从巴比伦的书记员开始，一直到21世纪的物理学家，由伊恩·斯图尔特编著的《对称的历史》向我们讲述了数学家们是如何围绕着对称理论摸爬滚打的，也讲述了那些看似无用的研究如何得出了重要公式，从而打开了观案宇宙的新窗口，并革新了科学与数学。书中提到了很多伟大数学家的人生遭际，其中既有早慧早天的加洛瓦和阿贝尔，又有嗜酒如命的数学奇才汉密尔顿，更有无可救药的赌徒兼骗子卡尔达诺，让这本书成为一本引人入胜的数学传奇。

《对称的历史》中，世界著名的数学家伊恩·斯图尔特讲述了对称理论如何变成现代科学中最重要的概念的历史，讲述这些以及一些偶然出现的天才的故事。讲述了对称理论从巴比伦到21世纪的历史。

这是一个很特别的历史，投身于对称研究的数学家反映了对称神奇魅力和无穷奥妙。我们会发现文艺复兴时期的骗子、学者和赌徒卡达诺怎样窃取了三次方程的解法。我们会发现加洛瓦这位革命青年以通过发现群理论，从而以一己之力复兴了数学，而他在21岁时死于一场为一个女人进行的决斗，之前没发表过任何作品。也许最让人揪心的是汉密尔顿，他把那些意义重大的发现刻在他与精神错乱的酒鬼的比赛用的桥牌上。

《对称的历史》用小说的笔调讲述科学史，用故事演绎数学的发展，深入浅出，而其对一些天才数学家故事的讲述有扣人心弦的力量。同时作者从数学出发，旁涉审美的基本概念，让人文科学与自然科学在同一舞台上精彩演出，是一本很有特色的科学史著作。

前言

1 巴比伦的书记员

2 家喻户晓的人

3 波斯诗人

4 嗜赌的学者

5 狡狐

6 受挫的博士和多病的天才

7 背运的革命

8 平庸的工程师和卓越的教授

9 酒醉的破坏者

10 冒牌的士兵和虚弱的书虫

11 专利局职员

12 量子论五重奏

13 五维的人

14 政治记者

15 胡思乱想的数学家

16 真与美的追寻者

参考读物

巴比伦书记员

横贯当今被称为“伊拉克”的那片地域，奔腾着世界上最著名的两条河流，一个引人瞩目的文明就由之兴起。这两条河流发源于土耳其北部，流经数百英里的肥沃平原，汇人了流向波斯湾的惟一河道。在西南，它毗邻阿拉伯高原的干旱沙漠地带，在东北，是崇峻的前托罗斯山脉（Anti-Taurus Mountains）和札格洛斯山脉（ZagrosMountains）。这两条河流就是幼发拉底河与底格里斯河，四千年前，它们的流经路线与今天相差无几，贯穿了亚述（Assyria）、阿卡德（Akkad）以及苏美尔（Sumer）的古老土地。

对人类学家来说，幼发拉底河与底格里斯河之间的地域就是著名的美索不达米亚（Mesopotamias），在希腊语中叫“两河流域”。这一地域总是被恰当地称做文明的摇篮。河流给平原带来了水源，水源使平原变得肥沃，丰富的植被引来了羊群和鹿群，继而引来了食肉动物，人类就在其间狩猎。美索不达米亚平原就是狩猎族群的伊甸园、游牧部落的聚集地。

这里如此肥沃，以至于族群狩猎的生活方式渐渐荒废，被更加有效的觅食策略取代了。公元前9000年前后，在新月沃地靠北一些的山冈上，诞生了一项革命性的技术——农业。人类社会的两种基本变革紧随而至：为照看庄稼而定居一处以及维持大量人口的可能性。这一变革促使了城市的发明，在美索不达米亚，我们仍能发现世界上最早的城市国家的人类学遗迹：尼尼微（Nineveh）、尼姆鲁德（Nimrud）、尼普尔（Nippur）、乌鲁克（Uruk）、拉旮什（Lagash）、埃利都（Eridu）、乌尔城（Ur），以及最重要的，空中花园和巴别塔的所在地——巴比伦。4000年前，农业革命使有组织的社会及其相关标志——政体、官僚机构及军事力量——变得可能。公元前2000年到公元前500年之间，幼发拉底河畔的这片繁荣景象被笼统地冠以“巴比伦文明”之名，但是广义的“巴比伦文明”还包括苏美尔文化和阿卡德文化。提起巴比伦，第一个著名的发现其实是公元前2250年前后阿卡德的萨尔冈（Sargon）的一块黏土书写板，但是，也许那时距离巴比伦人的起源已经有两三千年了。

