本书是为已经掌握了相当于大学第一阶段数学知识的大学生编写的，尽管如此，叙述中几乎不假定任何预备知识。本书的目的在于使大学生在一个尽可能简单的框架中了解某些现代分析的强有力的工具及其应用。

书中的基本概念几乎都是在事先给出一、两个旨在说明定义选择的合理性的例子后，再以一般的形式提出的，因而本书考虑任意的拓扑空间是在对实直线作了简要的学习之后；距离空间仅当提出一致性问题以后才引入，同样，赋范向量空间和Hilbert空间也只是在研究了局部凸空间的讨论后引入，后者在现代分析及其应用中越来越重要。本书注意了通过正面和反面的例子来明确一些定理的成立范围，最后，为使大学生能检验他们对课程是否很好理解以及训练他们的创造才能，本书安排了难易不同的众多练习。

G.肖盖为法国科学院院士，不仅在学术上享有声誉，在教学上也极富特色。

本书是作者上世纪60年代出版的《分析教程》的第二卷，曾被译为英文和西班牙文，内容包括拓扑和函数空间。本书针对有一定数学基础的大学生，但几乎不要求任何预备知识，使其能在一个尽可能简单的框架上了解现代分析的有力工具及其应用。

书中的基本概念几乎都在其一般形式下来介绍，并通过例子来说明所选择定义的合理性。例如，在叙述任意拓扑空间时，先简要讨论实数直线；而距离空间则在提出一致性问题后才引入；同样，赋范向量空间和Hilbert空间仅在讨论局部凸空间后引入，后者在现代分析及其应用中越来越重要。书中通过大量的例子及反例来说明定理成立的确切范围，并设置了各种难度的习题，便于学生检验其对课程的理解程度并锻炼自身的创新能力。

本书可供高等院校数学及相关专业的本科生、研究生以及教师参考。

《法兰西数学精品译丛》序

出版者的话

《分析与拓扑》译者序

第二版序言

修订版序言

C1证书的拓扑学大纲

第一章 拓扑空间和距离空间

 引言

 Ⅰ.直线R上的拓扑

§1.开集、闭集、邻域、集合的界

§2.序列极限.cauchy收敛准则

§3.有界闭区间的紧性

§4.空间Rn的拓扑

 Ⅱ.拓扑空间

§5.开集、闭集、邻域

§6.闭包、内部、边界

§7.连续函数.同胚

§8.极限概念

§9.拓扑空间的子空间

§10.空间的有限积

§11.紧空间

§12.局部紧空间.紧化

§13.连通性

§14.拓扑群、拓扑环和拓扑域

 Ⅲ.距离空间

§15.距离和拟距离

§16.距离空间的拓扑

§17.一致连续性

§18.紧距离空间

§19.连通距离空间

§20.Cauchy列和完备空间

§21.逐次逼近法的模式

§22.简单收敛和一致收敛

§23.等度连续函数空间

§24.全变差和长度

 Ⅳ.习题

直线R与空间Rn

拓扑空间

距离空间

 Ⅴ.第一章的法汉术语对照和索引

 Ⅵ.参考文献

 Ⅶ.定义和公理

 Ⅷ.经典记号的回顾

第二章 数值函数

 Ⅰ.定义在任意集合上的数值函数

§1.F(E，R)和F(E，R)上的序关系

§2.数值函数的界

§3.函数族的上包络和下包络

 Ⅱ.数值函数的极限概念

§4.函数沿E上的滤子基的上、下极限

§5.函数族的上、下极限

§6.在连续函数上的运算

 Ⅲ.半连续数值函数

§7.点上的半连续性

§8.全空间上的下半连续函数

§9.下半连续函数的构造

§10.紧致空间上的半连续函数

§11.长度的半连续性

 Ⅳ.Stone-Weierstrass定理

§12.Stone.Weierstrass定理

 Ⅴ.定义在R的区间上的函数

§13.左、右极限

§14.单调函数

§15.有限增量定理

§16.凸函数的定义.直接性质

§17.凸函数的连续性和可导性

§18.凸性准则.

§19.向量空间的子集上的凸函数

§20.单调函数的相对平均值

 Ⅵ.习题

定义在任意集合上的数值函数

定义在拓扑空间上的数值函数

半连续数值函数

Stone-Weierstrass定理

定义在区间上的函数

凸函数

平均值和不等式

 Ⅶ.第二章的法汉术语对照和索引

 Ⅷ.参考文献

 Ⅸ.定义和公理

第三章 拓扑向量空间

 Ⅰ.一般拓扑向量空间.例子

§1.拓扑向量空间的定义和初等性质

§2.关联于半范数族的拓扑

§3.拓扑向量空间的经典实例

 Ⅱ.赋范空间

§4.关联于范数的拓扑.连续线性映射

§5.单态射和同构的稳定性

§6.赋范空间的乘积.连续多重线性映射

§7.有限维赋范空间

 Ⅲ.可和族.级数.无穷乘积.赋范代数

§8.实数可和族

§9.拓扑群和赋范空间上的可和族

§10.级数.级数的比较与可和族的比较

§11.函数级数与函数可和族

§12.复数可乘族与复数无穷乘积

§13.赋范代数

 Ⅳ.Hilbert空间

§14.准Hilbert空间的定义和初步性质

§15.正交投影.对偶的研究

§16.正交系

§17.Fourier级数和正交多项式

 Ⅴ.习题

一般拓扑向量空间

关联于半范数族的拓扑

关联于范数的拓扑

范数的比较

范数和凸函数

赋范空间上的线性型

拓扑对偶空间和二次对偶空间

紧致线性映射

完备赋范空间

可分赋范空间

非连续线性映射

赋范空间的乘积和直和

有限维赋范空间

实数或复数的可和族

拓扑群和赋范空间上的可和族

级数.级数的比较与可和族的比较

函数级数与函数可和族

复数可乘族与复数无穷乘积

赋范代数

准Hilbert空间的初等性质

正交投影.对偶空间的研究

正交系

正交多项式

 Ⅵ.第三章的法汉术语对照和索引

 Ⅶ.参考文献

 Ⅷ.定义和公理