盛文林主编的《人类在数字上的发现》内容介绍：欧洲自文艺复兴时期起通过对绘画的透视关系的研究，发现了射影几何。18世纪，蒙日应用分析方法对形进行研究，开微分几何学的先河。19世纪，康托尔的点集理论，扩大了形的范围；庞加莱发现拓扑学，使形的连续性成为几何研究的对象。这些发现都使几何学面目一新。19～20世纪之交，庞加莱创立了拓扑学之后，对客观世界中随机现象的分析，产生了概率论。

盛文林主编的《人类在数字上的发现》内容介绍：20世纪出现各种崭新的技术，产生了新的技术革命，特别是计算机的出现，使数学又面临一个新时代。由于计算机研制与应用的需要，离散数学、组合数学等又逐渐被数学家们发现。

进入21世纪，数学进入了黄金时代，数学开始与工程、科学密切联系并相互作用。这种相互作用使科学得到了新视野，也促使数学发生了根本性的进步。

总之，数学从古至今便一直不断地发展，不停地产生新的发现，并且直至今日也未停止发现的脚步。《人类在数字上的发现》让我们探索神奇的数学发现。

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欧多克索斯的比例论则对走出这种绝境提供了逻辑依据。正是欧多克索斯发明的比例论为人们提供了这一长期寻觅的证据。他的理论自然使希腊数学界人士如释重负。如今可以在欧几里得的《几何原本》第五篇中找到欧多克索斯的理论。

欧多克索斯的另一个伟大贡献，即穷竭法，可以直接应用于确定更加复杂的几何图形的面积和体积。他所采用的一般方法是，用一系列已知的基本图形不断逼近不规则图形，而每一次逼近，都比前一次更加近似于原图形。

例如，我们在圆内作一个内接正方形，然后再把正方形的每条边一分为二，使之成为八边形，再把八边形的每条边平分，使之成为十六边形，依此进行，我们就可以得到一个非常近似于圆形的比较简单的多边形。用欧多克索斯的话说，这个多边形从内部“穷竭”了圆。

实际上，这个过程就是阿基米德确定圆面积的过程，阿基米德不仅将这一基本逻辑理论归功于欧多克索斯，而且还认为他用穷竭法证明了“任何锥体的体积都等于与之同底同高柱体体积的1/3”。欧多克索斯还证明了一个十分重要的命题：

取去一量之半，再取去所余之半，这样继续下去，可使所余的量小于另一任给的小量。

熟悉高等数学的读者都知道，穷竭法是现代“极限”概念的几何先驱，同时也是微积分的中心，其意义十分深远，人们认为他是仅次于最伟大的数学家阿基米德的古希腊卓越数学家。

比起前面讲到的人物，欧几里得出生要晚许多，但却没有留下任何生活细节或线索。人们甚至不知道他到底出生在哪个洲，至于他的生卒年更是无从知晓。人们只知道，他曾在雅典的柏拉图学院学习，大约在公元前300年受聘来到埃及的亚历山大大学数学系任教，并留下一部《几何原本》的数学著作。《几何原本》作为教科书被广泛地使用了2000多年，欧几里得也被认为是所有纯粹的数学家中对世界历史的进程最有影响力的一位。

亚历山大这座城市是马其顿人亚历山大占领埃及之后修建，并以他自己名字命名的城池。等到托勒密统治埃及，他便把亚历山大定为首都。为了吸引有学问的人到这座城市来，他下令建立了著名的亚历山大大学，其规模和建制堪与现代大学相比。该大学的中心是大图书馆，据说藏有60多万卷纸草书。从那以后，亚历山大便成为希腊民族精神和文化的首都，持续了将近1000年。