我们对“文明”一词的起源所知甚少，只知道这是一个用以表述人类组织进入稳定社会的书面语。不过，我们今天的世界仿佛在诸多方面都要归功于古老的巴比伦。尤其是，他们是了不起的天文学家，黄道十二星座、以360度为一个循环，以及我们以60秒为一分钟、60分钟为一小时，这些都是他们的发明。巴比伦人需要这些计量方法去实践他们的天文学，因此不得不成为天文学忠贞不渝的女仆——数学的专家。

和我们一样，他们也是在学校里学习数学的。

“今天上什么课？”那布（Nabu）问道，把自己包着的午餐放在座位一边。他妈妈总要确保他有足够的面包和肉（一般是羊肉）吃，有时还给他放一块奶酪以丰富食物种类。

“数学，”他的朋友加迈什垂头丧气地回答道，“为什么不是法学呢？法学我学得会。”

数学很拿手的那布从来都不太理解为什么他的一帮同学觉得数学很难。“加迈什，你不觉得法律很枯燥吗？照搬一大堆法律短语，还得把它们背熟。”

毅力坚韧又有个好记性的加迈什笑了。“不，这很简单，你不用非思考不可。”

。这正是我觉得它枯燥的地方啊，”他的这位朋友说道，“可是数学——”  “——太难了。”希姆巴巴加入了争论，他刚刚来到“泥板学院”，一如往常地迟到了。“那布，我是说，我该怎么做这道题啊？”他指着泥板上的一道家庭作业习题。“将一个数乘以它自己，然后再加上这个数的2倍，结果是24，这个数是几？”

“是4。”那布回答说。

“真的吗？”加迈什问道。希姆巴巴说：“是的，这我知道啊，但是你是怎么得出来的呢？”

那布艰难地引导着他的两位朋友完成了他们的数学老师上周教给他们的演算过程。“2的一半加上24，等于25，然后开平方，得5。”

加迈什困惑地举起双手说：“我从来都没有真正学会过开平方，那布。”

“啊哈！”那布叫道，“我们就快明白了！”在他的两个朋友看来，他有点发疯。“加迈什，你的问题不是解方程，而是开平方！”

“都有问题。”加迈什咕哝着。

“但首先是开平方。你必须一步一步地学，就像泥板学院的长者一直告诉我们的那样。”

“他总是告诉我们别弄脏了衣服，”希姆巴巴反驳道，“但我们一点也没有注意到——”

“这不一样。这是一”

“这是很糟糕的！”加迈什悲叹道，“我怎么也成不了一个书记员的，我爸爸会把我揍到屁股坐不下去为止，我妈妈则会用乞求的眼光看着我，让我为了家庭努力学习。但是我就是学不会数学！我能记住法典，它很有意思。比如说‘如果一位先生的妻子为了另一个男人杀害了她的丈夫，那么他们应该把她钉在木桩上’。这才是我说的值得一学的东西，而不是那些枯燥的开平方。”他平息了自己的呼吸，但手还因情绪激动而颤抖着，“方程式、数字——我们惹这些麻烦干什么？”

“因为它们有用，”希姆巴巴回答道，“记住那些割奴隶耳朵的法律玩意儿又有什么用？”

“有用！”加迈什说，“惩罚他打人。”

“伤害了一个平民的眼睛，”希姆巴巴怂恿道，“你要赔偿他——”

“一个银迈纳（mina）。”加迈什说。

“打断了一个奴隶的骨头呢？”

“赔偿主人这个奴隶的价钱的一半。”

希姆巴巴开始发难：“那么，如果这个奴隶值60谢克尔（shekel），你就必须算出60谢克尔的一半是多少。如果你想执行法律，就得会数学。”

“是30。”加迈什立即回答道。

“看看，”那布大喊道，“你会数学啊！”

“我才不需要数学呢，这很明显。”未来的律师挥赶着空气，借以发泄自己激烈的情感，“如果这是关于现实问题，这样的数学我做，但不是矫揉造作的开平方。”

。你测量土地时就会用到开平方。”希姆巴巴说。

“不错，但是我上学并不是想成为一个税务员，我爸爸想让我当一个书记员，就像他一样，”加迈什强调说，“我不明白为什么各种数学都要学。”

“因为它有用。”希姆巴巴重复道。

“我觉得这不是真正原因，”那布平静地说，“我想它关乎真与美，关乎得到答案并确知它的正确性。”但是朋友们的表情告诉他，他们并不信服。

“对我来说它关乎得到一个答案并且知道它是错误的。”加迈什叹气道。

“数学之所以重要是因为它既真且美，”那布坚持道，“开平方是解方程的基础，它们可能没太大用，但这并不重要。它们有自身的重要性。”

