随机数学是研究随机现象的现代概率论和数理统计理论的统称，包括鞅论、随机分析、Bayes统计、统计决策理论等。本书正是关于介绍“随机数学”的教学用书，全书由预备知识、随机过程、随机分析简介以及Bayes统计推断和统计决策概要四部分组成。

本书可供高等院校非概率统计专业的研究生作为教材使用。

随机数学是研究随机现象的现代概率论和数理统计理论的统称，包括鞅论、随机分析、Bayes统计、统计决策理论等。本书由预备知识、随机过程、随机分析简介以及Bayes统计推断和统计决策概要四部分组成。本书可供高等院校非概率统计专业的研究生作为教材使用，也可供教师及工程技术人员参考。

第1章 测度论基础与随机过程的基本概念

 1．1 测度与可测函数

1．1．1 集合

1．1．2 测度

1．1．3 可测函数

1．1．4 单调类定理

1．1．5 测度的扩张

 1．2 可测函数的积分

1．2．1 可积性的定义

1．2．2 可测函数列的收敛性

1．2．3 积分收敛定理

1．2．4 随机变量的期望与特征函数

1．2．5 随机变量的矩及其重要不等式

 1．3 乘积空间上的测度论

1．3．1 乘积可测空间

1．3．2 乘积测度与Fubini定理

1．3．3 独立事件类及独立随机变量

 1．4 条件数学期望

1．4．1 符号测度

1．4．2 测度分解

1．4．3 Radon-Nikodym定理

1．4．4 条件期望的概念与性质

 1．5 随机过程的基本概念

1．5．1 随机过程的概念与举例

1．5．2 随机过程的数字特征及有限维分布函数族

1．5．3 随机过程的分类

习题

第2章 泊松过程及更新过程

 2．1 泊松过程的定义

 2．2 泊松过程的性质

2．2．1 到达时间间隔与到达时刻的分布

2．2．2 到达时刻的条件分布

2．2．3 剩余寿命分布

 2．3 泊松过程的统计分析

2．3．1 随机模拟

2．3．2 假设检验

2．3．3 参数估计

 2．4 泊松过程的推广

2．4．1 广义泊松过程

2．4．2 带时倚强度的泊松过程

2．4．3 非齐次泊松过程

2．4．4 条件泊松过程

2．4．5 复合泊松过程

 2．5 更新过程

2．5．1 更新过程的定义

2．5．2 更新函数

2．5．3 更新过程的极限性质

2．5．4 更新方程

2．5．5 更新定理

2．5．6 更新过程的推广形式

习题

第3章 Markov过程

 3．1 Markov链的定义及转移概率

3．1．1 Markov链的定义

3．1．2 Markov链的转移概率

3．1．3 Markov链的例子

 3．2 Markov链的状态分类与判别

3．2．1 刻画状态特征的若干特征量

3．2．2 状态类型的定义

3．2．3 状态类型的判定

 3．3 状态之间的关系和状态空间的分解

3．3．1 状态的可达与互通

3．3．2 状态空间的分解

 3．4 Markov链的遍历性理论与平稳分布

3．4．1 遍历性定理

3．4．2 Markov链的平稳分布

 3．5 连续时间参数的Markov链

3．5．1 定义与例子

3．5．2 转移概率与Kolmogorov方程

 3．6 特殊的Markov链

3．6．1 随机游动

3．6．2 分枝过程

3．6．3 生灭过程

3．6．4 可逆Markov链

3．6．5 半Markov过程

习题

第4章 鞅与Brown运动

 4．1 鞅与半鞅

4．1．1 定义与简单性质

4．1．2 下鞅分解定理

4．1．3 停时与停时定理

4．1．4 鞅的不等式，收敛定理

 4．2 Brown运动

4．2．1 随机游动与Brown运动

4．2．2 Brown运动的轨道性质

习题

第5章 随机分析简介

 5．1 均方分析

5．1．1 H空间与均方极限

5．1．2 均方连续

5．1．3 均方导数

5．1．4 均方积分

 5．2 It■积分的定义及性质

5．2．1 It■积分的定义

5．2．2 It■积分的性质

5．2．3 多维It■积分

 5．3 It■过程与It■公式

5．3．1 一维It■过程与It■公式

5．3．2 多维It■公式

 5．4 随机微分方程

 5．5 It■扩散过程的基本性质

5．5．1 Markov性

5．5．2 It■扩散的特征算子与Dynkin公式

5．5．3 Girsanov定理

习题

第6章 Bayes统计推断

 6．1 Bayes统计模型

 6．2 选取先验分布方法

6．2．1 先验分布的Bayes假设

6．2．2 共轭分布法

6．2．3 Jeffreys原则

6．2．4 最大熵原则

 6．3 Bayes参数估计

6．3．1 最大后验估计

6．3．2 条件期望估计

6．3．3 Bayes区间估计

 6．4 Bayes假设检验

 6．5 Bayes统计决策

6．5．1 一般统计决策模型

6．5．2 Bayes统计决策

习题

附录常用统计分布族

参考文献