阿米尔·艾克塞尔所著的《神秘的阿列夫》讲述了第一个提出实无穷概念和连续统假设的杰出数学家乔治·康托的苦难人生：他如何得到他的理论，他的改变了世界面貌的研究成果对后代产生了怎样深远的影响？你将从本书得到这些问题的答案。

19世纪末，一位杰出的数学家在一所精神病院里身心逐渐衰弱而死去。他一系列先进观点造成的最伟大的成就，是他对无穷的特性的超前理解。这就是阿米尔·艾克塞尔所讲述的《神秘的阿列夫》中乔治·康托（Georgcantor）的故事：他如何得到他的理论，他的改变了世界面貌的研究成果对后代产生了怎样深远的影响。

《神秘的阿列夫》中康托充满智慧的、深奥哲学观点的研究工作，有古希腊数学和在喀巴拉——中世纪犹太神秘主义教派里的源头。康托用阿列夫（aleph）——希姆莱字母表中的、伴有非同寻常联想的第一个字母这——个神秘数字来表示所有正整数的集合。它不是最大的数，因为——不存在最大的数，但它是一个总能趋近的终极数：恰如数字1之前不存在最后的分数。

1 德国工业城市哈雷

2 古代起源

3 喀巴拉——中世纪犹太神秘主义教派

4 伽利略和波尔查诺

5 柏林

6 化圆为方

7 学生

8 集合论的诞生

9 第一个圆圈

10 “我看着它，但我不相信它

11 粗暴的攻击

12 超限数

13 连续统假设

14 莎士比亚和精神病

15 选择公理

16 罗素悖论

17 少年哥德尔

18 维也纳的咖啡馆

19 1937年6月14-15日之夜

20 莱布尼茨，相对论和美国宪法

21 科恩的证明和集合论的未来

22 上帝无限光亮的外袍

附录

后记

注释

1．德国工业城市哈雷

1918年1月6日，一位憔悴虚弱的老人因心脏衰竭在德国工业城市哈雷的一所大学精神病院去世。他的遗体安静地经过市区被运送到墓地，接着举行了小型葬礼。只有少数人参加了这一路德教葬礼，其中有他的妻子和遗下的5个孩子。

墓地已不再存在；那里为建私人住宅已被夷为平地。但有人把墓碑保存下来了，并且几年后在哈雷另找地方建起一个没有遗体的墓地，竖立起原来的墓碑，我们现在见到的就是它。墓碑上所刻碑文是：

乔治·康托博士

数学教授

1845.3.3—1918.1.6  

在去世前，乔治·康托在哈雷精神病院(Halle Nervenklinik)治疗了7个月。但这不是他第一次住院。乔治·康托曾经在此医院治疗、休养、读书有好几次。在1891年该院建立前，他的精神已有问题若干年了。

1869年乔治·康托在柏林大学获得数学博士学位，在该大学他在当时一些最伟大的数学家的指导下学习，并被很多重要的数学思想吸引。他渴望能把自己的才智用在发展数学分析领域里的新理论上。24岁的他为获得一个德国大学的教师职位而努力，希望这将使他有更多的时间继续他的研究。但提供给他的只是哈雷大学的职位，哈雷位于柏林西南约113千米处。

哈雷是一座有着迷人的中世纪鹅卵石街道的古老城市。它作为塞勒(Saale)河上的盐业中心建立于10世纪中叶。这个城市经历了世界大战的洗礼，有许多古建筑挺立在市中心，在市中心人们悠闲地购物或乘坐机动车来喝咖啡。哈雷也叫做五塔市。一座中世纪大厦的4个塔尖傲视着市中心其他的低矮建筑，附近耸立着第五座塔，这是1418年的红塔，是为纪念市民反对统治者的压迫，争取自由的斗争的一座建筑物。  

1685年，作曲家乔治·弗里德里希·汉德尔(Georg Friedrich Handel)诞生在哈雷的一所房子里，这所房子里最古老的墙是12世纪的。汉德尔在这所房里生活了将近18年。这所房子是现在仍能参观的展示这位作曲家生活的博览会。哈雷市一直是一座音乐会、歌剧和歌舞之城。