加迈什正要说出不合宜的话来，可他发现老师走进了教室，就用一声咳嗽掩盖了自己的窘态。

“早上好，孩子们。”老师声音洪亮地说。

“早上好，老师。”

“让我来看看你们的家庭作业。”

加迈什叹着气，希姆巴巴紧张兮兮，那布却依然不动声色，这是个好办法。P7-11

1832年5月13日。一片晨雾中，两个法国人相向而立，手枪响了，这是一个年轻的女人引起的决斗。一个男人在一声枪响后倒在了地上，他受了致命伤。两星期后，他死于腹膜炎，年仅二十一岁。他被葬在一个不起眼的墓地，一个普普通通的墓穴中。数学和科学史上最重要的理论之一差点同他一起死去。

那位活下来的决斗者已不为人知；而死去的那位，就是艾瓦利斯特?加洛瓦（évaristGlois），一个政治革命家，一个只写了六十页著作的数学迷。但是，加洛瓦留下了一个数学革命的传奇。他发明了描述数学结构中的对称的语言，并推导出其结论。

今天，人们把这种语言叫做“群论”，它被人们应用于理论数学和应用数学中，并以此支配着自然世界的框架和模式。对称也是前沿物理学的主角，包括极其微小的量子论世界和极其广阔的相对论世界，它甚至给出了一条探寻“万有理论”（theoryofeverything）的途径、物理学两大主要分支的数学统一。而它只不过开始于一个简单的代数问题，就是如何根据一些数学线索求方程式中的“未知数”。

对称不是数字也不是形状，而是一种特殊的变换（transformation），一种移动物体的方式。如果一个物体在经过变换之后看起来与先前相同，那这个变换就是对称。例如，一个正方形在转动九十度之后看起来与先前是相同的。

对称理论被扩充之后，成了当今科学解释宇宙及其起源的基本理论。爱因斯坦的相对论的中心原理是，在一切的时空中，物理规律都应该是相同的。即，时空中的运动规律是对称的。量子物理学告诉我们，宇宙万物都是由细小的“基本”粒子构成的。这些粒子的运转受数学方程（自然规律）的支配，而这些规律也具有对称性。粒子以数学的方式变换成完全不同的粒子，这种变换也要遵从这个不变的物理规律。

如果没有对对称的深入的数学认识，也就不会有当今前沿物理学那些新近发现的观念。这些认识发端于理论数学，随后便进入了物理学。极其有用的理论可能产生于纯粹抽象的沉思中，就像人们经常引用的著名物理学家尤金?维格纳所说的“数学对自然科学的不可理解的影响”。对于数学，我们经常是取多予少的。

从巴比伦的书记员开始，一直到21世纪的物理学家，《为什么美即是真》向我们讲述了数学家们是如何围绕着对称理论摸爬滚打的；也讲述了那些看似无用的研究如何得出了重要公式，从而打开了观察宇宙的新窗口并革新了科学与数学。此外，在关于对称的叙述中，作者还穿插讲述了一些重要理论的文化影响和历史脉络是如何在偶然性的政治与科学变动中鲜明地凸显出来的。

本书的前半部分看起来与对称理论毫无关系，也很少涉及自然界。这是因为，对称理论并不像人们想象的那样是通过几何学变成一个普遍理理论的。实际上，当今物理学与数学中奥妙又不可或缺的对称思想，是从代数中来的。因此本书的很大一部分内容都是讲对代数方程解法的研究的。这种追索看起来很学究，事实上却非常迷人，我们的很多主角有着不同寻常的人生。虽然数学家经常沉迷于抽象思考，但他们都是人。他们当中的一些人，生活确实被过多地逻辑化了，但我们会不止一次地看到，事实上我们这些英雄们，都太人性了。我们将看到他们的生与死、爱情与决斗、对优先发明权的激烈争夺、绯闻、醉态和疾病，其间，我们将看到他们的数学思想如何揭示并改变了我们的世界。

本书从公元前10世纪开始，到加洛瓦在19世纪将其推向顶峰，追溯了人们一步步征服方程式的过程。这一过程终于在数学家遭遇“五次方”方程时被打断了，被未知的五次幂阻断了。是不是五次方程的某些根本特点让那些方法失效了？还是需要一种类似的、但更有效的方法才能得出其解决公式？是数学家们遇到了真正的障碍还是仅仅因为他们太笨了？

弄懂广为人知的五次方程的解法是非常重要的。问题是，它们是否总能用代数方程式来表述？1821年，年轻的阿贝尔证明了五次方程无法用代数方法求解。他的证明神秘而迂曲，而且他只证明了普适解法的不可能性，但没有证明为什么。

