的学科。

不过还是存在着三种针对此问题的不同说法。

第一种说法：数学产生于约三万年前。第一批人类文化遗迹就产生于这个时期，其中有些带有刻痕的兽骨。这些刻痕手法精妙、大小均等、错落有致。历史学家确信它们是计数的符号。至于计数对象与目的，我们则一无所知。不过很明显，人类早在那时就已经开始计数了。而且数目结果还非常重要，以至于必须被认真地刻在骨头上。

第二种说法：数学产生于约五千年前。当时，巴比伦人和埃及人均已拥有高超的数学技艺。他们能够合理地计数、演算一些特定的方程、推演历法和测量土地。为此，他们运用了譬如毕达哥拉斯(Pythagoras，约公元前570-前510年)定理等今日毫无争议的数学知识。就我们所知，可以说这些知识已被当做自然法则被接受。也就是说，它们都经过了实践检验，可以直接运用。

第三种说法很值得考量，它认为：约两干五百年前，希腊人创立了现代意义上的数学。因为当时的他们已经认定，知识的获取不能仅凭印象、经验和直觉，还必须诉诸细致的思考、机警的争论以及严密的逻辑推导。

人们在当时创造了三个概念：定义、定理和证明。三者在时下不甚受欢迎。确切地说，这是因为几个世纪以来，人们一直把这三个概念当做教学上的“万金油”，却从未认真思考过它们的真正用途。

“定义”用于精确地描述一个概念，并在不产生歧义的前提下使之与其他概念相区别。人们要始终明确数学讨论的对象。如果我们提到一个“圆”，那指的绝不是随便具备哪种特征的圆形物体，而是存在一个明确的定义：圆是在平面上所有到定点的距离等于定长的点的集合。我们运用的只能是圆的这一特征。

“定理”是数学知识的表达形式。与使用“定义”类似，必须明确区分需要证明的和已被证明的东西。

“证明”是数学确认真理的方法。这是一种形式规整的“严谨的思考”。它要建立在严格的逻辑推导的基础之上，要尽量做到客观。

我知道，很多中小学生乃至一些大学生都对证明厌恶至极，我也清楚证明在课堂上出现得越来越少。我个人不光为此感到惋惜，更认为这是一个教育上的失误。因为数学区别于其他所有学科的地方就在于，数学的研究成果是依靠纯粹的逻辑推理与最高程度的客观标准获得的。

请大家思考一下毕达哥拉斯定理这个最有名的数学定律：对于任意直角三角形，设其直角边长为a、b，斜边长为c，则a、b、c满足公式a2+b2=c2。

两干五百年前，这个定理首次得到证明。它在形式上与从前相比一字不差，而且其正确性直到两千五百年后的今天也没有丝毫改变。试问有哪一个学科能够做到这一点？

问题3：第一部数学著作是什么？

公元前300年左右，有人写了一本书。此书自问世起就成为了影响历史最深刻的著作之一。尽管它没有像《圣经》、《古兰经》或是《资本论》那样引起政治、社会或是宗教层面的巨变，但它却在推动科学的发展方面产生了不可思议的影响。如果没有这本书，数学的历史恐怕就要被彻底改写。它绝对是有史以来最重要、最成功的一部数学著作。

这个人叫欧几里德(Euklid，约公元前330-前275年)，他写的那本书名为“几何原本”。

我们对欧几里德其人知之甚少。据估计，他于公元前320-前260年活动于亚历山大里亚——当时世界的科学中心，并且被认为是亚历山大里亚数学院的创始人。他著作颇丰，其中有六本与数学有关。

毫无疑问，《几何原本》是欧几里德最负盛名的著作。它共分为13卷，内容如下：第1-4卷研究平面几何；第5卷讨论比例关系；第6卷阐述相似几何学；第7-9卷为数论；第10卷研究无公度线段；第11-13卷探讨立体几何。