可以说，哈雷对于康托应该是有某些吸引力的，因为他父母双方的家庭成员中有些是很有天赋的音乐家。他们中的某些人在故乡俄罗斯已很有名望。但康托对哈雷的这种魅力并不很感兴趣。他来自一个移民的家庭——从古代亚平宁(Ibrian)半岛经丹麦和俄罗斯，这个家庭对年青的康托期望很高。特别是他的父亲全年都给康托寄信，敦促他在学校要做得更好，不要辜负家庭的巨大期望。

哈雷在两座伟大的大学城之间：柏林在东北而哥廷根在西边。19世纪末，柏林大学在数学方面是世界上最好的，而柏林是全欧洲最活跃最令人激动的城市之一，哥廷根则是另一个科学的吸引点。像哈雷一样，哥廷根也是一个古老的中世纪城市。市中心的许多房子装饰着以前住过的著名人物名字的小匾，这些人物有诗人海涅、化学家本森(Bunsen)、天文学家奥伯斯(Olbers)等等，他们当中最著名的是C.F.高斯(CarlFriedrich Gauss，1777—1855)，他是那个时代无可争议的最伟大的数学家。哈雷同时受到柏林和哥廷根的影响和推动。

但康托一直住在哈雷，等待着从未到来的邀请。多年来，只要在柏林或哥廷根有公开需要的数学工作职位，他都抱着很大希望，每当他没有获得这种职位时，他都会感到愤愤不平。他有强烈的个人欲望和疯狂的特性。这种态度使他在一生中树立了不少敌人，失去了许多朋友。对照他与其他数学家的状态，他与他的家庭成员有着亲密的关系。在与同事们交谈时他总是处于主导地位，但在家中，他则充当一个较为轻松的角色，他让妻子和孩子更接近他并引导启发在餐桌上的交谈。每次餐毕他总是问妻子：“你今天和我在一起过得愉快吗?你爱我吗?”

康托的学术生涯是从当私人讲师开始的，那也是当时进入德国的大学做研究的入门式的工作。经少许几年的努力工作，他被提升为副教授，不久成为一位数学教授。但是在他的最多产的时期中，发生了某件奇怪的事情，他暂时终止了他的工作。1884年夏，康托受到深深压抑感的打击。这年从5月到6月他完全处于停顿状态——不能工作或做任何事。他的情况使他的妻子和孩子们苦恼，使他的同事们感到遗憾，他们知道他是热切渴望攀登绝顶的数学家。然而，没有经过任何的医治或专业帮助，康托克服了他的疾病并恢复了正常生活。此后，他给他的挚友，瑞典数学家G·米塔-莱夫勒(Gosta Mittag-Leffler，1846—1927)写了一封信，信中描述了他的疾病并提到患精神疾患前他一直在研究“连续统问题”。

在随后的1885年，康托为他的家庭建起一座华丽的住宅，坐落在以哈雷的大作曲家之名汉德尔雀塞(Handelstrasse)命名的一条街道上。这房子现仍属于康托的孙子所有。这是一座2层楼房，有较高的屋顶和很大的窗户。乔治·康托的父亲，一位商人兼股票经纪人，去世后留给其后代几千万马克。这些遗产的一部分建起了这座新房和购置了家具，使康托一家过得很舒适。如今，汉德尔雀塞街是一条宁静的林阴道，街两旁有许多富丽堂皇的住宅，这些房子距大学和咖啡厅、餐馆以及文化机构都只有十几分钟的步行路程。但是，在这个新家，康托与他的家人一起住不多久，尚没有很好地享用这新住宅，不久，他的病再次复发。发病前他一直在研究连续统问题。

哈雷大学有一个非常好的心理病学系。康托能得到那时最好的治疗——并且是免费的，因为他是大学教授。他的大学和柏林的文化部授权作出这样的决定，即要慷慨地保证康托可以从教学岗位反复离开。但他进医院的次数随着时光流去变得更加频繁。柏林的普鲁士国家档案馆里保存有一封文化部致法国财政部的信，日期标为1902年8月29日。在此信中，文化部要求一笔6 600马克的资金，用来支持当康托教授病得太重时，哈雷大学为使教学得以顺利进行的数学教授替换协定。但康托再次康复并回到教学岗位。

