数学家的数学思想是全社会的财富。数学的传播与普及，除了具体数学知识的传播与普及，更实质性的是数学思想的传播与普及。在科学技术日益数学化的今天，这已越来越成为一种社会需要了。试设想：如果有越来越多的公民能够或多或少地运用数学的思维方式来思考和处理问题，那将会是怎样一幅社会进步的前景啊！

学习了解数学家的数学思想可以通过不同的途径，而阅读数学家特别是数学大师们的原始著述大概是最直接可靠和富有成效的做法。

阅读这些名篇佳作，不啻是一种艺术享受，人们在享受之际认识数学，了解数学，接受数学思想的熏陶，感受数学文化的魅力。

本书选编了哈代的代表性论著《一个数学家的辩白》及其他一些短小精悍的文章与讲稿，其中《一个数学家的辩白》一文，内容涉及数学的本质与特点、数学的历史、数学的社会功能等，被称为是“用最优雅的语言对数学真谛进行的最完美的揭示”。本书原汁原味地向您展示了一位真正纯粹数学家的数学思想。

纯粹数学的旗手——哈代

一个数学家的辩白

数学证明

混合种群的孟德尔比率

印度数学家拉马努金

J-型数学家和S-型数学家

附录

哈代在其学术生涯的晚年，曾发表了一些他所谓的“关于数学”的论述，其中流传最广的便是在本书中列为首篇的《一个数学家的辩白》。这篇作品其实可称之为“纯粹数学辩护词”，哈代在其中对纯粹数学的对象、本质、研究动机与价值意义等一系列问题坦陈己见，是20世纪部分数学家中具有代表性的一篇数学思想文献。

把数学看成一种艺术，可以说是《一个数学家的辩白》的主调。“数学家跟画家或诗人一样，也是造型家”，区别仅仅在于：画家造型用形与色，诗人用语言，而数学家则是“用概念来塑造”。

既然数学是一种艺术，那么“数学家的造型与画家或诗人的造型一样，必须美”，“美是首要的标准；不美的数学在世界上是找不到永久容身之地的”。这种以美为至上标准的“概念造型”艺术，就是哈代心目中的纯粹数学。除了美，哈代还提出评价数学的另一条标准——严肃，即数学概念与定理必须具有一定的“普遍性”和“深刻性”。哈代根据“美”与“严肃”这两条标准，将数学分成了“真正”的数学和“不足称道”的数学，并且认为“不足称道的数学总的来说是有用的，而真正的数学总的来说是无用的”。当然哈代随即说明这里的“有用”，是指“目前或不久的将来可能有助于改进人类物质生活”。哈代反对用这样的“有用”来衡量数学家的工作，认为“真正职业数学家的一生是不可能靠其工作的‘实用性’来评价的”，“如果检验标准就是这样，那么阿贝尔、黎曼和庞加莱都浪费了他们的生命”。但另一方面，哈代认为“有用的东西主要是技巧，而数学技巧主要是通过纯数学来传播的”，在这样的意义下，哈代指出“纯数学就总体而言显然比应用数学有用”。

对数学本质的讨论，是一个既古老又常新的课题。把数学看作艺术也不是从哈代开始的。这里提一下比哈代略早的庞加莱的观点也许是有意义的。庞加莱曾说道：“数学家首先会从他们的研究中体会到类似于绘画和音乐那样的乐趣；他们赞赏数和形的美妙的和谐；当一种新的发现揭示出意外的前景，他们会感到欢欣鼓舞……他们所体验的这种欢愉难道没有艺术的特征吗？”庞加莱接着说：“我想大胆提出，它(数学)还有艺术的目的”，并指出“那些没有物理应用的数学理论也同样值得研究”。与哈代不同的是，庞加莱认为数学有“三重目的”，“首先，它为自然的研究提供工具，其次，它具有哲学的目的”，最后则是上述的艺术的目的。哈代却以艺术作为数学的几乎唯一的目的。因此，说哈代是现代数学中“为艺术而艺术”倾向的先锋与旗手，那是毫不夸张的。这种“为艺术而艺术”的倾向，对于排除对数学及数学研究的功利主义和实用主义观点，推动20世纪上半叶纯粹数学的独立发展，具有一定的积极意义。

P4-6

数学思想是数学家的灵魂

数学思想是数学家的灵魂。试想：离开公理化思想，何谈欧几里得、希尔伯特？没有数形结合思想，笛卡儿焉在？没有数学结构思想，怎论布尔巴基学派？……

数学家的数学思想当然首先是体现在他们的创新性数学研究之中，包括他们提出的新概念、新理论、新方法。牛顿、莱布尼茨的微积分思想，高斯、波约、罗巴切夫斯基的非欧几何思想，伽罗瓦“群”的概念，哥德尔不完全性定理与图灵机，纳什均衡理论，等等，汇成了波澜壮阔的数学思想海洋，构成了人类思想史上不可磨灭的篇章。

数学家们的数学观也属于数学思想的范畴，这包括他们对数学的本质、特点、意义和价值的认识，对数学知识来源及其与人类其他知识领域的关系的看法，以及科学方法论方面的见解，等等。当然，在这些问题上，古往今来数学家们的意见是很不相同有时甚至是对立的。但正是这些不同的声音，合成了理性思维的交响乐。

正如人们通过绘画或乐曲来认识和鉴赏画家或作曲家一样，数学家的数学思想无疑是人们了解数学家和评价数学家的主要依据，也是数学家贡献于人类和人们要向数学家求知的主要内容。在这个意义上我们可以说：

“数学家思，故数学家在。”

