全书共分为七部分。第一部分是引言,主要就高等数学与初等数学的本质区别,极限概念学习中的困难所在,以及学习极限时应注意的问题,进行了概括性的阐述,以使读者对本书所要讨论的问题有一清晰的认识。第二部分是极限的ε-N、ε-δ定义与注释,主要讨论数列极限和函数极限的各种定义,通过典型的例题和详尽的注释,阐明各种定义的要点。第三部分用“ε-δ(N)”法证明极限,通过大量的例题,介绍了最基本的用极限定义证明极限的方法即“ε-δ(N)”证题法。第四部分是极限不是常数和极限不存在的例子,主要是讨论用极限定义证明极限不存在的基本方法,对初学者同样也是重要的。第五部分通过例子总结和介绍了连续与一致连续中的“ε-δ(N)”论证方法。第六部分是一致收敛性问题中的“ε-δ”论证方法。第七部分实数完备性定理的证明与应用问题。
本书可作为大学数学专业学生学习《数学分析》的教学参考书,对于学习高等数学的同学来说,同样也是一种有益的课外读物,当然,也可作为青年教师备课时的参考资料。
全书围绕数学分析中极限理论学习中的“ε-δ(N)”证题法组织内容,在对数学分析中极限的ε-N、ε-δ定义进行了较为详细的诠释后,给出了数列极限与函数极限的各种不同类型的ε-δ(N)语言描述,然后重点介绍了用“ε-δ(N)”法证明极限的基本方法,引导读者掌握最基本的极限证明技能,同时对各种证明方法进行了归纳总结,最后就连续和一致连续、一致收敛及实数的完备性等问题中的ε-δ论证方法进行了介绍。为使读者在学习过程中进行有针对性的练习,书中还配备了较多的练习题。
1 引言
1.1 高等数学与初等数学的差别
1.2 极限概念学习的困难所在与极限的“ε-δ(N)”证题法
1.3 学习极限时应注意的问题
2 极限的“ε-N”、“ε-δ”定义与注释
2.1数 列极限的ε-N定义
2.2 数列极限的ε-N定义的注释
2.3 与极限lim an=a等价的若干表述和与它不等价的表述
2.4 lim an≠a与数列/an/不存在极限
2.5 函数极限的ε-δ定义
2.6 函数极限的ε-δ定义的注释
2.7 与lim f(z)=A等价的若干表述
2.8 lim f(x)≠A与lim f(x)不存在
2.9 极限lim f(x)=
3 用“ε-δ(N)”法证明极限
3.1 用“ε-δ(N)”法证明极限的一般步骤
3.2 用“ε-δ(N)”法证明极限的关键
3.3 用“ε-δ(N)”法证明极限的方法与例题
3.3.1 直接证法
练习题1
3.3.2 间接证法
1.简单放大(缩小)法
练习题2
2.限制放大(缩小)法
练习题3
3.用二项式定理放大(缩小)法
练习题4
4.分段放大(缩小)法
练习题5
5.用递推公式放大(缩小)法
3.3.3 用柯西收敛准则证明极限存在
练习题6
4 极限不是某常数和极限不存在的证明
4.1 用极限定义证明数列或函数极限不是某常数
4.2 用极限定义证明数列或函数极限不存在
4.3 用柯西收敛准则证明函数极限不存在
4.4 用归结原则证明函数极限不存在
练习题7
5 进一步的例题
6 函数的连续性与一致连续性
6.1 利用连续性的定义证题
6.2 利用一致连续性的定义与否定证题
6.3 一致连续与连续的关系
练习题8
7 一致收敛性问题
7.1函数列与函数项级数中的一致收敛性
7.2含参量非正常积分中的一致收敛性
练习题9
8 极限证明中的几种重要的方法
8.1 利用单调有界定理证明极限
8.2 利用迫敛性定理证明极限
8.3 利用stolz定理求极限
练习题10
9 实数的完备性
9.1 实数的完备性定理与特征
9.2 实数完备性定理的证题规律
9.3 实数完备性定理的等价证明
9.4 实数完备性定理的应用
练习题11
10 综合例题
练习题参考答案
参考文献