狗和猫会做数学。鸟类、蜜蜂、蝙蝠和海狸也会做数学。你相信高等三角学吗？偏微分方程呢？数学普及大师基思·德夫林再次带领我们到头脑与数学相遇的地方，迫使我们重新思考数学(和数学家)的真正含义。这对我们如何学习以及学校应该如何教授数学，都是既重要又及时的。

有两种数学：一种是复杂而困难的，一种是简明而易懂的。蚂蚁、龙虾、威尔士柯基犬和我们自己所实践的那种简单数学的能力是天生的。

我们人类有什么先天的计算技能？不考虑内置的数学诸如视觉现象，我们大多数人在一天中面对复杂的数学问题时，仍做得很好。然而，当我们面临以“数学”形式呈现的同样问题时，我们的准确性往往会下降。但是，如果我们有天生的数学能力，为什么我们还得教授数学？为什么我们大多数人仍觉得数学这么难学？是否有一般人能够做到的、可以提高数学能力的技巧或策略？我们能否从狗、猫和其他动物“做数学”中吸取经验以提高我们的数学技能？

对上述问题我们都有资格给以明确的回答。关于动物做数学的所有例子都表明，如果我们想要在这种正规的数学形式中做得更好，我们应该了解它在自然数学中是如何起源的。在本书中，美国全国公共电台的“数学小子”基思·德夫林博士带领我们领略这两种数学，并告诉我们如何最大程度地挖掘我们已有的天赋。

第一章 婴儿思维揭秘

第二章 埃尔维斯：懂微积分的威尔士柯基犬

第三章 数学是什么

第四章 我在哪里，我要去哪里

第五章 大自然的建筑师：能做建筑数学的动物

第六章 自然艺术家：创造美丽图案的动物(和植物)

第七章 恰是迈向正确的一步：运动中的数学

第八章 目中有它：视觉中隐藏的数学

第九章 动物的数学课

第十章 精明：街头商贩和超市顾客的数学技巧

第十一章 数字的大小

第十二章 无意义数学的困境

第十三章 开发我们的数学天赋

延伸阅读

艾哈迈德，是学者魏纳(R.Wehner)与斯里尼瓦桑(M.V.Srinivasan)在1981年发表的一篇研究论文中的实验对象，他生活在撒哈拉北部边缘的突尼斯沙漠。他从没受过正规教育，他所知道的一切都来自于经验。每一天，艾哈迈德离开他位于沙漠中的家，走很长的路去寻找食物。在搜寻中，他首先朝一个方向走，然后换另一个方向，之后再换一个方向。他一直这样走直到成功，因此，他的所作所为是非常不平凡的。由于返回的足迹可能已被吹过沙漠的风所销毁，他直接面向自己的家沿一条直线出发，不停地走直到抵达；看来他似乎事先知道，他在几步之内能走多远。

艾哈迈德无法告诉研究员他是如何进行这一非凡的导航壮举的，也没有说出他如何获得这种能力。但是，已知的唯一方法是使用一种被称为“航位推算”(dead reckoning)的技术。这种方法在很久以前由远古的水手发展起来，被英国水手称为“演绎推算”，缩写为“推算”，这一术语在某一时期被缩写为ded.reckoning。在使用这种方法时，旅行者总是沿直线移动，偶尔会急转弯，不断记录朝向，并记录速度和自最后一次改变方向后所用的时间或者自出发后所用的时间。根据所知行程的速度和时间，旅行者可以计算出该行程中任一直线段的确切距离。通过了解出发点和行程的确切方向，即可计算出每段路终点的确切位置。

航位推算需要准确地使用算术和三角，以可靠的方法测量速度、时间和方向，并妥善保存记录。当海员运用航位推算来导航时，他们会运用图表、表格、各种测量仪器以及相当数量的数学知识。(开发精确钟表的主要动力，来自于海员在辽阔的毫无特征的海洋中运用航位推算导航的需要。)在20世纪70年代中期，全球定位系统(GPS)应用于导航之前，海员和飞行员在全球使用航位推算导航；在20世纪60年代和70年代，美国国家航空航天局(NASA)的“阿波罗号”宇航员使用航位推算找到了他们往返月球的路径。

然而，艾哈迈德没有水手和月球宇航员所使用的技术。他是怎么做到的？显然，这个特殊的突尼斯“人”是一个与众不同的个体。的确了不起，因为艾哈迈德的长度差不多只有半厘米。它不是人，只是一只蚂蚁——准确地说是一只突尼斯沙漠蚂蚁。每天，这个极小的小生灵徘徊着越过荒凉的沙漠，最多可达50米，直到它意外发现一只死去昆虫的遗体。于是，它咬下一块，直接拖回巢穴——一个直径不超过1毫米的洞。它是怎么导航的？

通过跟随自己或蚁群的其他成员留下的气味和化学踪迹，许多种类的蚂蚁可以找到通往目的地的路。然而，突尼斯沙漠蚂蚁并非如此。研究人员魏纳和斯里尼瓦桑所进行的上述的观测留下了一些疑问。艾哈迈德可以每天完成此壮举的唯一办法是使用航位推算。

