19世纪末，一位杰出的数学家在一所精神病院里身心逐渐衰弱而死去。他一系列先进观点造成的最伟大的成就，是他对无穷的特性的超前理解。

这就是乔治·康托(Georg Cantor)的故事：他如何得到他的理论？他的改变了世界面貌的研究成果对后代产生了怎样深远的影响？本书将为你揭晓答案！

19世纪末，一位杰出的数学家在一所精神病院里身心逐渐衰弱而死去。他一系列先进观点造成的最伟大的成就，是他对无穷的特性的超前理解。这就是乔治·康托(Georg Cantor)的故事：他如何得到他的理论，他的改变了世界面貌的研究成果对后代产生了怎样深远的影响。

康托充满智慧的、深奥哲学观点的研究工作，有古希腊数学和在喀巴拉——中世纪犹太神秘主义教派里的源头。康托用阿列夫aleph——希姆莱字母表中的、伴有非同寻常联想的第一个字母——这个神秘数字来表示所有正整数的集合。它不是最大的数，因为——不存在最大的数，但它是一个总能趋近的终极数：恰如数字1之前不存在最后的分数。

1　德国工业城市哈雷

2　古代起源

3　喀巴拉——中世纪犹太神秘主义教派

4　伽利略和波尔查诺

5　柏林

6　化圆为方

7　学生

8　集合论的诞生

9　第一个圆圈

10　“我看着它，但我不相信它”

11　粗暴的攻击

12　超限数

13　连续统假设

14　莎士比亚和精神病

15　选择公理

16　罗素悖论

17　少年哥德尔

18　维也纳的咖啡馆

19　1937年6月14—15日之夜

20　莱布尼茨，相对论和美国宪法

21　科恩的证明和集合论的未来

22　上帝无限光亮的外袍

附录

后记

注释

在哈雷，康托安稳地生活工作在一个二流科学研究环境中。这里，数学系的会议里没有什么新思想和新概念讨论，也缺少杰出演讲者吸引人的新研究课题的精彩演说。

这时，康托与沃丽·高特曼结婚了。高特曼是康托姐姐的一个朋友，来自柏林的一个犹太人家庭。两人是在柏林相识并一起到哈雷，于1875年结婚。他们依靠康托的政府薪俸略微提高了家庭生活水平，这种薪俸明显少于柏林大学给教授的补贴。但正是在这里，在德国的一个小城市，康托建立了自己的一套完整数学理论。

在优秀数学家的范围内，做得最好的工作是数学研究。研究成果的共享和思想交换使得新理论得以发展和兴旺。孤立工作是困难而进展缓慢的，并且当不与同行分享思想时，一个数学家很可能进入许多死胡同而迷失方向。但乔治·康托却是人类文明史中仅靠自己单独研究就建立了最惊人理论的人之一。 ．

康托在柏林从魏尔斯特拉斯那里学到了一些重要的、强大的数学分析的思想，他把这些思想带到了哈雷。在从魏尔斯特拉斯的最好的数学课程之一的函数论课程那里，康托已经明白了一个能确定极限的概念。魏尔斯特拉斯在教学中阐述了他已经加以发展的波尔查诺的极限和无穷序列的概念，以及对一个古老发现提出的很有洞察力的定义：无理数。波尔查诺、魏尔斯特拉斯两个人相互独立地发现了基于极限和空间性质的趋近无理数的方法，阐述了有限空间内的一个无穷序列必在空间内有一个极限点的理论。

在建立于古希腊思想基础上的波尔查诺一魏尔斯特拉斯的框架内，我们定义无理数为一有理数序列的极限。从这序列的数到作为极限点的无理数的距离保持逐渐变小。这是与房内一人绝不能离开房间的芝诺悖论相似的一个机械化观点。这个人走到与门的距离的一半时，还余下一半的距离，如此等等可直至无穷。这里，门作为一个无穷有理数序列的极限是能到达的。

康托在柏林时，他的工作停留在魏尔斯特拉斯的传统的影响下。在哈雷，他继续沿着这同样的路线追踪数学分析。魏尔斯特拉斯，这位因名声大而获教授职务的旧高中教师，那时不相信康托正打算出版的成果，甚至不喜欢他的学生在他的课上做笔记。一个原因是魏尔斯特拉斯的著作保存在他的一个瑞典学生那里，这个学生后来成为一位重要的数学家和康托的好朋友，他仔细作了笔记并把它们整理好带回斯德哥尔摩。这个学生是哥斯塔·米塔·莱夫勒(1846—1927)。