下一年他再次发病，1904年9月17日被送进精神病院，一直住到1905年3月1日。之后在那年的秋天，康托再次进入医院。

哈雷精神病院有11座大楼，这些大楼是由吸引人的黄色研磨砖构成的，周围有很长的围墙。建筑质量是如此的精良，即使现今看起来几乎仍与百年前建立时完全一样。主要大厦有一尖塔，说它是精神病院，倒不如说更像是一个军事司令部。内部的房间宽敞明亮，窗户很大并带有私人浴室。这不是限制那些穿紧身衣的疯子自由的地方。它是——并且仍然是——一个富人们为了个人健康在此暂住几个月的医院，而这些人的家庭是能缴付房租、伙食和治疗费用的。乔治·康托，一位大学教授，被安排在一间有很好视野的单间里，并且可自由地继续他的研究。他的治疗主要是浸泡在热水澡盆里一段时间。

P1-4

虽然他确实是在医院治疗中死去的，但人们不能对后来罗素(Bertrand Russell)所说的关于康托(参考康托已写的一封信)的话作出肯定的判断，即，读到他的信的人听到他死在一个精神病院里的消息是不会感到惊讶的。

我头脑里开始萌发要写这本书的想法是在25年前的一个夜晚，那时我正在与我的朋友川特(Bob Trent)交谈，他是加利福尼亚大学柏克莱分校的毕业生。我们两人喝了好几杯咖啡都很疲累时，川特说道：“瞧，我要向你显示某些东西”，并接着写下一个用符号组成的序列：1，2，3，…，叫ω+1，ω+2，…，2ω，…ω2，…ωω”，……这促使我产生如后的想法，自然数能不断地超越无穷大，并且我们能现实地谈论关于无穷大的不同层次，越来越大，没有终点。我被川特向我解释的有关最大无穷大和包含所有集合的集合的不可能性的悖论所迷惑。我知道，这是数学的中心。

然后我知道了第一个提出实无穷概念和连续统假设的那个人的苦难人生。我所知道的乔治·康托的一生的故事深深震撼了我。几年以后，当我把这故事告诉我的出版界朋友奥克斯(John Oakes)时，他建议我写一本有关它的书。我非常感谢奥克斯持续超过5年鼓励我追踪此故事，正是他这些年的耐心和坚定的支持使我得以研究和写完这本书。 

我要感谢勃兰德斯(Brandeis)大学数学系主任鲁博曼(Daniel Ruberman)教授，在我写本书的时候，安排我作为访问学者在他们系度过了一年。我也要感谢勃兰德斯大学和本特莱学院的图书馆员们，他们帮助我查阅了很多不易找到的，有关康托的工作和无穷概念的文件、文章和书籍。

我希望对以下各位教授表示我深深的谢意，在我为写本书请求会见时，他们都不吝时间和精力与我交谈。他们包括波斯顿大学的卡那莫里(Akihiro Kanamori)教授、宾夕法尼亚州立大学的达沃逊(John Dawson)教授以及耶路撒冷希伯莱大学的塞拉赫(Saharon Shelah)教授。

我还要感谢德国哈雷的马丁一路德大学的戈贝儿(Manfred Goebel)和理士特(Ka-rin Richter)教授，感谢他们在我停留哈雷期间对我的殷勤款待，帮助我找到有关康托的生活资料及他的很多数学论文、照片、文件和网站。我也感谢哈雷大学的康托学会在我停留大学期间的殷勤款待。

我感谢哈雷医院院长和精神病医疗专家费尔曼(Frank Pillmann)博士，他让我共享了他关于康托病情的思考，并让我参观了医院的诊疗所，以及康托20世纪头几年住院治疗的地方。我也要感谢费尔曼博士向我展示了描述该医院和它的历史的多种文件，以及康托的病历。

我要向数学家宾斯基(Eugene Pinsky)博士和卡碧斯班博士致深深的谢意，感谢他们对有关康托数学的各种讨论，我还要向迪抛大学的杜德列(Underwood Dudley)教授和美国数学学会的出版主任阿伯斯(Don Albers)教授深表谢意，他们对我的全部手稿给了很多评论。他们的评论使我这本书得到提高。我也要感谢精神病医疗专家宾斯基(Venyamin Pinsky)博士和心理学家哥尔登伯格(Idell Goldenberg)博士，感谢他们对精神疾病的讨论。

最后，我要感谢我的妻子德布拉(Debla)，感谢她在我准备手稿的整个过程中所给予的帮助、支持和鼓励。