欧几里得正是在上述背景下来到亚历山大的，最早的几何学兴起于公元前7年的古埃及，后经古希腊人传到古希腊的都城，又借毕达哥拉斯学派系统奠基b在欧几里得以前，人们已经积累了许多几何学的知识，但缺乏系统性。大多数是片段、零碎的知识，公理与公理之间、证明与证明之间并没有什么很强的联系性，更不要说对公式和定理进行严格的逻辑论证和说明。

欧几里得通过早期对柏拉图数学思想，尤其是几何学理论系统而周详的研究，已敏锐地察觉到了几何学理论的发展趋势。他下定决心，要在有生之年完成这一工作。为了完成这一重任，在此地的无数个日日夜夜里，他一边收集以往的数学专著和手稿，向有关学者请教，一边试着著书立说，阐明自己对几何学的理解，哪怕是肤浅的理解。

经过欧几里得忘我的劳动，终于结出丰硕的果实，这就是几经易稿而最终定形的《几何原本》一书。这是一部传世之作，几何学正是有了它，不仅第一次实现了系统化、条理化，而且又孕育出一个全新的研究领域——欧几里得几何学，简称欧氏几何。《几何原本》问世以后，很快取代了以前的几何教科书。  《几何原本》是一部集前人思想和欧几里得个人创造性于一身的不朽之作。传到今天的欧几里得著作并不多，然而我们却可以从这部书详细的写作笔调中，看出他真实的思想底蕴。P18-19

数学是研究事物的数量关系和空间形式的一门科学，它的发现也是始终围绕着数和形这两个概念展开的。

在原始社会，由于生活和劳动上的需求，人们逐渐知道简单的计数，后来从用手指或实物计数发展到用数字计数。早期数学的发现，就是建立在实践的基础之上的。随着社会的发展和演变，人们计算产品数量、丈量土地活动的增加，逐渐产生了数的概念和记数法。在中国，很早就出现用十进制数字表示大数的方法。在《九章算术》中，记载了开平方、开立方的计算法则，并载有分数的各种运算以及解线性联立方程组的方法，还引入了负数的概念。16世纪以来，由于解高次方程又出现了复数。在近代，数的概念进一步抽象化，并依据数的不同运算规律，对一般的数系统进行了独立的理论探讨，发现了数学中的若干不同分支。

形的研究属于几何学的范畴。古代民族都具有形的简单概念，并往往用图画来表示，而图形之所以成为数学对象是由于工具的制作与测量的要求促成的。规矩以作圆方，中国古代夏禹治水时即已有规、矩、准、绳等测量工具。中国几何学以测量和计算面积、体积的量度为中心任务，而古希腊的传统则是重视形的性质与各种性质间的相互关系。欧几里得的《几何原本》，发现了用定义、公理、定理、证明构成的演绎体系，影响了近代数学公理化的发展，导致了19世纪非欧几何的发现。

17世纪中叶，由于科学与技术上的要求促使数学家们研究运动与变化，包括量的变化与形的变换（如投影），还发现了函数概念和无穷小分析，即现在的微积分，使数学从此进入了一个研究变量的新时代。

欧洲自文艺复兴时期起通过对绘画的透视关系的研究，发现了射影几何。18世纪，蒙日应用分析方法对形进行研究，开微分几何学的先河。19世纪，康托尔的点集理论，扩大了形的范围；庞加莱发现拓扑学，使形的连续性成为几何研究的对象。这些发现都使几何学面目一新。19～20世纪之交，庞加莱创立了拓扑学之后，对客观世界中随机现象的分析，产生了概率论。

20世纪出现各种崭新的技术，产生了新的技术革命，特别是计算机的出现，使数学又面临一个新时代。由于计算机研制与应用的需要，离散数学、组合数学等又逐渐被数学家们发现。

进入21世纪，数学进入了黄金时代，数学开始与工程、科学密切联系并相互作用。这种相互作用使科学得到了新视野，也促使数学发生了根本性的进步。

总之，数学从古至今便一直不断地发展，不停地产生新的发现，并且直至今日也未停止发现的脚步。