在数学家之间长期存在一个因米塔·莱夫勒而导致没有数学诺贝尔奖的传言。据说，诺贝尔很不喜欢数学家，并且为了阻止米塔·莱夫勒因他的数学著作可能获得诺贝尔奖，所以诺贝尔决定不设数学奖。数学家们因这一决定而受到集体惩罚(如果这算惩罚的话)，此后，数学的最高奖项是菲尔兹奖，奖给被认为取得数学中最杰出成就者。

根据众人所说，米塔·莱夫勒不仅是杰出的数学家，而且也是一位有人类良知的正直人士。在康托处于最暗淡的时日里，没有人愿意听取他有关无穷的神奇思想，并让它们出版，但米塔·莱夫勒在他的杂志《数学年鉴》却照常发表了康托的著作。米塔·莱夫勒与一个富有的女子结了婚，并利用她家庭的财富支持数学研究。1880年，他在斯德哥尔摩的郊外建立起一座豪华别墅，并作为数学研究所赠给了数学家们(也许诺贝尔感到，米塔·莱夫勒为数学家所做的已足够多到不需要诺贝尔奖了)。米塔·莱夫勒在康托年轻时就知道他，认识到康托的伟大潜能——其他一些人并不完全赞赏——并且把康托早期的论文翻译为法文，通过出版它们使人们认识了他。

康托在哈雷的初期，还有另一个好朋友和保护人理查德·戴德金(1831—1916)。康托需要《数学年鉴》作为他的研究活动的展示窗口，因为由于克罗内克和库默的反对，其他的门窗对他都是关闭的。在柏林，支持康托在无穷上的新研究的仅有的数学家是魏尔斯特拉斯。这种相互之间的赞赏遍及了康托的一生。康托总是高度评价魏尔斯特拉斯和他在数学分析里的方法。1877年康托写的一篇论文，在由克罗内克编辑的一份杂志上几乎遭到拒绝发表，是戴德金为捍卫康托的利益所进行的调解拯救了它。

康托第一次见到戴德金是他1872年在瑞士度假的时候。那时戴德金是在不伦维克(Brunswick)的综合技术研究院的教授。两人成为好朋友。戴德金是高斯最后一个学生，并且也生于不伦维克——高斯的诞生地。作为年轻的学生，戴德金对物理和化学很感兴趣，但1850年当他进入哥廷根大学，他产生了对数学的深爱。1852年，戴德金21岁时，在高斯指导下写成关于积分的一篇论文并获得数学博士学位。戴德金在不伦维克综合技术研究院任教15年，并且显然是因没有得到提升而转到更好的高等学校。

戴德金对数学最伟大的贡献是在无理数以及它们的定义的领域内。戴德金发明了分割的概念。数直线上的一个分割是指能把所有有理数分成大于和小于一个给定数的两部分A和B，使B的每一个元素大于A的任一个元素。如果这分割自身没有定义一个有理数，那么这个数是无理数。例如，2的平方根是一个无理数，是由这样的分割定义的，这个分割把所有有理数分成其平方小于2的有理数和其平方大于2的有理数的两部分。戴德金关于无理数的工作，离不开无穷概念，这自然使他成为康托的盟友。

戴德金活得如此之长以致在他生前报纸上有一篇文章无聊地列举他的死期。戴德金死亡的假讣告是如此之多以致于促使他给报纸写文讲述自己如何度过离世前的日子。他写道：“我这些日子身体很健康，并且非常高兴能经常与我在哈雷的忠诚的老朋友康托通信交往。”

戴德金没有告诉报纸的是自1899年起的17年间，他再未从他的“忠诚的朋友”处听到片言只语。他们间通信中断的原因如同康托的个人情况一样复杂。两位数学家先前关系是很密切的，在私人感情和数学方面都紧靠在一起。两位数学家都是研究无理数和无穷概念的开创者。戴德金的分割是解决无理数问题的一个方法，康托的更广范围有关无穷的方法是另一个。在哈雷感到孤独的康托，自然渴望谋得在柏林或其他主要数学中心的一个职位；但此愿望未获成功，如此优秀的一位数学家——和他的朋友戴德金一样——只能加入哈雷的教授团队。

