这本书深入浅出，渗透着一名优秀的物理学家对一些数学理论的深刻理解。这些数学理论包括：微分流形、整体拓扑性质、指标定理和四维流形。

对于学理论物理的学生，这是一本很好的入门书。同时，此书对从事相关研究的物理学工作者肯定也有很好的参考价值。

本书以理论物理文献中常用的语言深入浅出地介绍了微分几何与拓扑学(涉及代数拓扑与微分拓扑)近几十年来有深刻意义的重要发展。这些发展与理论物理的发展是密切相关的。全书分三个部分。第1部分介绍有关微分流形的基础知识，包括外微分形式、斯托克斯定理、弗罗贝尼乌斯定理、流形上张量的微分运算、黎曼流形和复流形等。第2部分讨论微分流形的整体拓扑性质，包括同伦性质、同调性质、德·拉姆上同调理论、陈省身发展的纤维丛理论和纤维丛示性类理论。第3部分对指标定理和四维流形的性质作了较深入的探讨，着重介绍了阿蒂亚一辛格指标定理如何具体应用于四种经典椭圆复形，如何应用于杨振宁-米耳斯场(Y-M场)而给出瞬子的模空间的维数。在此基础上，又介绍了唐纳森的一个深刻的定理及其证明的思路，并扼要叙述了弗里得曼和陶柏斯等利用唐纳森这个定理获得的重要结果：4维欧氏空间R4中有不止一种，甚至不可数的无穷多种互相不微分同胚的微分结构。这与n≠4的Rn只有唯一的微分结构有着重要的区别，从而引起理论物理界的重视。

本书可作为理论物理专业研究生教材，也可供科研人员参考。

第1部分 微分流形

 第1章 预备知识

§1.1 什么是流形

§1.2 在流形中引入坐标与微分结构

§1.3 切空间和余切空间

§1.4 微分形式与外微分

§1.5 流形的定向和微分形式的积分

 第2章 切向量和余切向量的一些性质和运算

§2.1 切向量场和余切向量场的映射变换

§2.2 子流形及层状结构

§2.3 李导数Lx

§2.4 内积算子ix和三个Cartan公式

§2.5 齐李群空间

§2.6 李群空间上的不变向量场和不变余向量场

 第3章 曲率张量和挠率张量、协变微分、伴随外微分

§3.1 协变微分与联络

§3.2 流形上向量的迁移及曲率和挠率

§3.3 曲率张量和挠率张量的结构方程和可积条件

§3.4 Hodge*和伴随外微分

 第4章 黎曼几何

§4.1 黎曼度量

§4.2 Levi-Civita平行输运、黎曼联络、曲率张量

§4.3 两个有趣的例子

§4.4 n维黎曼流形上的四脚标架场

§4.5 黎曼流形上的共形变换群(流形维数>2)

§4.6 黎曼流形上的共形变换群(流形维数n=2)

 第5章 复流形

§5.1 复流形和它的特点

§5.2 矢量空间上的复结构和近复流形

§5.3 近厄米流形、厄米流形、厄米联络

§5.4 Kahler流形

第2部分 整体拓扑性质

 第6章 流形的同伦性质与同伦群

§6.1 同伦映射

§6.2 基本群∏1(M，x。)

§6.3 同伦群的结构与同态序列

§6.4 高阶同伦群

§6.5 7z维球S”的同伦群

 第7章 同调论与de Rham上同调论

§7.1 整同调群

§7.2 同调群与连通性、定向性的关系

§7.3 通过对偶同态引入上同调群

§7.4 de Rham上同调论

§7.5 调和形式Harmk(M，R)

 第8章 纤维丛及其拓扑结构

§8.1 什么是纤维丛

§8.2 纤维丛与截面

§8.3 几种有代表性的纤维丛

§8.4 其他各种纤维丛举例

§8.5 万有丛和分类空间

 第9章 纤维丛上的联络与曲率

§9.1 一般向量丛上的联络

§9.2 有关向量丛上曲率的几个说明

§9.3 主丛上的联络

§9.4 伴向量丛上的联络

 第10章 纤维丛的示性类与曲率张量

§10.1 不变多项式与示性类

§10.2 复向量丛上的陈示性类

§10.3 实向量丛上的庞特里亚金示性类

§10.4 实定向偶维向量丛上的欧拉示性类

§10.5 实向量丛上的斯蒂菲尔-惠特尼示性类

§10.6 陈-Simons示性类

第3部分 指标定理和四维流形

 第11章 无边界流形的指标定理

§11.1 椭圆微分算子与解析指标

§11.2 椭圆复形与Atiyah-Singer指标定理

§11.3 de Rham复形与Gauss-Bonnet定理

 第12章 四维流形的一些重要性质

§12.1 S4上非平庸瞬子解(*F=F)和Bianchi恒等式

§12.2 自对偶联络A(∈■)的模空间维数

§12.3 单连通4-流形的拓扑分类

§12.4 Donaldson定理

§12.5 Taubes定理