翻开这部著作，人们定会对其干净利落的著述风格感到惊讶。开头没有司空见惯的前言，没有前人著作的索引，也没有感谢辞，而是一上来就直入主题：篇幅简短的定义、公理、公设，紧接着是定理、习题和图示。

书中绝大部分定理可能并非由欧几里德首先证明，他也并无此意。写《几何原本》是为了系统性地总结当时的数学知识。单是总结已经是一项让人钦佩的成就了，它足以令欧几里德名垂青史。

但是，这部著作不是百科全书，也并未不分主次罗列数据。欧几里德的功绩在于，他将所有内容以数学的形式表述了出来。这意味着内容上的前后相接。这种结构上的逻辑性要求所有命题都必须得到证明，且只能从已经证明的命题出发进行逻辑推导！也就是说，为了证明第29号命题，人们只能从前28个定理中寻找依据。这种做法当然不是无止境的，而必须建立在某些特定的命题，即所谓“基本定理”或“公设”之上。今天人们将其统称为“公理”。一条典型的“公设”是这样的：两点确定一条直线。这样便形成了一项完整的规定：为了证明第29号定理，只能使用第1-28号定理及公设。

《几何原本》是确立数学学科体系的典范之作，为数学指明了方向，创设了标准！

两千三百多年来，欧几里德确立的“立足事实”标准在数学上被奉为圭臬，并且将永远与数学同在。P5-8

位于吉森(Gieβen)的“数学驿站”是一座以数学为主题的互动博物馆。该馆自2002年开放以来，每年吸引了15万名各年龄段的游客前来参观。馆中150余个展位令游客们流连忘返。在这里，人们可以玩掷骰子游戏、做肥皂膜实验或者探究人体中的黄金分割。不经意间，游客们便掌握了许多数学现象，并且尝试自主思考，从中获得教益。

尽管博物馆中没有给出现成的方程和公式，没有提纲挈领的数学史介绍，也没有提供任何文字说明，但动手实验还是明显地激发了众人的求知欲。于是经常有人与我进行交流。有些人发电子邮件，有些人则选择颇传统的写信方式来向我提问。

总的来说，这些向我提出的问题真可谓五花八门。

其中一些问题涉及数学的本质，如：

猜中彩票头奖的几率有多大？

国际象棋棋盘上能放多少颗谷粒？

数学家费马所提出的最后一项定理是什么？

也有关于数学史的问题，如：

数字“0”出现于何时？

为什么没有设立诺贝尔数学奖？

什么是“希尔伯特问题”？

有些问题很容易回答，诸如：

一张A4纸有多大？

13是不吉利的数字吗？

1／2+1／3等于多少？

下面这些问题则十分棘手：

一切事物都能够得到证明吗？

非得要有公式存在吗？

负负为什么得正？

而另外一些问题则显然超出了数学的范畴：

外星人能理解我们的数学吗？

可以证明上帝的存在吗？

为什么有些数学家算术不好？

在这本书里我给出了对上述问题的个人解答。一方面，我对所有问题都认真对待。作为科学家，我不能凭空杜撰答案，而必须本着负责的态度确保解答的正确性。另一方面，我也对提问者的理解能力给予了足够的重视，因此总是力求使解答清晰明了。毕竟，大家都想弄清楚事情的原委。

当然，文中不论问题的遴选还是解答的编排都带有主观色彩。为了让答案尽可能做到言简意赅、一针见血，有时我甚至需要鼓起勇气。写作时，我将特奥多尔·冯塔内(Theodor Fontane)笔下的施特希林(Stechlin)所说的一句名言奉为圭臬：“从来没有无懈可击的真理，就算有也是乏味的。”

希望这本书能够对所有问题作出解答。如果读者还有疑问，并且确信我能提供帮助，那么请直接写邮件给我吧！邮箱地址是：

albrecht.beutelspracher@mathemati.kum.de

阿尔布雷希特·博伊特施帕赫