当一所德国大学有一个空缺的教授职位需要招聘时，随之有一套官僚式的繁琐手续。有空缺职位的大学的全体教授必须起草一份新的公开的候选者的名单。这名单要排定次序并上交给德国教育部。教育部然后考查这名单，如果同意名单候选者的次序，则把职位提供给提名第一位者。如果那位接受了此职位，那么整个过程就完成了。但如果那位谢绝，教育部就转而考虑名单中的下一位。如果所有提名者都谢绝，那么原大学的教授们将被要求再起草一份新名单。

乔治·康托是哈雷大学的数学教授，并且一旦有第二个教授的空缺需要填补时，他就有责任起草一份候选者名单。康托在哈雷其他人的同意下，把戴德金列为名单的首位，并将名单交给了教育部。这次戴德金礼貌地谢绝了。作为他谢绝的原因，戴德金提到了经济的考虑——不伦维克的职位让他有更多的经济自由。康托被他朋友的决定击倒，并在接下来的17年里两位数学家没再交换过一封信。P54-56

我头脑里开始萌发要写这本书的想法是在25年前的一个夜晚，那时我正在与我的朋友川特(Bob Trent)交谈，他是加利福尼亚大学柏克莱分校的毕业生。我们两人喝了好几杯咖啡都很疲累时，川特说道：“瞧，我要向你显示某些东西”，并接着写下一个用符号组成的序列：1，2，3，…，ω+1，ω+2，…，2ω，…ω。，…ωω，……这促使我产生如后的想法，自然数能不断地超越无穷大，并且我们能现实地谈论关于无穷大的不同层次，越来越大，没有终点。我被川特向我解释的有关最大无穷大和包含所有集合的集合的不可能性的悖论所迷惑。我知道，这是数学的中心。

然后我知道了第一个提出实无穷概念和连续统假设的那个人的苦难人生。我所知道的乔治·康托的一生的故事深深震撼了我。几年以后，当我把这故事告诉我的出版界朋友奥克斯(John()akes)时，他建议我写一本有关它的书。我非常感谢奥克斯持续超过5年鼓励我追踪此故事，正是他这些年的耐心和坚定的支持使我得以研究和写完这本书。

我要感谢勃兰德斯(Brandeis)大学数学系主任鲁博曼(Daniel Ruberman)教授，在我写本书的时候，安排我作为访问学者在他们系度过了一年。我也要感谢勃兰德斯大学和本特莱学院的图书馆员们，他们帮助我查阅了很多不易找到的，有关康托的工作和无穷概念的文件、文章和书籍。

我希望对以下各位教授表示我深深的谢意，在我为写本书请求会见时，他们都不吝时间和精力与我交谈。他们包括波斯顿大学的卡那莫里(Akihiro Kanamori)教授、宾夕法尼亚州立大学的达沃逊(John Dawson)教授以及耶路撒冷希伯莱大学的塞拉赫(Saharon Shelah)教授。

我还要感谢德国哈雷的马丁一路德大学的戈贝儿(Manfred Goebel)和理士特(Karin Richter)教授，感谢他们在我停留哈雷期间对我的殷勤款待，帮助我找到有关康托的生活资料及他的很多数学论文、照片、文件和网站。我也感谢哈雷大学的康托学会在我停留大学期间的殷勤款待。

我感谢哈雷医院院长和精神病医疗专家费尔曼(Frank Pillmann)博士，他让我共享了他关于康托病情的思考，并让我参观了医院的诊疗所，以及康托20世纪头几年住院治疗的地方。我也要感谢费尔曼博士向我展示了描述该医院和它的历史的多种文件，以及康托的病历。  我要向数学家宾斯基(Eugene Pinsky)博士和卡碧斯班博士致深深的谢意，感谢他们对有关康托数学的各种讨论，我还要向迪抛大学的杜德列(Underwood Dudley)教授和美国数学学会的出版主任阿伯斯(Don AIbers)教授深表谢意，他们对我的全部手稿给了很多评论。他们的评论使我这本书得到提高。我也要感谢精神病医疗专家宾斯基(Venyamin Pinsky)博士和心理学家哥尔登伯格(Idell(}oldenberg)博士，感谢他们对精神疾病的讨论。

最后，我要感谢我的妻子德布拉(Debla)，感谢她在我准备手稿的整个过程中所给予的帮助、支持和鼓励。