魏纳和斯里尼瓦桑发现，如果他们在这只沙漠蚂蚁找到食物后立即移开它，就会阻碍其找到确切的方向——如果这只蚂蚁没有被移开，它本该可以找到巢穴的方向；而且，当它走过了本该将自己带回家的精确距离时，它就停止行进，并开始不知所措地寻找自己的巢穴。换句话说，为了返回家园，它知道回家的确切朝向，也十分清楚在这个方向应该走多远，即使这条直线路径与它为了寻找食物而走过的显然是随机的“之”字形路径不一样。

最近的研究表明，沙漠蚂蚁通过计算步数测量距离。它“知道”单独一步的长度，所以乘以通过这段距离的总步数，即可算出在任何直线方向上已走过的距离。

当然，没有人会提出这个小动物在以人类的方式做乘法，或者它发现的方法与阿姆斯特朗(Neil Armstrong)前往月球途中在“阿波罗11号”中所做的经历了完全相同的智力过程。像所有的人类导航员一样，“阿波罗号”宇航员必须去学校学习如何操纵有关的设备以及进行必要的计算。而突尼斯沙漠蚂蚁这样做简直是自然而然的——它遵循自己的本能，这是数十万年进化的结果。

按照现今的计算机技术，进化已给艾哈迈德提供了一个大脑，相当于一个高度复杂、十分独特的计算机，历经许多代后精确地表现为用航位来推算导航所需要的测量和计算。艾哈迈德对这些测量或计算的思考，并不比我们对为了跑步或跳跃而控制我们的肌肉所需要的测量和计算的思考更多。事实上，就艾哈迈德的情况而言，我们根本不清楚它是否拥有任何我们通常称为有意识的智力行为的能力。

但是，仅仅因为某事出于自然或者没有自觉的意识并不意味着它是无关紧要的。毕竟，在计算机科学与工程学近五十年的深入研究中，未能产生一个可以像学步幼儿一样，在经历最初的蹒跚学步几天后就可以行走的机器人。相反，所有的研究都已表明，为实现这一壮举需要的数学和工程学是多么复杂。很少有成年人达到自觉运用数学的水平——更不用说一个为了糖果在超市灵活奔跑的小孩。更确切地说，对行走进行必要计算的能力在一定程度上与人类的大脑密切相关。

突尼斯沙漠蚂蚁也是如此。它小小的大脑可能只拥有非常有限的技能。它很可能无法学习任何新的东西，也不能对自己的生存方式作有意识的反应。但有一件事它可以做得非常好——据我们所知，确实远远优于无助的人类大脑——就是进行我们称为“航位推算”的这种特殊的数学计算。当然，这种能力不会使沙漠蚂蚁成为“数学家”，但这一计算足以保证沙漠蚂蚁的生存。这恰恰说明了自然选择是如何进化的。

自然对另一种动物实行了类似的技巧，这种动物就是我们通常认为呆笨的龙虾。

龙虾，任何一只？

我知道有人因我们杀害动物以获取肉类而拒绝吃肉，但他们却很喜欢吃海鲜。对于他们中的一些人来说，菜单的首位是一种美味的缅因州龙虾。毕竟，只要瞧瞧它：你能想象任何比它更原始、更缺少自身存在意识的动物吗？然而，下一次你坐下来吃龙虾晚餐时想想这个：你将吃掉自然界中最高超的导航者。事实是，普通的龙虾就拥有一个地理定位系统，而人类仅仅在最近才拥有能与它相匹敌的最精密的GPS，这个耗资巨大的导航系统(1974年开始研究，1994年投入运作)依赖于环绕地球的卫星，而这些卫星依赖的大部分是靠计算机力量和高等数学知识而设计的迄今最精确的计时装置。

人类用数学和技术完成的任务，龙虾通过能够“看到”地球磁场来实现，且不仅仅是在检测磁极的意义上——龙虾的系统比检测磁极更为尖端。地球两地的磁场，在方向上(磁力线对地球的倾角)和强度上都是变化的。龙虾看来能够利用这一变化，用以准确定位它身处何方。这一点是仅在几年前，由北卡罗来纳大学的海洋科学家洛曼(Ken Lohmann)和他的博士研究生博尔斯(Larry Boles)所发现。

在佛罗里达群岛附近海域对加勒比龙虾进行为期六年的研究之前，博尔斯就已确信它们拥有这种令人不可思议的能力。为了证明这一事实，博尔斯尝试用各种方法来迷惑他们。他把龙虾从海中捞起，放人一个不透光的塑料容器内，带着它们在他的船上绕圈子，然后把它们带上岸，放在自己的轻型货车后，再带着它们绕圈子，并在它们旁边放置强磁铁扰乱地球的磁场，最后把它们放人海上的一个新地点。这些龙虾一旦被放出，就直接朝它们的家游去；甚至当博尔斯用橡胶遮盖住它们的眼睛时，它们还是这样做。所以，龙虾不是通过光线导航的。但是，当博尔斯把一些龙虾放人他实验室的海水槽中，使它们置身于一个模仿地球磁场的人工磁场中时，如果这个磁场的方向与地球的自然磁场方向相同，龙虾将转向它们认为可以回家的正确方向；这更加肯定了博尔斯的判断。  研究人员猜测，龙虾的导航能力可能是利用磁性微粒——氧化铁，它位于该动物身体正前面的两簇神经组织之间。P25-29