揭示了五次方程为何无法求解的人是加洛瓦，这种不可能性缘自方程的对称性。如果方程的对称性通过了加洛瓦检验——就是说，这意味着这个等式是以一种特殊的方式组合起来的，我暂时对这种组合方式不予阐释——这个方程就可以用代数公式求解。如果它们没有通过加洛瓦检验，就找不到相应的公式了。

一般的五次方程都不能用代数公式求解，因为它们的对称是有问题的。

这项伟大的发现引出了本书的第二个主题：“群”——数学上的“对称微积分”。加洛瓦把代数这一古老的数学传统改造成了研究对称的工具。

在本书的这一部分中，“群”这种词还是让人莫名其妙的行话，这些词的词义在叙述中变得重要时，我会对其进行解释的。但我一般只会用一些简单的术语，这就足以弄明白那一大堆林林总总的条目了。如果你遇到了我没有立即论述的行话之类的东西，那它就只不过是个符号而已，其实际意义并不太重要；有时，这些意义会在你的阅读过程中以某种方式呈现出来。“群”是个关键概念，但其涵义也是到了本书的中间部分才出现的。

本书还要讲到数学中一些神奇数字的独特意义。我没有借用物理学的内容，而借用了数学中的（希腊字母pi）之类的数字。比如光速，原则上说，它应该是不定的，但它在我们的宇宙中却偶然地成了186000千米/秒。然而，却总是稍稍大于3.14159，它的值是无法改变的。

五次方程的无法求解告诉我们，5和一样特殊，它是使对称群集无法通过加洛瓦的检验的最小数字。另一个奇特的例子是1，2，4，8组成的数列。针对被称为四元数和八元数的复杂数字，数学家们提出了常规实数的一序列延伸集的概念，这些数字是分别由实数的两倍、四倍和八倍构成的。接下来呢？人们会很自然地想到16，而事实上，在这个数字系统已经没有其他合理的延伸集了。这就告诉我们，数字8是特殊的。这种特殊性不是表面意义上的，而是在数学的潜在结构层面上的。

除了5和8之外，对其他一些数字的论述也使本书显得别具一格，这些数字中突出的有14，52，78，133和248。这些奇特的数字是“例外李群”（exceptionalLiegroup）的维数，它们的影响遍及整个数学和很大一部分的数学物理学。这些数字在数学的舞台上扮演着关键角色，而一些看起来与它们相差无几的数字，却只不过是些小角色而已。

在19世纪末现代抽象代数出现时，数学家们仅仅发现了这些数字非常特殊。这些数字自身并不重要，重要的是它们在代数基本法则中发挥的作用。与这些数字中的每一个都有一定关联的，是性质独特而鲜明的“李群”（Liegroup）。这些群在现代物理学中起着基础性作用，并且与时间、空间和物质的深层结构有着明显的联系。

这就引出了我们的最后一个主题：基础物理学。物理学家们一直为空间具有三个维度而时间却只有一个维度感到困惑，为什么我们生活于四维时空呢？超弦理论是物理学家们试图将整个物理学统一在一个一致的规律下的最新尝试，物理学家们想知道时空结构是否存在着某种“隐匿”（hidden）维度。这种想法看起来很荒唐，但却有着很多的历史先例。多维理论是超弦理论中最容易为人们接受的一面。

超弦理论更具争议性的一面是，它认为仅靠相对论和量子论这两大现代物理学的支柱就可以建构一种新的时空理论。统一这两种相互矛盾的理论将会是一个数学课题，而不是探求新的革命性的实验的过程。数学美感被看成是物理学真理的首要条件，这可能是个危险的假设。我们不能忽视物理领域，因为任何最终在当今人类的深思熟虑后诞生的理论，无论其数学渊源有多深，都离不开对物理实验和观察的参照。

尽管如此，我们还是有很好的理由走上数学的道路。其一，在令人信服的成熟理论建构起来以前，没人知道该进行什么样的试验；另外，数学中的对称理论在相对论和量子论中都扮演着至关重要的角色，而后两者又缺乏共同点，所以我们必须重视我们能够发现的、哪怕是一点点共同点。空间、时间和物质的可能结构是由对称决定的，而且，一些最重要的可能性似乎也与数学中的独特结构相关。也许，时空结构的性质中，只有为数不多的几种得到了数学的认定。这样，进行数学研究也就顺理成章了。

为什么宇宙看起来这么具有数学性呢？人们提出了很多的答案，但我发现每种答案都不太令人信服。数学思想与物理世界的对称、美感与最重要的数学形式中的对称，是一个深刻然而也许无法猜透的秘密。没人能够说清为什么美即是真，真即是美，我们能做的，不过是对这种关系的无限复杂性的沉思而已。