数学思想的社会意义

数学思想是不是只有数学家才需要具备呢？当然不是。数学是自然科学、技术科学与人文社会科学的基础，这一点已越来越成为当今社会的共识。数学的这种基础地位，首先是由于它作为科学的语言和工具而在人类几乎一切知识领域获得日益广泛的应用，但更重要的恐怕还在于数学对于人类社会的文化功能，即培养发展人的思维能力特别是精密思维能力。一个人不管将来从事何种职业，思维能力都可以说是无形的资本，而数学恰恰是锻炼这种思维能力的体操。这正是为什么数学会成为每个受教育的人一生中需要学习时间最长的学科之一。这并不是说我们在学校中学习过的每一个具体的数学知识点都会在日后的生活与工作中派上用处，数学影响一个人终身发展的主要在于思维方式。以欧几里得几何为例，我们在学校里学过的大多数几何定理日后大概很少直接有用甚或基本不用，但欧氏几何严格的演绎思想和推理方法却在造就各行各业的精英人才方面有着毋庸否定的意义。事实上，从牛顿的《自然哲学的数学原理》到爱因斯坦的相对论著作，从法国大革命的《人权宣言》到马克思的《资本论》，乃至现代诺贝尔经济学奖得主们的论著中，我们都不难看到欧几里得的身影。另一方面，数学的定量化思想更是以空前的广度与深度向人类几乎所有的知识领域渗透。数学，从严密的论证到精确的计算，为人类提供了精密思维的典范。

一个戏剧性的例子是在现代计算机设计中扮演关键角色的所谓“程序内存”概念或“程序自动化”思想。我们知道，第一台电子计算机(ENIAC)在制成之初，由于计算速度的提高与人工编制程序的迟缓之间的尖锐矛盾而濒于夭折，在这一关键时刻，恰恰是数学家冯-诺依曼提出的“程序内存”概念拯救了人类这一伟大的技术发明。直到今天，计算机设计的基本原理仍然遵循着冯·诺依曼的主要思想，冯·诺依曼因此被尊为“计算机之父”(虽然现在知道他并不是历史上提出此种想法的唯一数学家)。像“程序内存”这样似乎并非“数学”的概念，却要等待数学家并且是冯·诺依曼这样的大数学家的头脑来创造，这难道不耐人寻味吗？因此，我们可以说，数学家的数学思想是全社会的财富。

数学的传播与普及，除了具体数学知识的传播与普及，更实质性的是数学思想的传播与普及。在科学技术日益数学化的今天，这已越来越成为一种社会需要了。试设想：如果有越来越多的公民能够或多或少地运用数学的思维方式来思考和处理问题，那将会是怎样一幅社会进步的前景啊！

读读大师走近数学

数学是数与形的艺术，数学家们的创造性思维是鲜活的，既不会墨守陈规，也不可能作为被生搬硬套的教条。学习了解数学家的数学思想当然可以通过不同的途径，而阅读数学家特别是数学大师们的原始著述大概是最直接可靠和富有成效的做法。

数学家们的著述大体有两类。大量的当然是他们论述自己的数学理论与方法的专著。对于致力于真正原创性研究的数学工作者来说，那些数学大师们的原创性著作无疑是最生动的教材。拉普拉斯就常常对年轻人说：“读读欧拉，读读欧拉，他是我们所有人的老师。”拉普拉斯这里所说的“所有人”，恐个自主要还是指专业的数学家和力学家，一般人很难问津。

数学家们另一类著述则面向更为广泛的读者，有的就是直接面向公众。这些著述包括数学家们数学观的论说与阐释(用G·哈代的话说就是“关于数学”的论述)，也包括对数学知识和他们自己的数学创造的通俗介绍。这类著述与板起面孔讲数学的专著不同，具有较大的可读性，易于为公众接受，其中不乏脍炙人口的名篇佳作。有意思的是，一些数学大师往往也是语言大师，如果把写作看作语言的艺术，他们的这些作品正体现了数学与艺术的统一。阅读这些名篇佳作，不啻是一种艺术享受，人们在享受之际认识数学，了解数学，接受数学思想的熏陶，感受数学文化的魅力。这正是我们编译出版这套《数学家思想文库》的目的所在。

《数学家思想文库》选择国外近现代数学史上一些著名数学家论述数学的代表性作品，专人专集，陆续编译，分辑出版，以飨读者。第一辑编译的是希尔伯特(D．Hilbert，1862—1943)、G·哈代(G．Hardy，1877—1947)、冯·诺依曼(Yon Neumann，1903—1957)、布尔巴基(Bourbaki，1935—)、阿蒂亚(M．F．Atiyah，1929—)等20世纪数学大师的文集(其中哈代、布尔巴基与阿蒂亚的文集属再版)，这些文集中的作品大都短小精悍，魅力四射，充满科学的真知灼见，在国外流传颇广。相对而言，这些作品可以说是数学思想海洋中的珍奇贝壳，数学百花园中的美丽花束。

我们并不奢望这样一些贝壳和花束能够扭转功利的时潮，但我们相信爱因斯坦在纪念牛顿时所说的话：

“理解力的产品要比喧嚷纷扰的世代经久，它能经历好多个世纪而继续发出光和热。”  在这套丛书付梓之际，我们要感谢大连理工大学出版社特别是刘新彦和梁锋同志，他们对传播科学文化的热情与远见使本套丛书很快能以崭新的面貌出版。我们衷心希望本套丛书所选译的数学大师们“理解力的产品”能够在传播数学思想，弘扬科学文化的现代化事业中放射光和热。

读读大师，走近数学，所有的人都会开卷受益。

李文林

2008年11月于北京中关村